机械优化设计期末考试必备
1、什么是优化设计？
机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。它将最优
化原理和计算机技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法，利用这种设计方法，人们可以从众多的设计方案中寻找出最佳的
设计方案。
2、 优化设计与传统设计的区别？
现代的优化设计不像传统的设计凭借经验和直观的感觉来确定结构方案，也不像“安全寿命可行设计"方法，即在满足所提出的要求的前提下，先
确定结构方案，再根据安全寿命等准则，对方案进行强度、刚度等分析、校核，然后进行修改，以确定结构尺寸。而是借助科学计算机，应用一些
较高的力学数值分析方法进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算
代替近似计算，用优化设计代替安全寿命的可行性设计。
3、 优化设计的数学模型有哪些基本要素？写出他们的数学表达式。
设计变量：X = [X !, X 2, X 3
...X n ]T ， 约束条件：等式约束 h k (x)=O,(k =1,2,3..…I) ，不等式约束： g j (x) =0,(k =1,2,3.....m)
目标函数： f(x)二 c
4、 写出最优化问题数学模型的一般形式
求设计变量 x =[x 「x 2, x 3...x n
]T 使 f(x)— min 且满足约束优化条件：等式约束： h k (x) =0, (k =1,2,3..…l)，
不等式约束：g j
(x) =0,(k =1,2,3.....m) 5、 最优化问题是怎样分类的？
按有无约束条件分成无约束优化问题和约束优化问题；按约束函数和目标函数是否同时为线性函数，分成线性规划问题和非线性规划问题；按问题
规模的大小分类可以分为大型( 50个以上)、中型(10-50 )和小型(10个以下)。
6、 什么是无约束优化问题和约束优化问题？
无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则无约束优
化问题的极小点即为等值面的中心。约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。
7、 什么是局部最优解？什么是全域最优解？
局部最优解是非单峰函数的目标函数有多个极值点，这些极值点称为局部最优解。在全域中所有局部最优解中的最小值称为全域最优解。
&方向倒数与偏导数之间是什么关系？
方向倒数是偏导数概念的推广，偏导数是方向倒数的特例。它们之间的数量关系如下：
:f .：f f : f n ：f
f f cos 弓 丄 h cos — .....丄 l x cos 亠八丄 k COST
d ；x 1 ： x 2 : x n
y : X j &如何求多元函数的梯度？
9、无约束优化问题的极值条件是什么？
必要条件是：该函数的梯度为 0,充分条件是在该点的海塞矩阵正定
对于峯豳啟 扭巧』”丄」齐在Jt"赴取得幔惬，H
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11、 在何种情况下，局部最优解即为全域最优解？
函数的凸性表现为单峰性。对于具有凸性特点的函数来说，其极值点只有一个，因而该点既是局部最优亦是全域最优点
12、 何为凸规划?
对于约束优化问题 min f(x)
st g j (x) g(k =1,2,3.….m)
如果f(x)、 g(x) j=1,2,3..…m 都为凸函数，则此问题为凸规划。
13、等式约束优化问题的解法有哪几种？
消元法(降维法)和拉格朗日乘子法(升维法) 。
14、不等式约束优化问题的极值条件是什么？极值条件对约束方程有什么要求?
约束条件为库恩-塔克条件，对约束方程的要求是约束方程要起作用
15、 求解以上优化问题的思路是什么？ 优化问题的思路是将其转为无约束优化问题，导出极值存在的条件。 16、 写出迭代法的基本公式，并解释公式中各符号的意义。 xk 1 =Xk ? ；:kd k ,其中；:k 为沿d k 〒向搜索 x k 为初始点，X k1为下一步的迭代点
17、 什么是一维搜索？
当方向d k 给定，求最佳步长就是求一元函数 f (x k ) = f (x k ? _：k d k )= (二k )的极值问题，它称作一维搜索。
18、 简述区间消去法的原理。
搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。
在搜索区间［a ,b ］内任取两点a1,b1且a1 畑5毗援半点必在区间低菇内* 维小的新区间為必在［e 占』 代心卿 刚职为［%冷］第拒后的搜秦区间"佃沦/W 缩小的新区间为必在［叭』］ 19、 什么是黄金分割？ 所谓黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长段的比值等于较长段与较短段的比值，即 1 : . = , : (1 -,) 20、 插值法与黄金分割法有什么不同之处？ 相同点：两种方法都是利用区间消去法原理将初始搜索区间不断缩短，求得极小值的数值近似解。 不同点：表现在试验点(插入点)位置的确定方法不同。黄金分割法：试验点是按照某种个特定的规律确定；不考虑函数值的分布；插值法：试验 点是按照函数值近似分布的极小点确定；利用了函数值本身及其导数信息。 21、 简述求解无约束优化问题的基本思路。 o . o . o 基本思想是从给定的初始点 x 出发，沿某个搜索方向 d 进行搜索，确定最佳步长 -■ 0使函数值沿方向 d 下降最大。 22、 无约束优化问题是如何分类的？ 各种无约束优化方法的区别：根据构成确定搜索方向的方法不同。无约束优化问题可以分为两大类：利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化 竺 &庄: *7 云 .嶷 d 警 抚曲 話 正宦 或扯宦 M 仃=1占…加 尙工)=0 菽=12…町 阵卑塔点毎件 XT 条件八 凸+2X 等+￡心兽“ 0=U ?) 