二阶导数在解高考函数题中的应用
浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。 而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题）
已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；
（2） 证明：0)()1(≥-x f x .
原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），x x x f 1ln )('+
= ， 11ln 1)('22++≤+?++≤ax x x x ax x x xf ，
max )(ln ln x x a x x a -≥?-≥? .
令,11)('ln )(-=-=x
x g x x x g 则 递减，
时，当递增；
时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，
故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.
证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则
① 10< ② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥x x x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立. 对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形 能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明： 证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F （只需证） （要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=）（ )1)(ln 1(1ln )1(x x x x x x + -++-+= 2)1(ln 2++-=x x x x ， 显然当1=x 时，0)('=x F ， 当10< x ， )(x F 在（0,1﹚递减； 当1>x 时，0ln ,21>>+x x x ， )('x F 的符号仍不能判定，求二阶导数得 011ln 2)]'('[2 >++=x x x F ， 从而)('x F 在1>x 时递增， 0)1(')('=>F x F ，)(x F 在[ 1,+∞﹚递增， 所以当1=x 时，0)1()(min ==F x F ， 故0)(≥x F 成立，原不等式成立. 例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题） 设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥ +； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1 x f x ax ≤+，求a 的取值范围． （原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地. （Ⅱ）解法二：由题设1 )(,0+≤≥ax x x f x ， 若0 <+->ax x x f ax a x ； 若0)1)(1(1(,01,0≤--+?+≤ >+≥-x e ax ax x x f ax a x ）则. 令0)0(,)1)(1()(=--+=-g x e ax x g x 则， 0)(',1)1()('=-+-+=-x g a a ax e x g x ， )12()]'('[ax a e x g x --=-, ∵0≥x , ”），时取“仅当从而时，当===≤≤-≤≤∴2 1,0(0)]'('[,0122 10a x x g a a ∴0)0(')('),0[)('=≤+∞g x g x g 内递减，在， ∴,0)0()(),0[)(=≤+∞g x g x g 内递减，在 即原不等式成立. 当,120]'('[,01221a a x x g a a -==>-> 得）令时， 从而当,0)]'('[120>-< a x 时， 此时0)0(')(')12,0()('=>-g x g a a x g 内递增，在， ∴不恒成立内递增，在1 )(,0)0()()12,0()(+≤=>-ax x x f g x g a a x g . 综上可知，210≤≤a . 由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。 针对训练： 1、（2010年新课标全国卷第（21）题）： 设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2、（2008年湖南高考题改编）： 已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(2 2 ，求函数)(x f 的单调区间。 参考答案： 1、解：（1）略. （2）a e x f ax e x f x x 2)]'('[,21)('-=--=. ①当,1,122 1≥≥≤≤x e x a a 得由时， 从而递增，在),0[)(',0)]'('[+∞≥x f x f ∴0)0(')('=≥f x f ，0)0()(),0[)(=≥+∞f x f x f 递增，在 ②时，当时，当a x a a 2ln 0,122 1<≤>> ,0)]'('[,2< ∴内递减，在区间)2ln ,0()('a x f ∴,0)0(')('= ∴0)0()()2ln ,0()(= 1≤a a 的范围是 2、解：()x f 的定义域是),1(+∞-. （1）22) 1(21)1ln(2)('x x x x x x f ++-++= 22) 1(2)1ln()1(2x x x x x +--++=. 设x x x x x g 2)1ln()1(2)(2 --++= 则x x x g 2)1ln(2)('-+=. x x x g +-=12)]'('[. 当）上是增函数；在（时，,01)(',0)]'('[01-><<-x g x g x 当0>x 时，.0)(',0)]'('[）上为减函数， 在（∞+ 当;)(,0)(',0)0()(01递增时，x f x f g x g x >=><<- 当递减时，)(,0)(',0)0()(0x f x f g x g x <=<>. 所以，函数)(x f 的单调递增区间是)0,1(-，递减区间是),0(+∞. 导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 - 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立， 导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈ 例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 例3.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围. 