备战中考数学 一元二次方程 培优 易错 难题练习(含答案)
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()22
3220x n x n -+-+=，是否存在这样的
n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=32
4
n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12
，但1-n=3
2不是整数，舍.
②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-1
4
(舍)，
综上所述，n=0.
2．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；
（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6
a
a + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣
66a - 是是负整数，即可得6
6a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴
，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=
，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
3．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.
月份用水量（吨）水费（元）
四月3559.5
五月80151
【答案】
4．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有，．于是，对正整数，有
原式=
5．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了4
5
m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．
【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．
【解析】
【分析】
（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，
依题意得：7.5-x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+4
5
m%）+1.5×（1+
4
5
m%）（1+2m%）=7.5×92%，
解得m=50
答：m的值为50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若
1
1
1α
β
+
=-，则m 的值为多少？
【答案】（1）1
4
m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据△≥0即可求解, （2）化简1
1
α
β
+
,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-
34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵1
1
1α
β
+
=-，即
αβ
αβ
+=-1, ∴
2m 3m2
+﹣（）
=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0
解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34
， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
7．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1
4
时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·
x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：
（1）?= ()()
2
2
21420k k k +-+≥，解得14
k ≤
（2）由22
12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-
+≥，
由根与系数的关系可得：2
121221,2x x k x x k k +=+=+
代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()2
10k -≤， 得1k =.
由于k 的取值范围为14
k ≤
， 故不存在k 使22
12120x x x x --≥．
8．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.
（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】
（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把
22
12123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，
解方程即可求解． 【详解】
证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，
∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，
∵22
12
123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=? ， BC 16=， DC 12= ，
AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点
Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，
Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.
（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；
（2）若四边形
ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或16
3
. 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】
解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.
∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，
则1
S QB PM 2=
?=12
×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,
即212t 16t -=-： 解得：t 5=
∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.
（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：
①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得
()2
221216t t +=- 解得：7
t 2
=
；
②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()2
22PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得
()()22
2 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，
此时，()2
32431447040=--??=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；
③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2
222 12162t 12t +=-+ , 得 116
3
t =
，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或16
3
时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】
本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.
10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】
（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】
（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+
10
x
×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0． 解得：x 1=30，x 2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），320
100%80% 400
?=．
答：该店应按原售价的8折出售．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．