(完整版)《实变函数》第一章集合.doc

第一章集合（总授课时数8学时）

由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括

实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学

课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教

材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章

仅介绍那些必不可少的集论知识．

§1、集合及其运算

教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.

本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论

证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.

本节难点对集列极限的理解.

授课时数2学时

——————————————————————————————

一、集合的概念及其表示

集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握

以下朴素的说法：

“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”

一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．

以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的

元素．

如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．

如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．

有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：

只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．

由n

个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }

由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．

当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：

A { x | x具有性质 p}

例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，

实际上就是 { 1, 1} .

有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成

E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．

不含任何元素的集合称为空集，记作．

设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或

B = A ).

若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．

若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．

由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：

定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有

（1）A A ；

（2）若A B, B C ，则A C；

（3）A BA B 且 B A ．

二集合的运算

设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}

集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}

特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．

集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}

当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．

当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A

为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .

并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个

，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族

{ A |

} 的并与交分别定义为 :

U A { x :

, 使x A } I

A { x :

, 有x

A }

例 设 A n

{ x : 1

1

x 1

1

}, n N , 则

n

n

n

A n [ 1,0]

,

A n

( 2,1)

1

n 1

关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)

更一般地有 : De Morgan 公式

(

U

A ) c

I

A c , ( I A )c

U

A c

证明（略）

注：通过取余集，使

A 与 A C ，

与 互相转换 .

三、集列极限

设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为

上极限集：

lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }

n

n

{ x : N , n N , 使 x A n }

I U

A

n

N 1 n N

下极限集：

lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }

n

n

{ x : N , n N ,有 x A n }

UI

A

n

N 1 n N

注：

I A n

lim A n

lim A n

U A n

n

n

n 1 n 1

例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .

极限集

如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即

lim A n lim A n A

n

n

则称集列 { A n

}

收敛，称其共同的极限为集列

{ A n } 的极限集，记为： lim A n A

n

单调增集列极限

若集列 { A n } 满足 A n

A n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;

若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的

1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A n

n n 1

2) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A n

n n 1

例1：设

A2n 1 ( 1 1 1

( n, n), n N, 则

,1 ), A2 n

n n

lim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n

例 2：设A2n 1 [ 1

,4

1

], A2 n [

1

,1

1

], n N, 则

n n n n

lim A n [0,4) ， lim A n (0,1]

n n

小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .

证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后

会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .

——————————————————————————————

作业： P30 5, 7, 8

练习题

1. 设{ A n}为一集列：

n 1

（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且

k 1

n n

U A k U B k ( n 1,2,L )

k 1k 1

（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明

A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),

k 1

并且其中各项互不相交.

2. 证明 :

(1) n

UI

A n,

n I

U

A n lim A n lim A n

N 1 n N N 1 n N

(2) lim A n lim A n

n n

(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A n

n n n n 1

(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I

1 A n

n n n n

3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？

n n n

§2对等与基数

教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.

本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对

应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较

多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .

本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.

授课时数2学时

——————————————————————————————

1映射的定义

在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.

定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.

注：集合，元素，映射是一相对概念.

略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）

在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它

的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函

数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.

2集合运算关于映射的性质（像集）

定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：

1) A B f ( A) f (B);

U A ) U f ( A );

2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (

3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );

证明的过程略

注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.

集合运算关于映射的性质（原像集）

定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：

1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );

1 1 1

一般地有：

1 1

2) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );

3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );

4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );

5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;

6) A f 1 [ f ( A)];

7) f [ f 1 (C)] C;

证明略 .

注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且

仅当 f 为满射.

3对等与势

1）定义

设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .

注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .

（2）势是对有限集元素个数概念的推广.

2）性质

a) 自反性：

b)对称性：

c) 传递性：A ~ A;

A ~

B B ~ A;

A ~ B,

B ~

C A ~ C;

例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z

2)( 1,1) ~ ( , )

证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故

2

( 1,1) ~ ( , )

注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.

3)基数的大小比较

a) 若 A ~ B, 则称 A B；

b) 1

B, 则称A B； A

到

B

有一个单射，也相当于

B

到

A

有一个满射 .

若 A ~ B 相当于：

c) 若A B,且 A B，则称 A B .

注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )

4 Bernstein 定理

引理：设 { A : }{ B : }

是两个集族，是一个指标集，又

，

, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，

那么：

U A ~ U B

证明略

定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则

A ~ B. 即：若 A B,

B A, 则A B.

证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令

A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的

像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.