例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k 2016全国各地导数压轴题汇编 1、（2016年全国卷Ｉ理数） 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 （I ）求a 的取值范围 （II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x 2、（2016年全国卷Ｉ文数） 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x （I ）讨论)(x f 的单调性 （II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围 3、（2016年全国卷II 理数） (I )讨论函数x x 2f (x)x 2 -=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II )证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 4、（2016年全国卷II 文数） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 5、（2016年全国卷III 理数） 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A （Ⅰ）求)(x f '； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明A x f 2)(≤' 6、（2016年全国卷III 文数） 设函数()ln 1f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x -<<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->. 7、（2016年天津理数） 设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3 其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间； (Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ，且)()(01x f x f =其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =,求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4 1 8、（2016年四川理数） 设函数x a ax x f ln )(2 --=其中R a ∈ （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得x e x x f -->11)(在区间（1，+∞）内恒成立(e =2.718… 2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（一） 1.已知函数f (x) x2 ax ln x(a R) . （1）函数f (x)在 [1,2] 上的性； （2）令函数g( x) e x 1 x2 a f (x) ，e=2.71828?是自然数的底数， 若函数 g (x) 有且只有一个零点m，判断 m 与 e 的大小，并明理由 . 2.已知函数 f (x) x3ax2bx c 在x 2 与x 1都取得极. 3 （1）求 a， b 的与函数f( x)的区； （2）若x [ c,1] ，不等式 f (x) c 恒成立，求 c 的取范 . 2 3.已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1x) . （1）明 f '(x) 2 ； （2）如果 f (x) ax x [0,1) 恒成立，求 a 的范 . x 1 4.已知函数f (x) （ e 自然数的底数） . e x （1）求函数f (x)的区； （2）函数(x) xf (x) tf '(x) 1 x1， x2 [0 ，1] ，使得 2 ( x1 )(x2 ) x ，存在数 e 成立，求数t 的取范 . 5.已知函数 f ( x) kx a x，其中k R，a 0且a 1 . （1）当 a e （ e=2.71 ?自然数的底），f(x)的性；（2）当k 1，若函数f(x)存在最大g(a)，求g(a)的最小. 6.已知函数 f x x2ax ln x a R （1）当a 3 ，求函数f(x)在 1 , 2 上的最大和最小； 2 （2）函数 f(x)既有极大又有极小，求数 a 的取范 . 7.已知 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 1 x 3 ax a R ，且曲线 f(x)在 3 x 1 处的切线与直线 y 3 x 1平行 2 4 （1）求 a 的值及函数 f(x)的解析式； （2）若函数 y f x m 在区间 3, 3 上有三个零点，求实数 m 的取值范围 . 8.已知函数 f x x 0 ax, a ln x （1）若函数 y f x 在 1, 上减函数，求实数 a 的最小值； （2）若存在 x 1 , x 2 e,e 2 ，使 f x 1 f x 2 a 成立，求实数 a 的取值范围 . 9.已知函数 f (x) x 3 ax 2 bx 1， a ， b R ． （ 1）若 a 2 b 0 ， ①当 a 0 时，求函数 f(x)的极值（用 a 表示）； ②若 f(x)有三个相异零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试 求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （ 2）函数 f( x)图象上点 A 处的切线 l 1 与 f(x)的图象相交于另一点 B ，在点 B 处的切线为 l 2 ，直线 l 1， l 2 的斜率分别为 k 1， k 2 ，且 k 2 =4k 1 ，求 a ，b 满足的关系式． 导数与函数核心考点 目录 题型一切线型 1.求在某处的切线方程 2.求过某点的切线方程 3.已知切线方程求参数 题型二单调型 1.主导函数需“二次求导”型 2.主导函数为“一次函数”型 3.主导函数为“二次函数”型 4.已知函数单调性，求参数范围 题型三极值最值型 1.求函数的极值 2.求函数的最值 3.已知极值求参数 4.已知最值求参数 题型四零点型 1.零点(交点，根)的个数问题 2.零点存在性定理的应用 3.极值点偏移问题 题型五恒成立与存在性问题 1.单变量型恒成立问题 2.单变量型存在性问题 3.双变量型的恒成立与存在性问题 4.等式型恒成立与存在性问题 题型六与不等式有关的证明问题 1.单变量型不等式证明 2.含有e x与lnx的不等式证明技巧 3.多元函数不等式的证明 4.数列型不等式证明的构造方法 题型一 切线型 1.求在某处的切线方程 例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x 2 e x 在点(1， f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝3x 2e x ，得f ′(x )＝6x －3x 2e x ，切点为(1，3e ) ，斜率为f ′(1)＝3 e 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3 e ； ∴切线方程为y －3e ＝3 e (x －1)，即3x －ey ＝0. 例2.求f (x )＝e x (1 x ＋2)在点(1，f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x 2＋1 x ＋2) 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ； ∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0. 例3.求f (x )＝ln 1－x 1＋x 在点(0，f (0))处的切线方程. 解：由f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －1 1＋x 由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2； ∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0. 例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x 2 4 与 直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程. 