图形的基本认识

第三章图形认识初步

§1.多姿多彩的图形

1.几何图形：图形世界中蕴含着大量的几何图形,我们可以用几何图形知识来表示的解决有关图形的问题.

2．立体图形：长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等都是立体图形. 3．平面图形：三角形、四边形、多边形、圆等都是平面图形.

4．三视图：从正面、上面、侧面（左面的右面）三个不同方向看一个物体,然后描绘出三张所看到的图,就是视图.从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面面看到的图形称为侧视图,根据观看方向不同,有左视图和右视图之分

5．立体图形的平面展开图：许多立图形是由一些平面图形围成的,将它们适当的剪,就可以展开成平面图形,同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平面展开图是不一样的.

6．点、线、面、体

点：线和线相交的地方是点

线：面和面相交的地方是线

面：包围着体的是面

体：几何体也简称体

注意：点动成线、线动成面、面动成体.

例题与练习

1．画出下列几何体的三视图

2. 下列几何体的展开图是什么

3．一些立体图形可由一些平面图形绕一条直线旋转而得到,这样的几何体叫旋转体. 试想（1）以长方形的一边为轴把长方形绕轴一周得到的立体图形是什么?你能画出示意图吗

（2）把直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体又是什么?以斜边呢?你能画出示意图吗? （点拨：从运动的观点体会面动成体.）

4．指出下列平面图形是什么几何体的展开图：

5．推理猜测题

(1)、三棱锥有____条棱,四棱锥有____条棱,十棱锥有____条棱._____棱锥有30条

棱._____棱柱有60条棱.

一个多面体的棱数是8,则这个多面体的面数是_____

6．下列平面图形绕虚线旋转一周是什么几何体?

7、填空题.

（1）在立体图形中,面与面相交成,线与线相交成 .

(2)圆柱体由个面围成,圆锥是个面围成,它们的底面都是,侧面都是 .

(3)三棱柱有个顶点, 条棱.

(4)圆锥的侧面与底面相交成条线,这条线是线.（填“曲”、“直”）8．一个三面带有标记的正方体：如果把它展开,应是下列展开图形中的（）

9．下列哪个图形经过折叠不能围成一个立方体是（）

10．如图,这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图,小正方

形中的数字表示在该位置的小立方体的个数,请你画出它的主

视图每与左视图

11．一个多边形都可以按图甲的方法分割成若干个三角形.

（图甲）（图乙）

根据图甲的方法,图乙中的七边形能分割成个三角形,那么n边形能分割成个三角形．

§2. 直线、射线和线段

直线、射线和线段的概念

表示法长度作法叙述端点直线直线AB（BA）（字母

无序）

无长度过A点或B点作

直线AB

无端点

射线射线AB（字母有序）无长度以A为端点作射

线AB

有一个端点

线段线段AB（BA）（字母

无序）

可测量

长度

连接AB 有有两个端

点

2

A

C D

1

2

4 1

3

字母表示一点,不同的点要用不同的字母来表示

3．直线的表示方法：①一条直线可以用在这条直线上的两个点来表示,如"直线AB”；

②一条直线可以用一个小写字母来表示,如"直线a”

4．射线的表示方法：①一条射线可用它的端点和射线

上的另一点来表示,端点必须写在前面,如射线OA；②

一条射线也可用一个小写字母来表示,如射线b．

5．直线的性质：经过过两点有一条直线,并且只有一

条直线.或者说两点确定一条直线.