由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3

也两两不交， L L

f

从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~

B n (n 1,2,L ),

f

U A n~ U B n

n 1n 1

g

另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知

g

U B k~ U A k 1

k 1k 1

g

又 B ~ A* , 所以

g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A k

B U B k ~ A*

k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

B U B

k ~ A U A

k

k 1k 1

A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (

B U B k ) U (U B k )B

k 1k 1k 1k 1 证毕．

注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.

例： ( 1,1) ~ [ 1,1]

证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]

——————————————————————————————

作业： P30 9, 10

练习题

1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？

2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.

3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .

4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则

F : M .

§3、可数集合

教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.

本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .

本节难点证明集合可数 .

授课时数2学时

——————————————————————————————

１可数集的定义

与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或0

1,2,3,4,5,6 L L

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L

注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }

2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }

２可数集的性质（子集）

定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .

证明：设M

是一个无限集，取出其中的一个元素从

M

中任取一元素，记为

则

e1.

M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素

1, 2 n

,由于

M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中

e e ,L e M { e e ,L e }

取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.

所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．

这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．

可数集的性质（并集）

有限集与可数集的并仍为可数集

有限个可数集的并仍为可数集

可数个可数集的并仍为可数集

A a1 , a2 , a3 ,L，

B b1 , b2 ,L , b n，

C c1 , c2 , c3 ,L

假设 A, B, C 两两不交，则

A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）

第9页（共 14 页）

A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L

关于可数个可数集的并仍可数集的明

a 11 , a12 , a13 , a14，L

a21 , a22 , a23 , a24，L

a31 , a32 , a33 , a34，L

a41 , a42 , a43 , a44，L

L , L , L , L ，L

当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;

当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；

因此U A n是可数集。

n 1

明 : 与 Hilbert 旅比; 如何把无限集分解成无限个无限集合的并?

例全体有理数之集Q是可数集

首先 [0,1] 中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,是可?}数集，

Q (Q [0,1]) (Q [ 1,0]) (Q [1,2]) (Q [ 2, 1])L

所以 Q是可数集（可数个可数集的并）

明：有理数集在直上稠密,但仍与稀疏分布在直上的整数集有相同多的点(等意下 ).

3可数集的性质（卡氏积）

定理：有限个可数集的卡氏是可数集

只：A, B 是可数集， A B 也是可数集（利用数学法即得有限个乘的情形）

A B {( x, y) | x A, y B} {( x, y) | y B}

x A

从而 A B 也是可数集（可数个可数集的并）x 固定，y在

变

例 1 平面上以有理点心，有理数半径的全体 A 可数集

明：平面上的由其心(x, y) 和半径 r 唯一决定,从而

A ~ Q Q Q{( x, y, r ) | x, y Q, r Q }

例2 代数数全体是可数集

整系数多式方程的根称代数数；不是代数数的数成超越数。

设 P 是整系数多项式全体所成之集, P n是 n 次整系数多项式全体

P n { a n x n a n 1x n 1 L a0 | a i Z , i 1,2,L , n, a n 0}

首先P0 : Z ，P ~ (Z {0}) Z Z L Z （有限个可数集的卡氏积）

n 1 44 2 4 43

n个

U P n为可数集（可数个可数集的并）

故P

n 0

由代数基本定理知任意n 次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.

A* A ，使 A* : A ，而 A A*可数例 3 设 A 是一个无限集，则必有

证明：由 A是一个无限集，则 A 包含可数子集e1 ,e2 , e3 ,L ，令

A0 A e1 ,e2 , e3 ,L ， A* A e1 ,e3 , e5 ,L ，

则

A* A ， A*A0 U e2 ,e4 ,e6 ,L : A0 U e1 , e2 , e3 ,L A

且

A A*e1 , e3 , e5 ,L

是可数集，证毕.

小结本节利用一一对应的思想 , 给出了集的基数和可数集的定义 . 集的基数是有限集元素的

个数在无限集的推广 . 可数集是具有最小基数的无限集 . 可数集经过有限或可数并运算后仍是

可数集 . 有理数集是一个重要的可数集

——————————————————————————————

作业： P30 12, 15

练习题

1 、设 A 中的元素是直线上两两不交的开区间，则 A 为至多可数集.

2、怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？

3 、证明任一可数集的所有有限子集全集是可数集.

4 、证明递增函数的不连续点的全体为至多可数集.

§4、不可数集合

教学目的介绍不可数集概念及其属性.

本节要点区间[0,1]是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R 集证明相关问题具有重要意义，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.

本节难点 证明集合不可数 .

