高二上学期数学练习题
A 基础达标]
1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A ．0，π2，π，3π
2，2π B ．0，π4，π2，3π
4，π
C ．0，π，2π，3π，4π
D ．0，π6，π3，π2，2π
3
解析：选B ．令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π
4，π，故选B ．
2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )
A ．重合
B ．形状相同，位置不同
C ．关于y 轴对称
D ．形状不同，位置不同
解析：选B ．根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同
B ．介于直线y ＝2与直线y ＝－2之间
C ．关于x 轴对称
D ．与y 轴仅有一个交点
解析：选C .函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称．
4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选B ．由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．
5．不等式cos x <0，x ∈ [0，2π]的解集为( )
A .? ??
??π2，3π2 B ．??????
π2，3π2
C .?
?
?
??0，π2
D .?
??
??π2，2π 解析：选A .由y ＝cos x 的图象知，
在[0，2π]内使cos x <0的x 的范围是? ??
??
π2，3π2.
6．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由正弦函数图象得－1≤sin x ≤1， 所以－1≤2m ＋1≤1，所以m ∈[－1，0]． 答案：[－1，0]
7．用“五点法”作函数y ＝5＋3cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，五个关键点分别是________，________，________，________，________．
解析：分别令x ＝0，π2，π，3π
2，2π得y ＝8，5，2，5，8，故五
个关键点分别为(0，8)，? ????π2，5，(π，2)，? ??
??3π2，5，(2π，8)． 答案：(0，8) ? ????π2，5 (π，2) ? ??
??
3π2，5 (2π，8)
8．函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
答案：4π
9．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间： ①sin x >0，②sin x <0.
(2)直线y ＝1
2与y ＝－sin x 的图象有几个交点？
解：利用五点法作图．
(1)根据图象，可知图象在x 轴上方时，－sin x >0， 在x 轴下方时，－sin x <0，
所以当x ∈(－π，0)时，－sin x >0，sin x <0； 当x ∈(0，π)时，－sin x <0，sin x >0. (2)画出直线y ＝1
2，由图象可知有两个交点．
10．利用“五点法”作出函数y ＝sin ? ????x －π2? ????x ∈??????π2，5π2的图象． 解：列表如下： x π
2 π 3π2 2π 5π2 x －π
2 0 π2 π 3π2 2π sin ?
????x －π2 0
1
－1
描点连线，如图所示．
[B 能力提升]
1．在[0，2π]上，满足sin x ≥1
2的x 的取值范围是( ) A .?
?????0，π6 B ．??????
π6，56π
C .????
??π6，23π D .????
??56π，π 解析：选B ．在[0，2π]上作出y ＝sin x 和y ＝1
2的图象(如图所示)，
由图知sin x ≥1
2时，x 的取值范围是????
??π6，5π6.
2．函数y ＝sin x 的图象和y ＝x
2π的图象交点的个数是________．
解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：
由图可知交点个数是3. 答案：3
3．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R . 解：(1)y ＝|sin x |
＝?
????sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sin x ，2k π＋π (2)y ＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0， 其图象如图所示， 4．(选做题)方程sin x ＝1－a 2在x ∈? ??? ?? π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解：首先作出y ＝sin x ，x ∈?????? π3，π的图象，然后再作出y ＝1－a 2的 图象，如果y ＝sin x ，x ∈???? ??π3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点，方程 sin x ＝1－a 2，x ∈? ??? ?? π3，π就有两个实数根． 设y 1＝sin x ，x ∈???? ?? π3，π，y 2＝1－a 2. y 1＝sin x ，x ∈???? ??π3，π的图象如图． 由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1 ?? π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈???? ??π3，π上有两个实根．