排列组合知识点与方法归纳

、知识网络

二、咼考考点

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性

质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与组合的混合问题)

三、知识要点

一?分类计数原理与分步计算原理

1分类计算原理(加法原理)：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m^ 种不同的方法，，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N= m+ mi+…+ m种不同的方法。

2分步计数原理(乘法原理)：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同的方法，，做第n步有mi种不同的方法，那么完成这件事共有N= m x m2X —x m n种不同的方法。

3、认知：

上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加

法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各

种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害

是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后

这件事才告完成(在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完

成这件事)。

二?排列

1定义

(1)从n个不同元素中取出m()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

(2)从n个不同元素中取出m()个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为.

2排列数的公式与性质

(1)排列数的公式：=n (n-1 )( n-2 )???( n-m+1)= 特例：当m=n时，=n ! =n

(n-1 ) ( n-2 ) -x 3X 2X1

规定：0！=1

（2 ）排列数的性质：

(I) = （排列数上标、下标同时减 1 （或加1 ）后与原排列数的联系）

(n) （排列数上标加1 或下标减 1 后与原排列数的联系）

（川

（分解或合并的依据）

）

三．组合

1定义（1 ）从n 个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m

个元素的一个组合

（2 ）从n 个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号表示。

2组合数的公式与性质

（1 ）组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例：

（2 ）组合数的主要性质：

（I）（上标变换公式）

（n）（杨辉恒等式）

认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。

3比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，

而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

（1 ）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

（2 ）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列” 两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：

四、经典例题

例1 、某人计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3 片，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方式是（）

A .5 种种C. 7 种D. 8 种

分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180 元如何使用的问题。

解：注意到购买3 片软件和2 盒磁盘花去320 元，所以，这里只讨论剩下的180 元如何

使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3 片软件，不买磁盘，只有1

种方法；第二类，再买2 片软件，不买磁盘，只有1 种方法；第三类，再买1 片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2 种方法；第四类，不买软件，再买2 盒磁盘、1 盒磁盘或不买磁盘，有3 种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1 + 1+2+3=7种不同购买方法，应选Co

例2、已知集合M={-1 , 0, 1} , N={2, 3, 4, 5}，映射，当x € M时，为奇数，则这样的映射的个数是（）

分析：由映射定义知，当x€ M时，

当x € M时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但必须为奇数，因此，对M中x的对

应情况逐一分析,分步考察：

第一步，考察x=-1的象，当x=-1时，，此时可取N中任一数值，即M中的元素-1 与N 中的元素有4 种对应方法；

第二步,考察x=0 的象,当x=0 时, 为奇数,故只有2 种取法（=3 或=5 ）,即M 中的元素0与N中的元素有2种对应方法；

第三步，考察x=1的象，当x=1时，为奇数，故可为奇数也可为偶数，可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射共有4X 2X 4=32 个。

例3、在中有4 个编号为1, 2, 3, 4 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种, 使有相邻边的小三角形颜色不同, 共有多少种不同的涂法？解：根据题意, 有相邻边的小三角形颜色不同, 但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色,于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中分步计算。

第一类：1 与4同色,则1 与4有5种涂法, 2 有4种涂法, 3 有4 种涂法, 故此时有N=5X 4X

4=80种不同涂法。

第二类：1 与4 不同色, 则1 有5种涂法, 4有4 种涂法, 2 有3种涂法, 3有3种涂法, 故此时有Nb=5X 4X 3X 3=180种不同涂法。综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。

点评：欲不重不漏地分类, 需要选定一个适当的分类标准,一般地,根据所给问题的具体情况, 或是从某一位置的特定要求入手分类, 或是从某一元素的特定要求入手分类, 或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类, 或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。

例4、将字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）种种种

种

解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。

第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；

第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法;

第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；

于是，由分步计数原理得，共有N=3X 3X 1=9种不同填法。

解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。

第一类：编号为1的方格内填数字2,共有3种不同填法：

于是由分类计数原理得共有种不同填法，应选

解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N=4X 3X 2X仁24 种不同填法，其中不合条件的是（1）4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；（2）恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；

（3）恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；因此，有数字与格子编号相同的填

法共有N2=1+6+8=15种

于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。

点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。

当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数一不符合

条件的方法种数=符合条件的方法种数。

在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与

“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。

例5、用数字0, 1 , 2, 3, 4, 5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3,并且2和3不相邻的四位数有多少个？

