高考数学猜题卷

猜题

1.(原创题;命题人:江苏省如皋中学 姚新国)

题目:一条螺旋线是用以下方法画成:ABC ?是边长为1的正三角形,曲线

11223CA A A A A 、、分别以A B C 、、为圆心,12AC BA CA 、、为半径画

的弧,曲线123CA A A 称为螺旋线,然后又以A 为圆心,3AA 为半径画弧,

这样画到第n 圈,则所得螺旋线112233231313,,,n n n n CA A A A A A A A A ---的

总长度n S 为

A.(31)n n π+

B.

(1)3

n n π

+ C.2(31)n π- D.(1)n n π+ 分析:第n 圈的长度分三段.第一段以点A 为圆心,半径为32n -;第二段以点B 为圆心,半

径为31n -;第三段以点C 为圆心,半径为3n ,所以第n 圈的长度

2(32313)3n l n n n π=-+-+,所以2(1233)3

n S n π=++++.

答案:A

说明:培养学生的阅读能力.

2.(由课本组合数性质推导过程提炼改编;命题人:江苏省如皋中学 姚新国)

从装有1n +个球(其中n 个白球,1个黑球)的口袋中取出m 个球(0,,m n m N n N <≤∈∈),共有1m

n C +种取法.在这1m

n C +种取法中,可以分为两类:一类是取出的m 个球全部为白球,共有

01m n C C 种取法;另一类是取出的m 个球有1m -白球和1个黑球,共有111m n C C -种取法,显然

011111m m m n n n C C C C C -++=,即有11m m m

n n n C C C -++=成立.试根据上述思想化简下列式子:1122m m m k m k

n k n k n k n C C C C C C C ---+++

+=_____________.

(1,)k m n k m n n ≤<≤∈、、

分析:从已知材料中知道0

1

1

111m

m m n n n C C C C C -++=；011222222m m m m n n n n C C C C C C C --+++=，

从而推广到一般情形. 答案：m

n k C +

说明:回归课本，注重课本公式性质的推导过程，提炼解题方法和数学思想。

3. (原创题;命题人:江苏省如皋中学 姚新国) 题目:已知在3

4

(1)(1)(1)()n x x x n N +++++++∈的展开式中，

(1)求含2

x 项的系数；

(2)利用2

(1)2

n n n C -=

,求:222

2123n ++++

分析:利用等比数列求和公式转化为直接求二项展开式2

x 项的系数. 解:(1) 323

4

(1)(1(1))

(1)(1)(1)1(1)

n n

x x x x x x -+-+++++

++=-+

13

(1)(1)n x x x x

+++=-, 所以含2x 项的系数为33

13(1)(1)

16

n n n n C C ++--=-

(2)由2

(1)2

n n n C -=

,得:222n n n C -=,即22

2n n C n =+ 当n 分别取2,3,4,

得2

2

2

22

22

23234222(23)n n C C C n +++

+=++

++++

+

因为3

(1)x +展开式中2

x 的系数为2

3C ，4

(1)x +展开式中2x 的系数为2

4C ，

(1)n x +展开

式中2

x 的系数为2

n C ，所以由（1）知2

2

233411n n C C C C +++

+=-，

222222

22

3

231(1)

1234222(123)22

n n n n n C C C n C +++++++=++++++++=+

(1)(21)

6

n n n ++=

=

注：另求：3

(1)x +展开式中2x 的系数为23C ，4(1)x +展开式中2x 的系数为2

4C ，(1)n

x +展开式中2x 的系数为2n C ，所以（1）中2

x 项的系数为

222322

2343341n n C C C C C C C ++

+=+++

+-=32

2

441n C C C ++

+-=

23

2

551n C C C +++-=3

11n C +=-

4. (由数学通讯2005年第17期综合题152改编;命题人:江苏省如皋中学 姚新国) 题目:已知,,a b c R ∈且三次方程()f x =32

0x ax bx c -+-=有三个实根123,,x x x . 1)类比一元二次方程根与系数的关系,写出此方程根与系数的关系; 2)若,,a b c 均大于零,试证明:123,,x x x 都大于零;

3)若,||2a Z b Z b ∈∈<且，()f x 在,x x αβ==处取得极值且101αβ-<<<<，试求此方程三个根两两不等时c 的取值范围.