解：由题意得：a =x 2 4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )， 由f (x )＝x 24，得f ′(x )＝x 2， 当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ， 此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0； 当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ， 此时切线方程为：ax －y －a ＝0； 高考导数压轴题题型 远敬整理 2018.4.11 一．求函数的单调区间，函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+ ； （1）求()f x 的解析式及单调区间； 【解析】 （1）1211()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； 【解析】 (1)f ′(x )＝1e x x m -+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x - +. 函数f ′(x )＝1e 1 x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝－(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝－(x ＋m )?f ′(x )＝－?f ′(0)＝e 0－＝0?m ＝1， 定义域为{>－1}，f ′(x )＝－＝， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝－(x ＋2)，则g ′(x )＝－(x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝－(x >－2)?h ′(x )＝＋>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－)＝－<0，g ′(0)＝1－>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝－＝0， 所以，＝?t ＋2＝e －t ， 当x ∈(－2，t )时，g ′(x ) ◇导数专题 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . ' 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(2 11a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(112 1x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12 1 11211222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 2 1 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(02 2 e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论： 2016全国各地导数压轴题汇编 1、（2016年全国卷Ｉ理数） 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 （I ）求a 的取值范围 （II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x 2、（2016年全国卷Ｉ文数） 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x （I ）讨论)(x f 的单调性 （II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围 3、（2016年全国卷II 理数） (I)讨论函数x x 2f (x)x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 4、（2016年全国卷II 文数） 已知函数. （I ）当时，求曲线在处的切线方程； (II)若当时，，求的取值范围. 5、（2016年全国卷III 理数） 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A （Ⅰ）求)(x f '； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明A x f 2)(≤' ()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a 6、（2016年全国卷III 文数） 设函数()ln 1f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，1 1ln x x x -< <； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->. 导数压轴题 Prepared on 24 November 2020 导数压轴题 9．(能力挑战题)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝4 3 时，求f (x )的极值点． (2)若f (x )为?????? 12，32上的单调函数，求a 的取值范围． [解析] ∵f ′(x )＝ ax 2－2ax ＋1e x 1＋ax 22 ， (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0x 1＝12，x 2＝3 2， ∴x 1＝12是极大值点，x 2＝3 2是极小值点． (2)记g (x )＝ax 2－2ax ＋1，则 g (x )＝a (x －1)2＋1－a ， ∵f (x )为??????12，32上的单调函数，则f ′(x )在?????? 12，32上不变号， ∵e x 1＋ax 22>0， ∴g (x )≥0或g (x )≤0对x ∈???? ?? 12，32恒成立， 又g (x )的对称轴为x ＝1，故g (x )的最小值为g (1)，最大值为g ? ???? 12. 由g (1)≥0或g ? ???? 12≤00 (1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值． (2)若函数f(x)的图象在直线y＝－x图象的下方，求a的取值范围． (3)求证：2 0132 012<2 0122 013. [解析](1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2ax， ∵f(x)在x＝1处取得极值， ∴f′(1)＝0，即－2a＝0，∴a＝0. ∴f′(x)＝ln x， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在x＝1处取得极值． (2)由题意，得x ln x－ax2－x<－x， ∴x ln x－ax2<0. ∵x∈(0，＋∞)， ∴a>ln x x. 设h(x)＝ln x x ， 则h′(x)＝1－ln x x2. 令h′(x)>0，得0 导数压轴题的命题思路 圆锥曲线和导数能否突破这涉及学生、家长和学校的核心利益，在即将出版的解析几何系统系突破一书是很容易帮学生突破高考的解析几何，但导数这一章处理的技巧太多，与后续大学知识联系紧密，背景广阔，在即将出版的高观点下导数、函数压轴题的系统性突破一书中作了详尽的解读，何为高观点，意义何在 观点越高、问题越简单；观点越高、问题越透彻；高观点并不是想不到，而是用最朴素的思想推动整个思维过程；追求通法，并不排斥技巧，而是明确哪些技巧是必须掌握的，并让这些技巧在我们思维的世界里显得朴素且自然。 这里面选一些题来说明一下命题思路，如有类似，那不是巧合。 （一）双参数问题 1.