子，d k 搜索方向， 鬥汕 (/￡ J) 等式约束 方法：最速下降法、共轭梯度法、牛顿法。一是只利用目标函数值的无约束优化方法(坐标轮换法、鲍威尔等) 。 23、最速下降法的搜索方向是什么？ 以负梯度方向为搜索方向，称最速下降法或梯度法。在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。 24、最速下降法有什么缺点？ 由于它采用了函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向，所以收敛速度比较慢，越是接近极值点收敛越慢。 25、牛顿法选择的搜索方向是什么？ 26、变尺度矩阵应满足什么条件？ (1)为保证迭代公式具有下降的性质，要求海塞矩阵中的每一个矩阵都是对称正定的。(2)要求海塞矩阵之间具有简单的形式： H k t - H k川'E k(3)要求海塞矩阵必须满足拟牛顿条件。 27、DFP算法的优点是什么？ 当初始矩阵H 0选为对称正定矩阵时，DPF的算法将保证以后的迭代矩阵H k都是对称正定的，即使将DFP算法施用于非二次函数也是如此， 从而保证算法总是下降的。这种算法用于高维问题，收敛速度快，效果好。 28, 什么是共轭方向？共轭与正交是什么关系？ i T j 0 1 m J (d ) Gd =0(i, j =0,1,2….m —1)(i = j) ，则称d , d d 对G共轭，或称他们是G的共轭方向。当G=I (单位矩阵)时，则变成(d i)T d j=0(G j) ，即向量d0,d1.....d m°正交，因此共轭是正交的推广，正交是共轭的特例。 29, 共轭的性质有哪些？ 0 1 m A (1)若非零向量系d , d ......... d对G共轭，则这m个向量是线性无关的。(2)在n维空间中相互共轭的非零向量的个数不超过n( 3) 0 ■ 0 . 1 ■ m_1 从任意初始点x 出发，顺次沿n个G的共轭方向d , d ............ d进行一维搜索，最多经过n次迭代就可以找到二次函数的极小点。此性 表明这种迭代方法具有二次收敛性。 30, 共轭方向与梯度之间的关系？如何用梯度求共轭方向？ j T k (d J) (g k 1 —gQ ，这表明沿d 方向进行一维搜索时，其终点 向d J正交。d k 1 = -g k 1||gk 1『d k( k=1,2,3......n-1) llg k ll 30,惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是什么？ 惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题中的等式和不等式约束优化函数 s.t.min f(x) g j(x)乞0,(j =0,1,2..…m) h k(x) =0,(k =0,1,2.....l) 经过力口权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数 m l (x,r1,r2) =f (x) ■rC'G[g j(x)] r^' H[h k(x)] j±k士 x k 1与始点x k的梯度差(gk*—"g k)与d k的共轭方 求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。 31、惩罚函数有几种？它们的区别是什么？ 根据迭代点是否在可行域内进行，惩罚函数法可以分为内点惩罚函数法，外点惩罚函数法和混合惩罚函数法。内点法将新的目标函数定义在可行域 内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点，内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。外点法将新的目标函数定义在可行域外，序列迭代点在可行域外逐步逼近约束边界上的最优点，外点法可以用来求解具含不等式和等式约束优化问题。混合惩罚函数法，是将内点法和外点法结合起来，用来求解同时具有等式和不等式约束的优化问题。 32, 请叙述MATLAB优化工具箱求解无约束优化问题的基本步骤。 (1)编写M文件， ----- fun 1.m，定义目标函数文件。(2)在命令窗口中调用无约束线性函数fminunc求解 求解格式为：X0=[-1, 1] Optio ns=optimset('LargeScale' 'off) [x, fval]=fm inun c(@f un 1.m ,x0, opti ons) 33, fminunc和fminbnd函数适合于求解什么样的优化问题？ Fminunc/ fmin search ------ 无约束非线性最优化问题求解。 Fmi nbnd ---- 函数标量最优解，允许设置变量的上下界约束。 Fmi neon ---- 多变量非线性约束最优化问题求解。 34, 无约束优化问题的求解命令包括哪些主要内容？ Optio ns=optimset('LargeScale' 'off') [x, fval]=fm inun c(@f un 1.m ,x0, opti ons) 35, 约束优化问题和无约束优化问题的求解命令有什么不同？求解步骤有什么不同？ 1、无约束优化问题 (1)编写M文件， ----- fun 1.m，定义目标函数文件。(2)在命令窗口中调用无约束线性函数fminunc求解 求解格式为：X0=[-1, 1] Optio ns=optimset('LargeScale' 'off) [x, fval]=fm inun c(@f un 1.m ,x0, opti ons) 2、约束优化问题 (1)编写定义目标函数的M文件(2)编写定义约束方程函数的M文件con.m(3)在窗口调用求解命令求解 求解格式为：X0=[-1, 1] Optio ns=optimset('LargeScale' 'off) [x, fval]=fmi ncon(@fun 1.m ,x0,[ ], ,[ ],,[],,[ ], ,[ ], ,[ ], @con ,optio ns)