分析(1)联想二次方程根与系数关系,写出三次方程的根与系数.(2)利用(1)的结论进行证明; (3)三次函数的问题往往都转化为二次方程来研究.

解:1)由已知得: 3

2

123()()()x ax bx c x x x x x x -+-=---,比较两边系数得:

123122331123,,a x x x b x x x x x x c x x x =++=++=.

2)由0c >得123,,x x x 三数中或全为正数或一正二负.

若为一正二负,不妨设1230,0,0.x x x ><<由1230x x x a ++=>,得

123()x x x >-+,则212323()()x x x x x +<-+.又

2122331123232323()()b x x x x x x x x x x x x x x x =++=++<-++=22

22330x x x x ---<,

这与0b >矛盾,所以123,,x x x 全为正数.

3)令32

()f x x ax bx c =-+-,要()0f x =有三个不等的实数根,则函数()f x 有一

个极大值和一个极小值,且极大值大于0,极小值小于0.

由已知得'2

()320f x x ax b =-+=有两个不等的实根,αβ,

101αβ-<<<<，320(1)

(2)320(3)

a b b a b ++>??

∴?

，由（1）（3）得3b >-，又||2,0b b <<，1b ∴=-，将1b =-代入（1）（3）得0a =,

'2

()31f x x ∴=-,

则33αβ=-

=，且()f x

在3

x =-处取得极大值，

在3

x =

处取得极小值， 故()0f x =要有三个不等的实数根，则必

须(003f f ?>????

，

得

c <<. 说明:本题考查学生类比 探究 函数与方程与图形的转化的能力.

5. (由数学通讯2005年第19期综合题155原题;命题人:江苏省如皋中学 姚新国) 题目:设2(,)(,,2)p

n f n p C n p N p n =∈≤.数列(,){}n p a 满足

.

(1) 求证:(,2){}n a 是等差数列;

(1,)(2,)(,)(,)p p n p a a a f n p +++=

(2) 求证:2121(,1)(,2)(,)21

;2

n n

n f n f n f n n C -++

+=+- (3) 设函数2

2()(,1)(,2)(,2)n H x f n x f n x f n n x =++

+?,试比较()()H x H a -与

212(1)()n n a x a -+-的大小.

解：（1）由令2p =得：

(1,2)(2,2)(,2)(,2)n a a a f n +++=，(1,2)(2,2)(1,2)(1,2)n a a a f n -+++=-（2n ≥）

两式相减得：22

22(1)(,2)n n a n C C -=-=43,n -且1n =时也成立.所以(1,2)

(,2)4n n a a +-= 即(,2){}n a 是等差数列. (2)设12

222(,1)(,2)(,)n

n n n f n f n f n n C C C S +++=++

+=,

而0

1

2

2222222n n n n n n C C C C +++

+=,又211222

222222,,

,n n n n

n n n n n n C C C C C C --===

所以221

221222,212

n

n

n n

n n S C S C -+-=∴=+-. (3)

22()(,1)(,2)(,2)(1)1,

n n H x f n x f n x f n n x x =++

+?=+-所

以

22()()(1)(1),n n H x H a x a -=+-+为了比较()()H x H a -与212(1)()n n a x a -+-的大小,

即要判断2221(1)(1)2(1)()n

n n x a n a x a -+-+-+-的符号.

设1,1X x A a =+=+,则上式即为221

2()n n n X A nA X A ----,设

2221()2()n n n F X x A nA X A -=---.

其导数为

'21

212121()222()n n n n F x nX

nA n X A ----=-=- 当X A ≥时,'

()0,()F x F X ≥是增函数,所以()()F x F A ≥,且当X A =时等号成立. 当X A <时, '

()0,()F x F X <是减函数,所以()()F x F A >.

纵上所述,21

()()2(1)

()n H x H a n a x a --≥+-,当且仅当x a =时等号成立.

说明:这是以组合数为背影,将数列 组合 数求和 不等式的证明 导数等知识有机结合起来的问题,要求学生具有对数学符号的感悟能力,数学表达式的变换能力,数学结构的联想能力以及变形转化 换元转化 分类讨论等数学方法和数学思想.

(1,)(2,)(,)(,)p p n p a a a f n p ++

+=