答案应用随机过程a

山东财政学院

2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )

（考试时间为120分钟）

参考答案及评分标准

考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉

一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ）

1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ）

2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ）

3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ）

4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ）

5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii

p 。（ⅹ ）

二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。

2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。

三． 简答题（每小题5分，共10分）

1． 简述马氏链的遍历性。

答：设)

(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。

2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？

答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。

四． 计算、证明题（共70分）

1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）

解：

2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）

解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是 ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y

1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

3. 顾客以泊松过程到达某商店，速率为小时人4=λ，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。（10分）

4. 设{}1,≥n X n 是一马氏链，{}2,1,0=I ，

???????

?????????=4143041214

104143P ，初始分布{}.2,1,0,31)0(0====i i X p p i 试求（1）{}1,020==X X p （7分）

（2）{}12=X p （8分）

解：（1）{}{}{})2(01002020)0(0101,0p p X X p X p X X p ======= 由于???????

?????????===4116516316321165161165852)2(PP P P 可知，165)2(01=

p ，于是， {}{}{}48

516531)0(0101,0)2(01002020=?========p p X X p X p X X p （2）由全概率公式，

{}12=X p ={}{}010020===X X p X p +{}{}111020===X X p X p

+{}{}212020===X X p X p

=)2(010)0(p p +)2(111)0(p p +)2(212)0(p p =31（165+21+169）=24

11 5. 设{}1,≥n X n 是一随机游动，{} ,,2,1,0j I =，转移概率为：

?????=====+=-+

,3,2,1,,2,1,0,1,1,1,0,0j q p j p p q p q p j j j j

（1）画出转移概率图，写出一步转移概率阵. （5分）

（2）说明这是何种类型的随机游动（有无反射壁或吸收壁？哪几个状态是？）（5分）

(3) 求其平稳分布 ,2,1,0,=j j π（10分）

解：（1）图略。

???????

?????????= 0

00000000q p q p q p q P （2）是具有一个反射壁的随机游动，状态0是反射壁。

(3)设马氏链存在极限分布{}i π，则有方程组

,3,2,1,11

010=???=+=++-j q p q q j j j ππππππ 解得 0011πππq

p q q =-= j j j j j j q p q p ππππππ)q p (1111+=+=++-+-，即由

得 11-+-=-j j j j p q p q ππππ

从而有，0112ππππp q p q -=-

得 0212)(πππq p q p ==，类推，得 0)(ππj j q p =，因而，当1)(

p 时， 由10=∑∞

=j j π，可得，q p -

=10π a, 当2

1

p j j π，j 状态的平均返回时间j j πμ1=

b ，当21=p 时，,1=q p 级数∑∞=0)(j j q

p 发散，随机为零常返，,1=j μ∞=j μ c. 当21>

p 时，无极限分布，各状态为非常返。