陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)

第七章 习题解答

1. 某种光盘的记录范围为内径80mm,外径180mm 的环形区域,记录轨道的间距为2um.假设各轨道记录位的线密度均相同,记录微斑的尺寸为0.6um,试估算其单面记录容量. (注: 内、外径均指直径)

解： 记录轨道数为 25000002

.0280

180=?-=N

单面记录容量按位计算为 ∑=?≈?+=

N

n n M 1

10107.10006.0)

002.040(2π bits = 17 Gb. 按字节数计算的存储容量为 2.1GB.

2. 证明布拉格条件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配δ = 0的情形， 因而（7-18）式描述了体光栅读出不满足布拉格条件时的位相失配。

证明: 将体光栅读出满足布拉格条件时的照明光波长(介质内) 和入射角 (照明光束与峰值条纹面间夹角)分别记为λ0和θ0, 则根据布拉格条件式（7-1）有: 2Λsin θ0= λ 0 其中Λ为峰值条纹面间距.

对于任意波长λa (空气中) 和入射角θr (介质内), 由(7-17)式, 位相失配 δ 定义为:

24)cos(n K K a

r πλθφδ-

-= 其中n 0为介质的平均折射率, K = 2π/Λ为光栅矢量K 的大小，φ为光栅矢量倾斜角，其值为

2

2

π

θθφ+

+=

s

r ，θr 为再现光束与系统光轴夹角 (参见图7-9)．

当 δ = 0 时,有

2

422cos n K K a r s r πλθπθθ=

??? ??-++ 即:

Λ

=Λ=

???

??-2422sin 0λππλθθn s r λ为介质中的波长. 由于角度

2

s

r θθ-恰为照明光与峰值条纹面的夹角θ, 以上结果亦即布拉

格条件2Λ sin θ = λ.

当读出光偏离布拉格角θo 和布拉格波长λo 的偏移量分别为?θ和?λ时，有

[]0

2

002

000

02044sin )sin(cos )cos( 4)

()(cos n K n K K K n K K πλ

πλθθφθθφπλλθθφδ?--

?--?-=?+-

?+-=

利用布拉格条件式(7-17), 以及?θ和?λ很小时的近似关系 cos ?θ≈1 和 sin ?θ≈?θ, 立

即可得:

δ =?θK sin(φ-θ0) - ?λK 2

/4πn 0 即(7-18)式 原题得证。

3. 用波长为532nm 的激光在KNSBN 晶体中记录非倾斜透射光栅,参考光与物光的夹角为30o

(空气中).欲用波长为633nm 的探针光实时监测光栅记录过程中衍射效率的变化,计算探针光的入射角.(假设在此二波长晶体折射率均为2.27)

解： 532nm 为空气中激光波长记作λa 1, 在晶体外的入射角为θa 1，其在晶体中波长为λ1, 入射角为θ1；633nm 为空气中激光波长记作λa 2, 在晶体外的入射角为θa 2，其在晶体中波长为λ2，入射角为θa 2。本题中涉及非倾斜光栅, 光束入射角即为与光栅峰值条纹面的夹角, 按题意, 则波长532nm 和633nm 激光应分别满足布拉格条件：

晶体中： 2Λsin θ1=λ1 2Λsin θ2=λ2 (1) 由折射定律，换算成空气中角度和波长为：

空气中： 2Λsin θa 1=λa 1 2Λsin θa 2=λa 2 (2) 由（2）式得： θa 2 = arcsin (λa 2 ? sin15?/λa 1 )= arcsin (633 ? sin15? /532 ) = 17.936 ? 故探针光的入射角应为17.936?。

4. 为了与实验测量的选择角相比较,需要有体光栅在空气中的选择角的表达式. 试对小调制度近似(ν<<1),导出一个计算非倾斜透射光栅空气中的选择角的表达式 (所有角度均应为空气中可测量的值).

