(完整)初中几何折叠习题(带图).doc

图形翻折

1、如图，把直角三角形纸片沿着过点 B 的直线 BE 折叠，折痕交AC 于点 E，欲使直角顶点 C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠ A 的度数必须是．

C

E

A

B

2、如图，在矩形ABCD 中，AB6, 将矩形ABCD折叠，使点 B 与点 D 重合，C落在C处，若AE：BE 1：2，则折痕 EF 的长为．

3、已知△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=120°，点 D 是边 AC 上一点，连BD ，若沿直线BD 翻折，点

A 恰好落在边BC 上，则 AD ： DC=．

A

D

C

B

A ’

4、如图，已知边长为 6 的等边三角形ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且ED ⊥BC, 则 CE 的长是 ()．

(A) 2412 3(B) 12 3 24

(C) 12 3 18(D) 1812 3

5、正方形纸片ABCD 中，边长为4， E 是 BC 的中点，折叠正方形，使点 A 与点 E 重合，压平后，得折痕 MN （如图）

设梯形 ADMN 的面积为S，梯形 BCMN 的面积为S，那么S : S =

1 2 1 2

M

C

D

A B

N

6、如图 2,把腰长为 4 的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是.

图2

7、如图 1，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABC 75 , 将梯形沿直线EF 翻折，使 B 点落在线段 AD 上，记作 B'点，连结 B、 B'交 EF 于点 O ，若B' FC 90 ，则 EO : FO .

A

B '

D

E

O

B F C

8、等边 △ OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形使点

B 与 y 轴上的点

C 重合，折痕为

MN ，且 CN 平行于 x 轴，则∠ CMN =

度．

y

A

B

C

x

O

（第 12 题）

9、有一块矩形的纸片 ABCD ，AB=9,AD=6, 将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为

AE ，再

将△ AED 沿 DE 向右翻折， AE 与 BC 的交点为

F ，则△ CEF 的面积为 ．

A

B

A

D

B

D

B

F

D C

E C E C

10、如图，有一矩形纸片 ABCD ，AB=10，AD =6，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE ，

再将△ AED 以 DE 为折痕向右折叠，

AE 与 BC 交于 F ，那么△ CEF 的面积是

。

A B A D B DB A

D C E

C

E

C

第 12 题图

11、如图 1，在等腰直角△ABC 中， AB=AC，点 D 在 BC 上，ADB 600，将△ADC沿AD翻折后点 C

落在点 C/，则 AB 与 BC/的比值为 ________.

12、△ ABC 中， BC=2 ，∠ ABC=30°， AD 是△ ABC 的中线，把△ ABD 沿 AD 翻折到同一平面，点 B 落在B′的位置，若 AB′⊥ BC，则 B′C=__________．

13、在△ABC 的纸片中，∠ B=20 °，∠ C=40 °，AC=2，将△ ABC 沿边 BC 上的高所在直线折叠后B、C 两点之间的距离为．

14、如图，长方形纸片 ABCD 中， AD ＝ 9， AB=3 ，将其折叠，使其点 D 与点 B 重合，点 C 至点 C/，折痕为 EF．求△ BEF 的面积．

A E D

B

F C

/

C

15、如图，在直角梯形 ABCD 中， AD//BC ， DC⊥ BC ， E 为 BC 边上的点，将直角梯形 ABCD 沿对角线BD 折叠，使△ ABD △与 EBD 重合 .若∠ A=120°， AB=4 cm，求 EC 的长．

A D

B E C

16、如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（ 0，3），

点 B 的坐标为（5，0），点 E 是 BC 边上一点，如把矩形 AOBC 沿 AE 翻折后，C点恰好落在 x 轴上点

F处．

（1）求点F的坐标；

（2）求线段AF所在直线的解析式．

y

A

C

E

O F B

x

将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是[ D ]

A．矩形B．三角形 C ．梯形D．菱形

如图，折叠长方形的一边AD，点 D 落在 BC边的点 F 处，已知AB=8cm, BC=10cm , 求 AE 的长 .

A D

E

B F C

. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点 C 的坐标是（ 4，0）。

（1）直接写出 A、 B 两点的坐标。 A ______________ B____________

（ 2）若 E 是 BC上一点且∠ AEB=60°，沿 AE折叠正方形 ABCO，折叠后点 B 落在平面内点 F 处，请画出点

F 并求出它的坐标。

（ 3）若 E 是直线 BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿 AE折叠后，点B 恰好落在．．

x 轴上的某一点P 处？若存在，请写出此时点P 与点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。

y

A B

E

O C x

如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C/处，BC/交 AD 于 E，AD=8，AB=4，则 DE 的长为（）．

A．3 B． 4 C．5 D．6

解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC，即∠ 1=∠3，由折叠知，∠ 1=∠2，C′D=CD=4、BC′=BC=8，∴∠ 2=∠ 3，即 DE=BE ，设 DE=x，则 EC′=8-x，在Rt△ DEC′中，