解：注意到这里“ 0”的特殊性，故分两类来讨论。

第一类：不含“ 0”的符合条件的四位数，首先从1, 4, 5这三个数字中任选两个作排

列有种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有种排法，于是

由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有=36个。

第二类：含有“ 0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间

接法”：首先从1,4，5这三个数字中任选一个，而后与0, 2, 3进行全排列，这样的排列共有个。

其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：

（1）0在首位的，有个；（2）0在百位或十位，但2与3相邻的，有个

（3）0在个位的，但2与3相邻的，有个

因此，含有0的符合条件的四位数共有=30个

于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个

点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的部分

元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆

绑法”，即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进

而再考虑大元素内部之间的排列问题。

例6、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，

那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）种种种种

分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5 个空格中选2个排进去，有种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有种点评：这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以。解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法，请读者引起注意。

例7、

(2) 若，贝H n= _________________________ ; (3) ______________________________________ ；

(4) 若，则n 的取值集合为 ______________________________________ (5) 方程的解集为 _____________________________________ ; 解：

(1) 注意到n 满足的条件 原式==

(2) 运用杨辉恒等式，已知等式 所求n=4。 (3) 根据杨辉恒等式 原式==

(4)注意到这里n 满足的条件n 》5且n € N

在①之下, 原不等式

???由①、②得原不等式的解集为

{5 , 6, 7, (11)

(5)由 注意到当y=0时，无意义，原方程组可化为

例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了 3套卡片，每套卡片有写上 的卡片各一张，若从这 15张卡片中，每次取出 5张，则字母不同，且

有多少种?

解: 符合条件的取法可分为 6类

第- 啖: 取出的 5张卡片中， 1张红色， 1张黄色， 3张绿色， 有 种取法; 第

二

:类: 取出的 5张卡片中， 1张红色， 2张黄色， 2张绿色， 有

种取法; 第三类: 取出的

5张卡片中， 1张红色， 3张黄色， 1张绿色， 有

种取法;

第四类：取出的5张卡片中，2张红色，1张黄色，2张绿色，有 种取法;

第五类：取出的 5张卡片中， 2张红色， 2张黄色， 1张绿色，有 种取法；

由此解得

经检验知是原方程组的解。

A B 、C 、D E 字母

3种颜色齐全的取法

第六类：取出的5张卡片中，3张红色，1张黄色，1张绿色，有种取法；于是由分类计数原理知，符合条件的取法共有

点评：解决本题的关键在于分类，分类讨论必须选择适当的分类标准，在这里，以红色

卡片选出的数量进行主分类，以黄色卡片选出的数量进行次分类，主次结合，确保分类的不重不漏，这一思路值得学习和借鉴。

例9、（1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2 只袜子配成一双的可能取法种数是多少？

（2）设有编号为1，2，3，4，5 的五个小球和编号为1，2，3，4，5 的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？

（3）将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种？

（4）某产品共有4 只次品和6 只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4 只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？

解：

（1）满足要求的取法有两类，一类是取出的4只袜子中恰有2只配对，这只要从5 双

袜子中任取1双，再从其余4 双中任取2 双，并从每双中取出1只，共有种选法；另一类是4 只袜子恰好配成两双，共有种选法，于是由加法原理知，符合要求的取法为种。

（2）符合条件的放法分为三类：

第一类：恰有2个小球与盒子编号相同，这只需先从5 个中任取两个放入编号相同的盒子中，有种放法，再从剩下的3 个小球中取出1 个放入与其编号不同的盒子中，有种方法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有 1 种放法，故此类共有种不同方法；

第二类：恰有3个小球与盒子编号相同，这只需先从5 个中任取三个放入编号相同的盒子中，有种放法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有1 种放法，故此类共有种

不同方法；

第三类：恰有5个小球与盒子编号相同，这只有1 种方法；于是由分类计数原理得，共有N=20+10+1=31种不同方法。

（3）设计分三步完成：第一步，取定三个空盒（或取走一个空盒），有种取法；

第二步，将4个小球分为3堆，一堆2个，另外两堆各一个，有种分法；第三步，将分好的3 堆小球放入