解：注意我们将对应着η-ξ 曲线的主瓣全宽度定义为选择角, 体光栅晶体中选择角表达式为：

)

2sin(cos 22

2?θλπνπs a nd -=?Θ

(1)

ν <<1时，对非倾斜透射光栅，有：

r a nd θπλνπsin 22-=?Θr

a

nd θλsin ≈

(2)

设空气中参考光入射角为θr o , 选择角为?Θo . 由折射定律有

sin(?Θo +θr o ) = n sin(?Θ+θr )

(3) 展开为 ： sin ?Θo cos θr o + cos ?Θo sin θr o = n (sin ?Θcos θr + cos ?Θsin θr )

(4)

因为?Θo 和?Θ很小，有如下近似：cos ?Θo ≈cos ?Θ/2≈1, sin ?Θo ≈?Θo , sin ?Θ≈?Θ. 因此(4)式可化简为：

?Θo cos θr o + sin θr o = n (?Θcos θr + sin θr )

由折射定律，有sin θr o = n sin θr ，可得： ?Θo = n ?Θcos θr / cos θr o

= n λa cos θr / (nd ? sin θr ? cos θr o )

= 2λa (n 2-sin 2 θr o )1/2

/ (d sin2θr o )

此式可作为空气中选择角的表达式。当sin 2 θr o << n 2

时,还可进一步简化为:

02020

2sin 22sin 12sin 2r a

r r a

d n n d n θ

λθθλ≈???

? ??-≈

?Θ 以最常用的铌酸锂晶体为例, n =2.2-2.3, 当θr o < 45?时, 用0

2sin 2r a

d n θλ=

?Θ估算空气中的

选择角, 误差只有5%左右.

5. 铌酸锂晶体折射率 n =2.28, 厚度d = 3mm, 全息时间常数之比τE /τW = 4, 饱和折射率

调制度?n max =5?10-5

, 用λ = 532nm 的激光在晶体中记录纯角度复用的全息图, 物光角度取为

θs =30?, 参考光角度范围θr = 20?-40?. 若要求等衍射效率记录且目标衍射效率设定为10-5

, 试分析影响存储容量的主要因素.为了提高存储容量, 应当在哪些方面予以改进? 解：本题仅涉及纯角度复用技术, 且无页面容量的数据, 故主要讨论每个空间区域内复用存储的数据页面数即角度复用度. 影响存储容量的主要因素有： （1）有限的角度选择性及实际选择角增宽 （2）光学系统对存储容量的限制 （3）噪声对存储容量的限制

本题可近似为准对称的透射式光路，以平均的参考光角度θr =θs =30? 并利用第4题的结果, 可估算出平均选择角为:

=?????==?Θ-)

60sin(31053228.222sin 26

0r a d n θλ0.0535?

由光学系统决定的参考光入射角范围Θ=20?, 故允许的角度复用度为：

M a ≈ Θ/ ?Θ =20/0.0535 = 374

由于系统存在噪声, 要求有一定的目标衍射效率, 而记录材料具有有限的动态范围, 因而根据(7-77)式,角度复用度限制为： M a =

min

sat cos ηθλτπτs W E d

n ?

= 4?3.14?5?10-5

?3

/ (532?10-6

?cos30??10-5/2

) =1293 由以上结果可见，本题中存储容量主要受到有限的角度选择性和光学系统有限的孔径角的限制。要提高存储容量，需首先增大晶体厚度, 适当增大写入光的夹角和光学系统的孔径角, 采用较短的激光波长.

6. 用作组页器的空间光调制器为(24?36)mm 2

的矩形液晶器件, 含有480?640个正方形像元. 用焦距为15mm 的傅里叶变换透镜和633nm 激光记录傅里叶变换全息图, 问允许的参考光斑最小尺寸为多少?

解：空间光调制器的复振幅透过率可描述为二维rect 函数阵列. 当记录傅立叶变换全息图光路中包括空间光调制器时，4f 系统中频谱面上的频谱是与像元间距有关的sinc 函数。记录物体基本信息的必要条件是参考光光斑至少包含物体的零频和正负基频频谱。 正方形像元间距为下式所求，二者取其小： 24/480 = 0.05mm 36/640 = 0.056mm

由于黑白相邻的两个像元构成物面上最小可分辨的周期, 故方波条纹的最高频率为

f max = 1/(2?0.05) = 10 mm -1.

在焦距为f 的傅里叶变换透镜的频谱面上, 物体+1级频谱分量的间距为：

D H = 2λf f max = 2?633?10-6

?15?10= 0.19 mm 所以，允许的参考光斑最小尺寸是直径为0.19 mm 的圆斑。

7. 用一种高级语言编写计算机程序, 计算在光折变晶体中角度复用存储100幅全息图的曝

光时间序列. 计算用到的参数为: 饱和衍射效率0.5, 目标衍射效率10-5

, 写入时间常数60s, 擦除时间常数700s. 透射式准对称光路.

解: 对于透射式准对称光路，由(7-24)和(7-26)式, 光栅衍射效率表达式为：

η = sin 2ν = ???

?