2 2 2 ∴ 2 （ 2 2 解得：x=5 ，DC' +EC' =DE 8-x ）=x

4 +

∴DE 的长为 5．

三、形翻折合

1、如， E 是正方形 ABCD 的 AD 上的点， F 是 BC 延上的一点，且BF=EF， AB=12 ，AE=x， BF=y．

（1）当△ BEF 是等三角形，求 BF 的；

（2）求 y 与 x 之的函数解析式，并写出它的定域；

（3）把△ABE 沿着直 BE 翻折，点 A 落在点A，探索：△A BF能否等腰三角形？如果能，求出 AE 的；如果不能，明理由．

E

A D

F

C

（ 1）当△BEF 是等三角形，∠ ABE=30°．?????????????（ 1 分）

E

A D

F

C ∵ AB=12 ，∴ AE = 4 3．????????????????????????（ 1 分）

∴ BF=BE= 8 3．?????????????（ 1 分）

（2）作 EG⊥ BF ，垂足点 G．????????（ 1 分）根据意，得

EG=AB=12， FG =y-x， EF=y．?（1 分）

∴ y 2( y x) 212 2．??????????（1分）

∴所求的函数解析式 y

x 2

144

(0 x 12) ．??????????（1分，1分）2x

（ 3）∵∠ AEB=∠FBE =∠ FEB ，∴点A落在 EF 上．?????????????（ 1 分）∴ A E AE ，∠ BA F =∠ BA E =∠A=90°．???????????????（ 1 分）

A E

D

A

C F

∴要使△ A BF 成等腰三角形，必使 A B A F ．

而 A B AB 12 ， A F EF A E BF A E ，

∴ y x 12 ．??????????????（ 1 分）

∴ x 2 144 x 12 ．整理，得 x 2 24x 144 0 ．

2x

解得 x 12 12 2 ．

：x 12 12 2 都原方程的根，但x 12 12 2 不符合意，舍去．

当 AE= 12 2 12 ，△ A BF 等腰三角形．??????????????（ 1 分）

即 y 3 x2 10 3 x 16 3 （ 2 分）

3 3 3

（2）点 P（5, 3 3)

AP=AB=BP=6 （ 1 分）

∴PAP ' 600 （ 1 分）

作 P ' G AP 于G， AG 1

x ， P ' G 3 x 2 2

又 P ' E PE

y ， EG

6

1

x y

2

在 Rt P '

EG 中， ( 3

x)

2

(6

1

x y)2

y 2

（ 2 分）

2

2

∴ y

x 2 6x 36

(0

x 6)

（ 2 分）

12 x

（ 3）若 EP '

x 轴

则 6 y 2x

x 2 6x 36 2 x

x 1

12 6 3 ， x 2

12 6 3

（ 1 分）

6

12 x

（舍去）

∴ P ' (14 6 3,0)

若 FP '

x 轴

则 6

y

1 x

2

x 2 6x 36

1

x 3

6 3 6 ， x 4

6 3

6

（ 1 分）

6

12 x

x

（舍去）

2

∴

P ' (6 3 4,0)

若 EF x 轴， 显然不可能。∴ P ' (14 6 3,0)

或 P ' (6 3 4,0)

（ 1 分+1 分）

4、已知边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，且 BE=2CE ，连结 AE 交射线 DC 于点 F ，若

ABE 沿直线

AE 翻折，点 B 落在点 B 1 处 .

（ 1）如图 6：若点 E 在线段 BC 上，求 CF 的长；

（ 2）求 sin DAB 1 的值；

（ 3）如果题设中 “BE=2CE ”改为“

BE

x ”，其它条件都不变， 试写出 ABE 翻折后与正方形 ABCD

CE

公共部分的面积

y 与 x 的关系式及定义域 .（只要写出结论，不要解题过程）

A

B

A

B

E

D

C D C F 备用图

图 6

（ 07 嘉定第 25 ）

A B

E

D

C

F

25.（ 1）解：∵ AB ∥DF

AB BE ∴

??????? 1 分

CF

CE

∵ BE=2CE ， AB=3 ∴

3

2CE ?????? 1 分 CF

CE ∴ CF

3 ???????? 2 分

2

（ 2）若点 E 在 段 BC 上，如 1 直

AB 1 与 DC 相交于点 M

由 意翻折得：∠ 1= ∠ 2

∵ AB ∥ DF

∴∠ 1=∠F ∴∠ 2=∠F

∴ AM=MF ????????????????1 分

A B

1 2

B 1 E DM

C

F

1

DM= x ， CM= 3 x

3

又 CF

2

9 ∴ AM=MF=

x

2

在 Rt

ADM 中， AD 2

DM 2 AM 2

∴ 32

x

2

(

9

x) 2

∴ x 5

??????? 1 分

2

4

∴DM=

5

， AM=

13

4

4

∴ sin DAB 1 =

DM

=

5

?????????? 1 分

AM

13

若点 E 在 BC 的延 上，如

2

A

B

B 1

N D F C

2

E

直 AB 1 与 CD 延 相交于点

N

同理可得： AN=NF

∵ B E=2CE ∴ BC=CE=AD ∵AD ∥ BE

∴ AD

DF

∴ DF=FC= 3

?? 1 分

CE

FC

3 2

DN= x ， AN=NF= x

2

在 Rt ADN 中， AD 2

DN 2

AN 2

∴ 32

x 2

(x 3 )2 ∴ x 9 ?????? 1 分

2

4

∴ DN= 9

， AN=

15

4

4

DN

=

3

????????????