6．线段的表示方法：①一条线段可用它的的两个端点的两个大写字母表示,如线段AB或线段BA；②一条线段也可用一个小写字母来表示,如线段a

注意：①表示直线、射线和线段时,都要在字母的前面写上直线、射线或线段；

②用两个大写字母表示直线或线段时,两个字母的地位平等,可以交换位置；表示射线的两个字母不能交换位置,必须把端点字母放在前面

7．线段的画法、连接AB的意义、线段的延长线

①用直尺可以画出以A、B为端点线段,画时注意不要向任何一方延伸;

②连接A、B的意义就是画出以A、B的线段;

③线段的延长线:延长AB是指由A到B的方向延长,延BA是指由B到A的方向延长(也可说成反向延长AB),注意延长线应画成虚线．

8．画一条线段等于已知线段：①度量法②尺规作图

9

10

B叫线段

12

例

②A、B

③点P

例2

例3

AB＝

例4

2：

（三）练习与作业

1． 判断下列说法是否正确

（1）直线AB 与直线BA 不是同一条直线膨胀 （ ）

（２）用刻度尺量出直线AB 的长度过 （ ）

（3）直线没有端点,且可以用直线上任意两个字母来表示（ ）

（4）线段AB 中间的点叫做线段AB 的中点 （ ）

（5）取线段AB 的中点M,则AB-AM=BM （ ）

（6）连接两点间的直线的长度,叫做这两点间的距离 （ ）

（7）一条射线上只有一个点,一条线段上有两个点 （ ）

2．已知点A 、B 、C 三个点在同一条直线上,若线段AB=8,BC=5,则线段

AC=_________

3． 电筒发射出去的光线,给我们的形象似

4．如图,四点A 、B 、C 、D 在一直线上,则图中有______条线段,有_______条射线；

若AC=12cm,BD=8cm,且AD=3BC,则AB=______,BC=______,CD=_ ___

5．已知点A 、B 、C 三个点在同一条直线上,若线段

AB=8,BC=5,则线段AC=_________

6．如图,若C 为线段AB 的中点,D 在线段CB 上,6=DA ,4=DB ,则CD=_____

7．C 为线段AB 上的一点,点D 为CB 的中点,若AD=4,求AC+AB 的长.

8．把一条长24cm 的线段分成三段,使中间一段的长为6cm,求第一段与第三段中点

的距离.

9．如图,同一直线上有A 、B 、C 、D 四点,已知,2

5,32CB AC AD DB ==CD=4cm,求AB 的长

10．如图,点C 在线段AB 上,E 是AC 的中点,D 是BC 的中点,若ED=6,则AB 的长为

（ ）．

11.已知如图,点C 在线段AB 上,线段AC=6cm,BC=4cm,点M 、N 分别是AC 、BC 的

中点,求线段MN 的长.

. . .

. B C

. A C

M N . . . . B

. . . . A

B

C D A B C D A B D

§3.角

1． 角的概念：(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点叫做角的顶

点,这两条射线叫做角的两条边,(2)也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而

成的图形.(3)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部,平面的其余部分称为角

的外部.(4)射线OA 绕点O 旋转,当终止位置OC 和起始位置OA 成一条直线时,

所成的角叫做平角；继续旋转,回到起始位置OA 时,所成的角叫做周角.

2． 角的表示方法：（1）用数字表示一个角,如∠1、∠2等.（2）用一个小写希腊字

母表示一个角,如∠α、∠β、∠γ、∠θ等.（3）用一个大写英文字母表示一

个独立的角（在一顶点处只有一个角）,如∠A 、∠B 等.（4）用三个大写英文字

母表示任意一个角,如∠ABC 等.

3． 角的度量单位及换算：把一个周角等分成360份,一份就是1度的角；把1度的

角等分成360份,每一份就是1分的角；把1分的角等分成360份,每一份是1秒

的角；1度记作1o,1分记作11,1秒记作111.

1o=601,11=6011,1周角等于360o,1平角=180o

4． 角的分类：平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平

角的角叫做钝角.所以小于平角的角分为锐角、直角、钝角三类.它们辶间的关系

是： 1周角=2平角=4直角=360o1平角=2直角=180o 1直角=90o

5． 角的简单性质：（1）角的大小与边的长短无关,只与构成角的边的两条射线张开

的幅度大小有关； （2）角的大小可以度量,可以比较,也可以参与运算.