???s nd

θλπcos sin 2

相应的折射率调制度为 ?n = ηπθλ1s

sin d

cos -, 则饱和折射率调制度?n sat 与饱和衍射效率ηsat 的关系为: ?n sat =

sat ηπθλ1s

sin d

cos - 而相应于目标衍射效率η0 的折射率调制度?n 0为:

?n 0 =

01s

sin d

cos ηπθλ- 由 ? n 0 = ?n sat (1-W

W

t e

τ-)

可得出 t w = ???

? ??----0111sin sin sin ln ηηητsat sat W

(1)

t w 即为不会经受擦除效应的最后一个全息图(N =M )的曝光时间.

由(7-72)式, 对于足够大的N , 曝光时序的近似递推公式为:

t N =

t t E

N N τ11

1+++ (2)

或由(7-70)式, 更精确的递推公式为:

t N = τW 1

--exp(

)-exp(

)-exp(

ln

1

1

1

W

N E

N E

N t t t τττ++++

(3)

按(3)式建立起计算模型, 从(1)式出发, 可从后往前逆推出每个全息图的曝光时间. 应当指出的是:

a) 当计算出的t N+1足够大, (3)式右边的对数函数可能会不收敛,导致不能得出有意义的t N .

此时有意义的曝光时间个数(M-N )即为在题设条件下可以达到的角度复用度.

b) 若不指定全息图的个数, 按本题所给条件可以计算出角度复用度远大于100. 亦即本

题中的100个全息图是大量全息图序列中的最后100个, 因此可以使用近似递推公式(2)进行计算. 也就是说, 当目标衍射效率足够小时, 用(2)式计算也是相当精确的.

习 题

8．1利用4f 系统做阿贝—波特实验，设物函数t （x 1，y 1）为一无限大正交光栅

???

???*???????*=)comb()rect()comb()rect(),(2121211111

1111b y a y b b x a x b y x t

其中a 1、a 2分别为x 、y 方向上缝的宽度，b 1、b 2则是相应的缝间隔。频谱面

上得到如图8-53（a ）所示的频谱。分别用图8-53（b ）（c ）（d ）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

（a ） （b ） （c ） （d ）

图8.53（题8.1 图）

解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为

T ( f x , f y ) = ? [ t ( x 1 , y 1 )]

= {

11b ? [)rect(11a x ]·? [)comb(11b x ] } *{2

1

b ? [)rect(21a y ·?

[)comb(

2

1

b y ]} 将函数展开得 T ( f x , f y ) =

{}???++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(1

11111111b 1

b 1-x x x f b a f b a f a b a *

{

}???++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(2

22222222b 1

b 1-y y y f b a f b a f a b a （1） 用滤波器（b ）时，其透过率函数可写为

1 f x = + 1/ b 1 f y = 0 F ( f x , f y ) =

0 f x ≠ 1/ b 1 f y = 任何值 滤波后的光振幅函数为

T ·F =

[])δ()δ()sinc(1

11111b 1b 1-++x x f f b a b a 输出平面光振幅函数为 t ’（x 3，y 3）= ? -1

[ T ·F ]

=

)]}(exp [)](){exp [sinc(13131111b 2-b 2x j x j b a

b a ππ+ =

)(cos )sinc(1

31111b 22x b a

b a π? 输出强度分布为

I （x 3，y 3）= )(cos )(sinc 13

21122

12

1b 24x b a b a π? = )cos()(sinc 1

311

22

12

1b 42x b a b a π? - C 其中C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

（2）用滤波器（c ）时，其透过率函数可写为

1 f x ，f y ≠ 0

F ( f x , f y ) =

0 f x = f y = 0 滤波后的光振幅函数为

T ·F =

{

}???+++)()sinc()()sinc(

1

111111

1b 1

b 1-x x f b a f b a b a δδ

*

{

}???+++)()sinc()()sinc(

2

222222

2b 1

b 1-y y f b a f b a b a δδ 输出平面光振幅函数为 t ’（x 3，y 3）= ? -1

[ T ·F ]

= {[)(rect 1311

a x

b *])comb(13b x - )rect(1

311b x b a } × {

[)(rect 2321a y b *])comb(23b y - )rect(2

322b y b a

}

输出强度分布为

I （x 3，y 3）= | t ’（x 3，y 3）|2

有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。

（3）用滤波器（d ）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b ’，它与物光栅周期b 1、b 2的关系为

2

2211

11b b b +

=’

8．2 采用图8-53（b ）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm ，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。