1 分

sin DAB 1 =

AN 5

9x

，定 域 x

0??????? 2 分

（ 3）若点 E 在 段 BC 上， y

2x 2

若点 E 在 BC 的延 上， y

9x 9

1.???? 2 分

，定 域 x

2 x

5、如 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ 12， BC ＝ 16， 点 P 从点 A 出 沿 AC 向点 C 以每

秒 3 个 位 的速度运 ， 点 Q 从点 C 出 沿 CB 向点 B 以每秒 4 个 位 的速度运

． P ， Q 分 从点 A ，C 同 出 ，当其中一点到达端点 ，另一点也随之停止运 ．在运 程中，△

PCQ 关于

直 PQ 称的 形是△

PDQ ． 运

t （秒）．

（ 1） 四 形 PCQD 的面 y ，求 y 与 t 的函数关系式及自 量

t 的取 范 ；

（ 2）是否存在 刻

t ，使得 PD ∥AB ？若存在，求出

t 的 ；若不存在， 明理由；

（ 3）通察、画或折等方法，猜想是否存在刻t，使得PD ⊥ AB？若存在，估t 的在括号中的哪个段内（ 0≤ t≤ 1； 1＜ t≤ 2； 2＜ t≤ 3； 3＜ t≤ 4）；若不存在，要明理由．

A

P

D

C Q B

第25 题图

（ 07 奉第 25 ）

25．（ 1）由意知CQ＝ 4t， PC＝ 12－ 3t，?????? 1 分

∴ △ 1

CQ 6t 2 24t ．

S PCQ = PC

2

∵△ PCQ 与△ PDQ 关于直 PQ 称，

∴ y= 2S△PCQ 12t 2 48t ．??????2分

（ (0 t 4) ?????????????? 1 分

（2）存在刻 t，使得 PD∥ AB，延 PD 交 BC 于点 M，如，?? 1 分

若PD ∥AB，∠ QMD =∠B，又∵∠ QDM =∠ C=90 °，

A

P

D

C QMB

∴图 2

Rt△QMD ∽ Rt△ ABC，

从而QM QD

，????? 2 分AB AC

∵QD=CQ=4t， AC＝ 12，

AB= 122 162 20，

∴ QM= 20

t ．??????? 2 分

3

4t

20

若 PD∥ AB，

CP

CM ，得 12 3t

t

3 ，??????2 分

CA CB 12 16

解得 t＝12

．?????? 1 分11

∴当 t＝12

秒， PD∥ AB．11

（3）存在刻 t，使得 PD ⊥ AB．段： 2＜ t≤ 3．?????? 2 分

26.(2007. 绵阳 ) 当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉

之急”．如图，已知矩形 ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（ 1）以点

A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点

B 落在 AD上，折痕与 BC交于 E；（2）将纸片展平

后，再一次折叠纸片，以 E 所在直线为折痕，使点 A 落在 BC上，折痕 EF交 AD于

F．则∠ AFE （）

=

A． 60B ．67.5 C．72D．75

A

B

27.（ 2012?西）如所示，沿 DE 且△AFD 的面 60，△DEC

C

折叠方形ABCD 的一，使点 C 落在 AB 上的点 F ，若 AD=8 ，的面．

解：∵四形ABCD 是矩形，

∴∠ A= ∠ B=90°， BC=AD=8 ，CD=AB ，∵△ AFD 的面60，

即AD?AF=60 ，

解得： AF=15 ，

∴ DF=

=17 ，

由折叠的性质，得： CD=CF=17 ，

∴ AB=17 ，

∴ BF=AB ﹣ AF=17 ﹣ 15=2，

设 CE=x ，则 EF=CE=x ，BE=BC ﹣ CE=8 ﹣ x ，

2 2 2

在 Rt △ BEF 中， EF =BF

+BE ，

即 x 2=22+（ 8﹣ x ） 2，

解得： x=

，

即 CE=

，

∴△ DEC 的面积为：

CD?CE= ×17× = ．

故答案为：

．

28. ( 2012?丽水 ) 如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝AC ，∠ BAC ＝ 50°．∠ BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点

O ，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则∠ CEF 的度数是 ．

解：连接 BO ，

∵∠ BAC ＝ 50°，∠ BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O ，

∴∠ OAB ＝∠ ABO ＝25°，

∵等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 50°， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 65°， ∴∠ OBC ＝65°－ 25°＝ 40°，

∵

，

∴△ ABO ≌△ ACO ，

∴ BO ＝ CO ，

∴∠ OBC ＝∠ OCB ＝40°， ∵点 C 沿 EF 折叠后与点

O 重合，

∴ EO ＝ EC ，∠ CEF ＝∠ FEO ，

∴∠ CEF ＝∠ FEO ＝

＝ 50°，

故答案为： 50°．

29.