授课时数 2学时

——————————————————————————————

不是可数集的无限集称为不可数集．

1 不可数集的存在性

定理 1 区间

0,1 是一个不可数集．

证明： 假设 0,1 可数，则 0,1 上的点可以排成一个无穷序列：

x 1 , x 2 ,L , x n ,L

记 0,1 为 I 0 ，把 I 0 x 1 的闭区间，记为 I 1 ，则 I 1 的长度 | I 1 |

1 三等分于其中取一不含 .再

1

3

把 I 1 三等分，取其中不含 x 2 的闭区间，记为 I 2 ，则 | I 2 |

，这样下去，可以得到一列闭

3

2

区间 I n 满足：

I 0

I 1

I 2

L I n L ,| I n |

1

n , x n

I n

3

故 I n 形成闭区间套， 因此存在唯一点 x 0 I n (n 0,1,2,L ) ，而由假设， n 0 N 使

得 x 0I

n 0

，这与 x 0

I n (n 0,1, 2,L ) 矛盾，故 0,1 是不可数集 .

2 连续势集的定义

定义 1：与区间

0,1 对等的集的基数称为连续基数（连续势），这个基数记作

c ．

推论 1 c a

证明：

由定理 1.4.1 知， a

c ．但 0,1

1, 1 , 1

,L : 1,2,3,L ，故 c a .

2 3

证毕．

推论 2 开区间

0,1 的基数也是 c ．

定理 2 全体实数所成之集 R 的基数是 c ．

证明 令

(x)

tan

2x

1 , x (0,1) ，则

是 0,1 到

,

上的一一映射，

所以 R 的基数是 c .

2

推论 1 全体无理数所成之集的基数是

c ．

3 连续势集的性质（卡氏积）

（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集

定理 3 设 A {( x 1 , x 2 ,L , x n ,L ) : x i (0,1)} ，则 A

（证明略）

推论

n 维 Euclid 空间 R n 的势为

（ 2） 连续势集的性质（并集）

连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集

定理 4 实数列全体所成之集

E 的基数是 c ．（证明略）

4 无最大势定理

定理 5（ Cantor ）：设

是一个任意给定的非空集合，则

A

A

2. .

A

证明： 首先

A 与 2 A 的一个子集对等是显然的，只考虑

A ~ {{ a }: a } 2A

即可。

A 假设 A ~ 2A ，则存在 A 到 2A 上的一一映射 : A ~ 2A ，令 A * { a : a A, a

(a)} ，

由于 A * 是 A 的子集，即 A *

2A ，因此存在 a *

A ，使得 (a *

)

A *

（1） 若 a *

A * ，则由 A * 的定义，有 a *

(a * ) A *

（2） 若 a

*

A *

(a * ) ，则由 A * 的定义，有 a *

A *

这是矛盾的 .故

A

.

2.

A

5 可数势与连续势

定理 6： 2N

R 或 {0，1} N

R （即

2 0 ）

证明： 由于 N 的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故

N

2N 与 0,1 对等；

下证： {0，1} N

对任意的

{0 1} N ,

(n) 易知 :{0 1} N

[0,1]

， 令 f ( )

n 1

3n ;

f ，

是单射，所以

{0，1} N

.

另一方面，对

x (0,1) ，设 x

a n n , a n 0,1 （有无穷多 1）（即：将 x 写成二进

n 1 2

制小数 0. a 1a 2a 3 L ，且要求不以 0为循环节） .

作 g : (0,1)

{0,1} N ； x a

{0,1} N ，其中 (n) a n , n 1,2,3,L

（即将小数

0. a 1 a 2 a 3 L 对应到序列 { a 1 , a 2 , a 3 ,L } ）

易证

(0,1) {0,1} N 2 N

N

.

g ： 是单射，因此

. 由 Bernstein 定理知 2

连续统假设

Cantor 认为在

0 与

之间不存在别的基数，即不存在这样的集合 A, 使得

0 A ，

但Cantor 证明不了 ,这就是著名的 Cantor 连续统假设。

Hilbert 在 1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。

小 结 . 直线上的区间是典型的不可数集 . 证明一个给定的集是可数集或不可数集是应当掌

握的基本技巧 .

——————————————————————————————

作业 ： P30

17, 18

练习题

1. 直线 R 1

中任何包含非空开区间的点集都具有连续势

.

2. 设 A B

, 则 A ， B 中至少有一个势为.

3. 设

A n

, 则 A n 中至少有一个势为.

n 1

4. [0,1] 上的全体连续函数集 E 的势为 .