解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为

t ’（x 3）= ? -1

{ )]()()[sinc(

1

1112

2-b f b f b a x x ++δδ} =

1

3111142b x b a

b a πcos )c(sin 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：

I = 13

21122

12

144b x b a b a πcos )(sinc = 1

311

22

12

182b x b a b a πcos )(sinc - C 其中C 是一个常数。

答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm 。

8．3 在4f 系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，

（a ）写出傅里叶平面P 2上的频谱分布表达式；

（b ）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；

（c ）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式；

（d ）若将一个π位相滤波器 exp （j π） x 2，y 2 ≤ x 0，y 0 H （x 2，y 2）=

0 其它

放在P 2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。 解答：将8．1题结果代入，其中b 1 = d = 4，a 1 = a = 1，除去与y 分量有关的项，可得

（a ）P 2平面上的频谱分布为：

})()sinc()()sinc(){sinc()(???++++=4

1

4141-4141x x x x f f f f T δδ

（b ）输出平面：

复振幅 t （x 3）= ? -1

[T （f x ）]

若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即 t (x 3) = )[rect(341

x *)]comb(4

3

x 光强分布 I (x 3) = | t (x 3)| 2 =

)[rect(3161

x *234

)]comb(x (c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即 t (x 3) = )[rect(34

1

x *)]comb(

43x -)rect(4

41

3x I = | t (x 3) | 2

由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为 a ’= 3，见下图

t （x 3） I （x 3）

3

（d ）将一个π exp （j π） f x = f y = 0 H （f x ，f y ）=

1 f x ，f y ≠ 0 只考虑一维情况，频谱变为 T ’（f x ）= T （f x ）·H （f x ）

= })()sinc()()sinc()exp(){sinc(???++++41

4141-4141

x x x f f j f δδπ

=})()sinc()()sinc()sinc({???++++4

14141-4

1

-41x x x f f f δδ

输出平面上的复振幅为

t (x 3) = ? -1[T （f x ）·H （f x ）]

= -

)[rect()rect(334141x x +*)]comb(43x - )rect(4

41

3x 8．4 图8-54所示的滤波器函数可表示为：

1 f x ＞0 H （f f ，f y ）= 0 f x ＝0

-1 f x ＜0 此滤波器称为希尔伯特滤波器。

证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。

L

L 2

x

图8.54（题8.4 图）

解答：位相物可表达为

t 0（x 1，y 1）= A ·exp [ j φ（x 1，y 1）]

对于弱位相物有φ < 1弧度，上式近似为（忽略A ） t 0（x 1，y 1）? 1+ j φ（x 1，y 1）

滤波平面得到

T （f x ，f y ）= ? [t 0（x 1，y 1）] =δ（f x ，f y ）+ j Φ（f x ，f y ）

其中 Φ（f x ，f y ）= ? [φ（x 1，y 1）]。 经希尔伯特滤波器，频谱面后的光

分布为T ’（f x ，f y ）= T （f x ，f y ）·H （f f ，f y ）

j Φ（f x ，f y ） f x > 0 = 0 f x = 0 - j Φ（f x ，f y ） f x < 0

像平面光场复振幅为 （以下无把握） t ’（x 3，y 3）= ? -1

[T ’（f x ，f y ）]

j φ（-x 3，-y 3） x 3 > 0

= 0 x 3= 0 - j φ（-x 3，-y 3） x 3< 0

光强分布为 I = t ’· t ’?

-φ 2

（-x 3，-y 3） x 3 > 0

= 0 x 3= 0

φ 2

（-x 3，-y 3） x 3< 0

（此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题）

8．5 如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比较均匀的照明光场，试说明其原理。

针孔

图8.55（题8.5 图）

8．6 光栅的复振幅透过率为

t （x ）= cos 2

πf 0 x

把它放在4f 系统输入平面P 1上，在频谱面P 2上的某个一级谱位置放一块λ/ 2位相板，求像面的强度分布。

解答：将复振幅透过率函数变换为

t （x ）= cos 2

πf 0 x = [1+cos 2πf 0 x ] / 2 其频谱为

T （f x ）= ? [t （x ）]

21=

δ（f x ）+ 21

? [cos 2πf 0 x ] = 21δ（f x ）+ 41 δ（f x - f 0）+ 4

1

δ（f x + f 0）

其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将λ/ 2位相板放在+1

级谱上，其透过率表达为

H （f x ）= exp （j π） 则频谱面P 2后的光振幅变为 T ’= T ·H

=

21δ（f x ）+ 41 δ（f x - f 0）·exp （j π）+ 41

δ（f x + f 0） = 21δ（f x ）- 41 δ（f x - f 0）+ 4

1

δ（f x + f 0）

像平面光场复振幅为

t ’（x ）= ? -1

[T ’]

=21 - 41exp （j 2πf 0x 3）+ 41

exp （-j 2πf 0x 3） = 21 - 2

1

j sin （2πf 0x 3）

像平面强度分布为

I = t ’（x ） 2

= t ’（x ）· t ’（x ）?

