2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末考试数学试题

2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合(){}

|10A x x x =-≤，(){}

|ln B x y x a ==-，若A

B A =，则实数a 的取值范围为（ ）

A. (),0-∞

B. (],0-∞

C. ()1,+∞

D. [

)1,+∞

2.已知复数133i

z i

-=+，i 为虚数单位，则（ ） A. z i = B. z i = C. 21z =

D. z 的虚部为i -

3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.已知()cos 2cos 2παπα??

-=+ ???

，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）

A. -7

B. 7

C. 1

D. -1

5.已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x

f x =-，则()f m 的值为（ ） A. -15

B. -7

C. 3

D. 15

6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）

A. 5

9

B.

4

9

C.

7

16

D. 9

16

7.已知

0.5

log5

a=、

3

log2

b=、0.3

2

c=、

2

1

2

d

??

= ?

??

，从这四个数中任取一个数m，使函数

()32

1

2

3

x mx x

f x=+++有极值点的概率为（）A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24

y x

=的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点()3,1

M射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM

?的周长为（）

A.

71

26

12

+ B. 910

+ C.

83

26

12

+ D. 926

+

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）

A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

10.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B. 把函数()f x 的图象向右平移2

π

个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C. 函数()f x 和()g x 在区间,44ππ??

-

??

?上都是增函数 D. 若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 11.下列判断正确的是（ ） A. 若随机变量ξ服从正态分布(

)2

1,N σ

，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；

B. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；

C. 若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ?

?

~ ???

,则()1E ξ=； D. 22am bm >是a b >的充分不必要条件. 12.关于函数()2

ln f x x x

=

+，下列判断正确的

是（ ） A. 2x =是()f x 的极大值点 B. 函数y

f x

x 有且只有1个零点

C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立

D. 对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若非零向量a 、b ,满足a b =,()

2a b b +⊥,则a 与b 的夹角为___________.

14.设()()201

x a x f x x x x ?-≤?

=?+??

，，＞． （1）当1

2

a =

时，f （x ）的最小值是_____；

（2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____．

15.双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一

点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ?的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=

PQ ，则C 的离心率为____.

16.已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2?

? ???

上无零点，则a 的最小值为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.

（1）若4a =，ABC

?的

面积为15，求b ，c 的值；

（2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.

18.已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1

126

n n n S a a =

++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()

1

11n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .

19.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ?的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；

（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.

20.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县

全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：

1

()()

n

i

x x y y r --=

∑2

2

(),()()()()n ad bc k a b

c d a c b d -=++++

其中n a b c d =+++．临界值表：

0k

2.706

3.

841

5.024

6.635 10.828

参考数据：63525.2≈

21.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交

于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ?的周长为8.

（1）求C 的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 22.设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2

g x f x bx =-.

（1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间； （2）若曲线y

g x 在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行.

①求a ，b 的值；

②求实数()3k k ≤的取值范围，使得()()

2

g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.

淄博实验中学高三年级第一学期模块考试

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合(){}

|10A x x x =-≤，(){}

|ln B x y x a ==-，若A

B A =，则实数a 的取值范围为（ ）

A. (),0-∞

B. (],0-∞

C. ()1,+∞

D. [

)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】

分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =得到A 是

B 子集，根据范围大小得到答案.

【详解】(){}

|1001A x x x x =-≤?≤≤

(){}|ln B x y x a x a ==-?>

A B A A B ?=??

所以0a < 故答案选A

【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题. 2.已知复数133i

z i

-=+，i 为虚数单位，则（ ） A. z i = B. z i =

C. 21z =

D. z 的虚部为i -

【答案】B 【解析】 【分析】

计算化简出复数z ，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项.

【详解】由题：2

2

13(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i i z i i i i i

----+===-++--， 所以：1z =，z i =，22

()1z i =-=-，z 的虚部为1-.

故选：B

【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.

3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

试题分析：由题意得，ln(1)001110x x x +

4.已知()cos 2cos 2παπα??

-=+ ???

，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）

A. -7

B. 7

C. 1

D. -1

【答案】B 【解析】 【分析】

由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，

再由两角和的正切公式()tan αβ+=

tan tan 1tan tan αβ

αβ

+-，将tan 2α

代入运算即可.

【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα??

-=+

???

，

所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，

又()1

tan 3

αβ+= ，

则

tan tan 1

1tan tan 3

αβαβ+=-，

解得tan β= 7， 故选B.

【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.

5.已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x

f x =-，则()f m 的值为（ ）

A. -15

B. -7

C. 3

D. 15

【答案】A 【解析】 【分析】

根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值. 【详解】因为奇函数的

定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-

因为奇函数()f x 当0x >时,()21x

f x =-

则()()(

)

4

442115f f -=-=--=-

故选:A

【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.

6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三

类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A.

59

B.

49

C.

716

D.

916

【答案】B 【解析】 【分析】

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的

基本事件个数m 23

43C A ==36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．

【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，

他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 23

43C A ==36，

则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819

m n ===． 故选：B ．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、2

12d ??

= ???，从这四个数中任取一个数m ，使函数

()321

23

x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ）

A. 14

B. 1

2 C. 34

D. 1

【答案】B 【解析】 【分析】

求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可．

【详解】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点，

则f ′（x ）有2个不相等的

实数根，

故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，

而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12

）2

＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142

==， 故选：B ．

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题． 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，一条平行于

x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ?的

周长为（ ）

A. 71

12

+

B. 9+

C. 83

12

+

D. 9【答案】D 【解析】

抛物线方程中：令1y =可得1

4x =

，即1,14A ?? ???

， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：(

)

22

2

2

220k x k x k -++=，

据此可得：1

1,4A B B A

x x x x =∴==， 且：254

A B AB x x p =++=

， 将4x =代入2

4y x =可得4y =±，故()4,4B -， 故()()

2

2

434126MB =

-+--=,

故△ABM 的周长为125

32692644

MA AB BM ??++=-+

+=+ ??

?, 本题选择D 选项.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）

A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD

【解析】 【分析】

本题结合图形即可得出结果．

【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．

【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题．

10.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B. 把函数()f x 的图象向右平移

2

π

个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C. 函数()f x 和()g x 在区间,44ππ??

- ???

上都是增函数

D. 若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD 【解析】 【分析】

先求导，再根据辅助角公式化简可得f （x ）=（x 4π-

），g （x ）=（x 4

π+），结合三角形的函数的图象和性质即可判断 【详解】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx

=（x 4

π-

）

∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =

（x 4

π+

）， 故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同， 且把函数f （x ）的图象向左平移

2

π

个单位，就可以得到函数g （x ）的图象，

存在x 0=+,4

k k Z π

π-

∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，

函数f （x ）在,44ππ??- ???上为增函数，g （x ）在,44ππ??- ???

上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD ．

【点睛】本题考查了导数的运算和三角函数的图象和性质，考查了三角函数的图象变换，属于中档题 11.下列判断正确的是（ ） A. 若随机变量ξ服从正态分布(

)2

1,N σ

，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；

B. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；

C. 若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ?

?

~ ???

,则()1E ξ=； D. 22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】

由随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），则曲线关于x ＝1对称，即可判断A ；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B ；

运用二项分布的期望公式E ξ＝np ，即可判断C ；可根据充分必要条件的定义，注意m ＝0，即可判断D ． 【详解】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；

B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．

若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β． ∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；

C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，

14

），则E ξ＝4×0.25＝1，故C 对；

D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；

故选：ABCD ．

【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题． 12.关于函数()2

ln f x x x

=

+，下列判断正确的是（ ） A. 2x =是()f x 的极大值点 B. 函数y

f x

x 有且只有1个零点

C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立

D. 对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD 【解析】 【分析】

A .求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断

B .求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可

C .利用参数分离法，构造函数g （x ）22lnx x x

=

+，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可 D .令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ），求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可

【详解】A .函数的 的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f ′（x ）22212

x x x x

-=-+=，∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f ′（x ）＞0，函数单调递增，

∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；

B .y ＝f （x ）﹣x 2x =+lnx ﹣x ，∴y ′221x x =-+-122

2

x x x

-+-=＜0，

函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣12=+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣21=+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确；

C .若f （x ）＞kx ，可得k 22lnx x x +＜

，令g （x ）22lnx x x =+，则g ′（x ）34x xlnx x

-+-=， 令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ， ∴

x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减，

∴h （x ）?h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0， ∴g （x ）22lnx

x x

=

+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确；

D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2，

令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）22t =++ln （2+t ）22t ---ln （2﹣t ）244t t =+-ln 22t

t

+-， 则g ′（t ）()

22

22

22

22222244822241648(4)2(2)(4)4(4)

t t t t t t t t t t t t t ----++---=

+?=+=-+----＜0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减， 则g （t ）＜g （0）＝0， 令x 1＝2﹣t ，

由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ， 则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4， 当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，

∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确 故正确的是BD ， 故选：BD ．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证

明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若非零向量a 、b ,满足a b =,()

2a b b +⊥,则a 与

b 的夹角为___________. 【答案】120 【解析】 【分析】

设a 与b 的夹角为θ，由题意得2

2

2

22cos 0a b b a a θ?+=+=，由此求得cos θ的值，即可得到a 与b 的

夹角θ的大小.

【详解】设a 与b 的夹角为θ，由题意a b =,()

2a b b +⊥,， 可得2

(2)2cos 0a b b a b b

θ+?=+=，所以1

cos 2

θ=-，

再由0180θ≤≤可得，120θ=， 故答案是120.

【点睛】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.

14.设()()201

x a x f x x x x ?-≤?

=?+??

，，＞． （1）当1

2

a =

时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f

（0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 【答案】 (1). 1

4

(2). [0] 【解析】 【分析】

（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对a 分两种情况讨论，若a ＜0，不满足条件．若a ≥0，f （0）＝a 2≤2，即0≤a

≤.

【详解】（1）当12a =

时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12

-）21

4=，

当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +≥=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为

14

， （2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，

若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件． 若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2， 要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a

2≤2，即0≤a ≤

即实数a 的取值范围是[0]

【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一

点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ?的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若=PQ 则C 的离心率为____.

【解析】 【分析】

根据切线长定理求出MF 1﹣MF 2，即可得出a ，从而得出双曲线的离心率． 【详解】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，PA ＝PQ ，BF 2＝QF 2，

又PF 1＝PF 2，

∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ， 由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ， 故而a ＝PQ 2=

，又c ＝2，

∴双曲线的离心率为e 2c

a

==． 故答案为：2．

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．

16.已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2??

???

上无零点，则a 的最小值为________.

【答案】24ln 2- 【解析】 【分析】

因为f （x ）＜0在区间（0，12）上恒成立不可能，故要使函数f （x ）在（0，1

2

）上无零点，只要对任意的x ∈（0，1

2

），f （x ）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a 的最小值．

【详解】因为()0f x <在区间10,2?? ???上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2?? ???

上无零点，只要对任意