（第一套理科第21题）设函数x b ax x f -+=)ln()(，（),R b a ∈ （1） 当0,1==b a 时，若x x m x f 2)(- -≥恒成立，求m 的取值范围； （2） 若0)(≤x f 恒成立，求证：2ln 7a ）有公共点，且在该点处的切线相同，则b 的最大值为 （二）两边夹求参数范围 3. （理科第二套第21题）已知()()()ax x x x x g x x f ++ =+=221sin ,1ln （1） 证明：()x x f x x ≤≤+1 （2） 若()()()()1,0,01∈?≤-+x x g x f x 恒成立，求a 的取值范围 2013辽宁文理科卷第21题都是这样考察，2014年全国2卷第21求2ln 的近似值，也是两边夹的思路。命此题，花了两天时间，难度适中。 （三）与三角函数有关的导数及相关问题 4.（文、理科第三套第21题）已知函数()e cos x x f x =，其中e 为自然对数的底数． （I ）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （Ⅱ）若对任意[,0]2 x π∈-，不等式sin ()x x f x m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围； （III ）试探究当[,]22x ππ∈- 时，方程()sin f x x x =的解的个数，并说明理由． 全国卷导数题目，函数形式多种多样，此题以三角函数和指数函数为载体，在第（2）问给了一个恒成立，注意对导函数的观察和变形，第（3）问是零点问题，逐段分析法是处理这一问题的基本方法，也要注意对函数进行观察。面对新题，观察能力处于核心的地位。 函数与导数相结合压轴题精选（二） 11、已知)0()(2 3 >+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M > 证明：由题设有),)((323)(212 x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <， 则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a 1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值， )()()()()(212 221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=-Θ ])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-= )]3(92)[(]3232)32()[(2 2121ac b a x x c a b b a c a a b a x x -- -=+-?+?--?-= 由方程0232 =++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(2 2>-=-=?ac b ac b 又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证. 12、已知函数ax x x f +-=3 )(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ； （2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常 数），试比较n n a a 与1+的大小； （3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+< c a c a n n 对一切N n ∈恒成立？ （1）设))(()()(,102 2212 1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则 由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x )3,0(,2 22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则 }3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （4分） （注：法2：)1,0(,03)(2 ∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）. （2）当a =3时，由题意：)1,0(,2 3 21131∈=+- =+b a a a a n n n 且 1.已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线 ,且当时,的导函数满足,则f(x)在[2015,2016]上的最大值为( ) 2.已知函数存在极小值,且对于b的所有可能取值f(x)的极小值恒大于0,则a的最小值为 A. 3.过双曲线的右支上一点P,分别向圆和圆 切线,作切点分别为M,N,则的最小值为( ) 4.已知函数 ,设,且函数的所有零点在区间则的最小值为 5.函数是定义在上的可导函数，其导函数为且满足 ,则不等式满足的解集为（） 6.规定［表示不超过x的最大整数,例如［3.1]=3, ［-2.6 ]=-3, ［-2 ]=-2,(是函数 是的导函数,设则函数)的值域是( ) 7. 若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数 有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( ) 8.定义在R上的函数f(x)满足,当x∈[0,2)时,,函数.若对任意s∈[-4,-2 ],存在t∈[-4-2 ],不等式f(s)-g(t)0成立,则实数m的取值范围是 9.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为。若对任意的实数x,都有恒成立,则使 恒成立的实数x的取值范围为( ) ） 10.设f(x)是函数的导函数,且)=e(e为自然对数的底数),则不等式的解集为 11.设定义在D上的函数y=h(x)在点P处的切线为l:y=g(x),当时，若在D内恒成立，则称P为函数y=h(x)的“类对称点”。则 的类对称点的横坐标为 12.已知若,则的取值范围为 ，，，［， 13.设函数若对任意给定的,都存在唯一的 满足,则正整数a的取值为 全国各地导数压轴题汇编1、（2016年全国卷Ｉ理数） 已知函数 f x有两个零点 2 (x)(x2)e a(x1) （I）求a的取值范围 （II）设x1,x2是f(x)的两个零点，求证：x1x2 2 学习资料 2、（2016年全国卷Ｉ文数） 已知函数 f x (x)(x2)e a(x 2 1) （I）讨论f(x)的单调性 （II）若f(x)有两个零点，求a的取值范围学习资料 3、（2016 年全国卷II 理数） (I )讨论函数 f (x) x 2 x 2 x x e 的单调性，并证明当x >0 时，( 2) 2 0; x e x (II )证明：当 a [0,1) 时，函数 x e ax a g x = ( x 0) 2 x h( a) ，求函数h( a) 的值域. 学习资料 4、（2016 年全国卷II 文数） 已知函数 f (x) (x 1)ln x a(x 1) . （I ）当a4时，求曲线y f (x) 在1,f (1) 处的切线方程； (II) 若当x 1,时， f ( x)＞0 ，求a 的取值范围. 5、（2016 年全国卷III 理数） 设函数 f (x) a cos 2x (a 1)(cos x 1) 其中a＞0，记| f (x) |的最大值为A （Ⅰ）求 f (x) ； （Ⅱ）求A； 学习资料 （Ⅲ）证明 f (x) 2A 6、（2016 年全国卷III 文数）设函数f (x) ln x x 1. （Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性； （Ⅱ）证明当x (1, ) 时， 1 x ln 1 x x ； x （Ⅲ）设c 1，证明当x (0,1)时，1 ( 1) c x c . 学习资料导数压轴题处理专题讲解
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