6． 画角：①用量角器画一个角等于已知度数；②用三角板画特殊度数的角；③画一

个角等于已知角；④画一个角的余角或补角

7． 角的比较方法：（1）度量法 （2）叠合法：把一个角放在另一个角上,使它

们的顶点重合,其中的一边也重合,并使这两个角的另一边都在这一边的同侧,即

可比较大小. 8． 角的和差：如图 ∠AOC=∠AOB+∠ =∠ — ∠ ；∠BOC= 9． 角的平分线：从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两

个角的射线,叫做这个角的平分线.

10． 互余、互补：（1）如果两个角的和为90o,那么这两个角

互为余角.其中一个角是另一个的余角,锐角α的余角是90o-∠α.（2）如果两个

角的和为180o那么这两个角互为补角,其中一个角是另一个的补角,∠α的余角

是180o-∠α.（3）互余互补的性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等.

11． 用角度表示方向：一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转的角度表示方向,如图所示,OA 方向可表示为北偏西60o .

（二）、例题分析

例1．填空（1）42.34o= 度 分 秒

（2）56o2517211= 度 例2．计算（1）180o—（39o1812411+12o4914811）

（2）34o171?5 （3）49o2815211÷4

例3．如图,OC 平分∠AOD,OE 是∠BOD 的平分线,如果∠AOB=130o,那么∠

COE 是多少度? O A B C D 北 南 西 东 60o E A

D C

O B

O A

E C D

B

例4．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90o,求这个角. 例5．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOE=∠分∠COD,图中与∠DOE 互余的角有哪些?与∠DOE 哪些?

例6．如图,CB ⊥AB,∠CBA 与∠CBD 则∠DBA ＝________度,∠CBD 的补角是_________（三）、练习与作业

1．填空：（1）如图：已知∠AOB=2∠BOC, 且OA ⊥OC,则∠AOB=_________0

（2）．已知有共公顶点的三条射线OA 、OB 、OC,∠AOC=_________

（3）．已知OA ⊥OB,直线CD 经过顶点O,若∠BOD ：∠AOC=5：2,

则∠AOC=_______∠（4）如图所示：已知OE ⊥OF 直线AB AOE=__________若∠AOF=2∠AOE,（5） 2点30分时,2．选择题：

（1）．如图,∠AOE ＝∠BOC,OD 等的角共有（ ） A ．1对 B ．2对

C ．3对

D ．4对 （2）．互为余角的两个角之差为35°, A ．117.5° B ．112.5° C ．125° （3）．如图,由A 到B 的方向是（ A ．南偏东30° B ．南偏东60°

C ．北偏西30

D ．北偏西60° （4）旋转周,则结果指针的指向（ ）．

（A ）南偏东50o （B ）西偏北50o （C ）南偏3．解答题： (1)一个角的余角比它的补角29

还多1°,(2)已知互余两角的差为20 ,(3)如图,∠AOB ＝600,OD 、OE 分别平分∠BOC 、∠AOC,那么∠EOD ＝ 0．

B A O C

N M (4)．老师要求同学们画一个750的角,右图是小红画出的图形．①检验小红画出的角是否等于750；②利用我们常用的画图工具,你有哪些检验方法?③画此角的平分线；④解释图中几个角之间的相互关系．

(5)已知：如图,∠AOB=900,∠BOC=300,OM 平分

∠AOC,ON 平分∠BOC,求∠MON 的度数.

①如果∠AOB=α,其它条件不变,

求∠MON 的度数.

②如果∠BOC=β（β为锐角）,

其它条件不变,求∠MON 的度数

（6）已知∠A 和∠B 互余,∠A 与∠C 互补∠B 和∠C 的和等于周角的31,求∠A+∠B+∠C 的度数.

（7）已知∠AOC 与∠BOC 互补,∠AOC 比∠BOC 的余角的3倍大10°,求∠AOB 的度数.