=

41

[1- j sin （2πf 0x 3）][1+ j sin （2πf 0x 3）] =41+4

1 sin 2

（2πf 0x 3） 像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。

8．7 在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A 、B 置于输入平面P 1原点两侧，其振幅透过率分别为：t A （x 1- l ，y 1）和 t B （x 1+ l ，y 1）；P 2平面上光栅的空间频率为f 0，它与l 的关系为：f 0 = l /λf ，其中λ和f 分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为：

?

????

?

--+?????

????++=

)(exp )(exp ),(2222121202022ππππx f j x f j y x G

试从数学上证明：

1）在输出平面的原点位置得到图象A 、B 的相减运算；

2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 8．8 如何实现图形O 1和O 2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 解答：第一步，制作O 1的傅里叶变换全息图，光路如下：

2) 全息图H t H = | ?1 |2 + R 02 + R 0?1（f

x ，f y ）exp_[ -j 2πf x b ] +R 0?1?（f x ，f y ）exp_[ j 2πf x b ]

其中?1= ? [O 1]，R 0为平面参考波的振幅，b 为参考点源的横向位移量。

第二步，进行卷积运算。在4f 系统中，将O 2置于输入平面（x 1，y 1），全息图置于频谱平面（x 2，y 2），如图

x 1,y 1 x 2,y 2

2几何像

f

1 '

f

2

f 2

'

x 3,y 3

频谱面后的光场为

U H '= ? [O 2]·t H

= ?2·{| ?1 |2

+ R 02

+ R 0?1（f x ，f y ）exp_[ -j 2πf x b ] +R 0?1?（f x ，f y ）exp_[ j 2πf x b ]} 输出平面光场为

O 2? ? -1

[ t H ]

= R 02

O 2 + O 1 ?O 1? O 2 + R 0O 1(x 3-b ，y 3)?O 2 + R 0O 1?(-x 3-b ，-y 3)?O 2

式中第三项即为O 1 和O 2的卷积运算，位置在x 3 = b 处。

8．9 在4f 系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 ?g / ?x ，若输入图象g 在x 方向的宽度为l ，光栅频率应如何选取？

解答：设复合光栅的空间频率为f 0和f 0+δ，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像，两个正一级像的位相差等于π，它们离零级像的角间距θ1、θ2分别由下式确定

sin θ1 = f 0λ， （1） sin θ2 =（ f 0 +δ）λ （2） 因而正一级像离零级像的线间距分别为

l 1 = sin θ1·f （3） l 2 = sin θ2·f （4）

其中f 是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是

l 1 - l 2 < l / 2 （l 为物的宽度） （5） 将（1）、（2）两式代入（3）、（4）两式，再代入（5）式，得到

l 1 - l 2 = δ ·λ f < l / 2

δ <

f

l λ2 （6）

因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。

8．10 用4f 系统通过匹配滤波器作特征识别，物g （x ，y ）的匹配滤波器为G *（f x ，f y ），当物在输入平面上平移后可表示为g （x - a ， y - b ），求证此时输出平面上相关亮点的位置坐标为x i = a ，y i = b 。

8．11 用一个单透镜系统对图象进行θ调制假彩色编码，如图8-55所示。已知调制物O m 的光栅空间频率为100线/mm ，物离透镜的距离为20cm ，图象的几何宽度为6 × 6cm ，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波长范围为650.0—444.4nm ）。

白光 解答：

设：f0 = 100线/mm，d = 20cm，a×b = 6×6cm，λmax= 650．0nm，λmin= 444．4cm

求：透镜最小孔径φmin

解：调制物O m的最大线度为

2l =（a2+b2）1/2 = 6√2cm

l = 3√2cm

欲在频谱面上进行成功的滤波操作，必须使所有物点的一级衍射波都能进入透镜，最大衍射角θmax应与λmax相应，即

sinθmax / f0 = λmax

由几何关系得到

sinθmax = [（φ / 2）- l ] / d

所以有

φ = 2 [d·f0·λmax + l ]

代入数据，得φ = 110．85mm ? 111mm

答：透镜孔径至少应达到111mm，才能保证在频谱面上进行成功的滤波操作。