原子物理学习题答案(褚圣麟)很详细
1．原子的基本状况
1.1解：根据卢瑟福散射公式：
2
02
22
442K Mv ctg
b b Ze Ze
αθ
πεπε== 得到：
21921501522
12619
079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)
Ze ctg ctg b K ο
θαπεπ---??===??????米 式中2
12K Mv α=是α粒子的功能。
1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为
2202
1
21
()(1)4sin m
Ze r Mv θ
πε=+ ， 试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min
202
1
21
()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929
619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75
ο
--???=???+???14
3.0210-=?米 1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最
解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：
2
20min
124p Ze
Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=
192
9
13619
79(1.6010)910 1.141010 1.6010
---??=??=???米
由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-?米。
1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-?的银箔上，α粒
解：设靶厚度为't 。非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t =，如图1-1所示。
因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体
角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：
dn
Ntd n
σ= (1) 而σd 为：2
sin )()41
(4
2
2
22
0θ
πεσΩ=d Mv
ze d （2）
把（2）式代入（1）式，得：
2
sin )()41(4
22220θπεΩ
=d Mv
ze Nt n dn (3)
式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds d
N 为原子密度。'Nt 为单位面上的原子数，10')/(/-==N A m Nt Ag Ag ηη，其中η是单位面积式上的质量；Ag m 是银原子的质量；Ag A 是银原子的原子量；0N 是阿佛加德罗常数。
将各量代入（3）式，得：
2
sin )
()41(324
2222
0θπεηΩ=d Mv ze A N n dn Ag
由此，得：Z=47
第二章 原子的能级和辐射
2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，
π
φ2h
n
mvr p == 可得：频率 21
211222ma h ma nh a v πππν===赫兹151058.6?= 速度：6
1110188.2/2?===ma h a v νπ米/秒 加速度：2
22122/10046.9//秒米?===a v r v w
2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？
解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：
)1
11(22n
hcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特
2.10)21
1(6.1321=-?=E 电子伏特
1.12)31
1(6.1322=-?=E 电子伏特
8.12)4
1
1(6.1323=-?=E 电子伏特
其中21E E 和小于12.5电子伏特，3E 大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
ο
ο
ο
λλλλλλA
R R A
R R A
R R H H H H H H 102598)3111(1
121543)2
111(1
656536/5)3121(
1
3223222212
21
==-===-===-=
91
,41111
1==+++H Li H
He λλλλ 2.5 试问二次电离的锂离子+
+i L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可
能使处于基态的一次电离的氦粒子+e H 的电子电离掉？
解：++i L 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：
+e H 的电离能量为：
Li
He He Li He Li He
He He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)1
1
1(42++?
===∞-=++++
由于Li He Li He M m M m M M /1/1,+>+<所以， 从而有+++>He Li hv hv ，所以能将+e H 的电子电离掉。
2.9 Li 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以+Li 离子电离成++Li 离子时，有电子伏特35.5)
5951.01()5951.01(2
21=+≈∞-+=
∞hc R Rhc
Rhc E ++Li 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此+++++→Li Li 时，电离能3E 为：
电子伏特4.1221
22
23=≈=∞hc R Z Rhc Z E R
。 设+++→Li Li 的电离能为2E 。而+++→Li Li 需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有
电子伏特7.75312=--=E E E E
2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？ 答：设原子的磁矩为μ，磁场沿Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z μ，于
是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为Z B F Z ??=μ，其中Z
B
??是磁场沿Z 方向的梯度。对均匀磁场，
0=??Z
B
，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，0≠??Z
B
原子在磁场中除做上述运动外，还
受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。
2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为
310=??Z
B
特 解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在
2L 区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域1L 后向外射出时粒子的速度为'
v ，出射方向与
入射方向间的夹角为θ。θ与速度间的关系为：v
v tg ⊥
=
θ 粒子经过磁场1L 出射时偏离入射方向的距离S 为：
Z v
L Z B m S μ2
1)(21??=
……（1） 将上式中用已知量表示出来变可以求出Z μ
2212
2
121
12'2'/,,v L L Z B m d S d S v L L Z B m tg L S v
L Z B m v v L t Z B m m f a at v Z
Z Z
??-=-=??=
=??=∴=??==
=⊥⊥μμθμμ
把S 代入（1）式中，得：
22
1
22122v
L Z B m v L L Z B m d Z Z ??=??-μμ 整理，得：2
)2(2212
1
d
L L v L Z B m Z =
+??μ 由此得：特焦耳/1093.023-?=Z
μ
第三章 量子力学初步
3.1 波长为ο
A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：
动量为：1
2410
341063.610
1063.6----???=?==秒米千克λh
p 能量为：λ/hc hv E ==
焦耳151083410986.110/1031063.6---?=???=。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？
解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：
meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=e m
把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：
ο
οο
λA A A V 1225.010000
25.1225.12==
=
对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--?=?=e m ，代入波长的表示式，得：
ο
λA 3
19
27
34
10862.210000
1060.110
67.1210626.6----?=??????=
3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来ο
λA V
25.12=的电子德
布罗意波长与加速电压的关系式应改为：
ο
λA V V
)10489.01(25.126
-?-=
其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
证明：德布罗意波长：p h /=λ
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：
222022c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =
2
2002
2
2
/)(22)(c eV eV m p eV m c
eV p +=+=∴
因此有：
2
002112/c m eV eV
m h p h +
?=
=λ
一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得：
)10489.01(2)41(2602
00V eV
m h
c m eV eV
m h -?-=-
=
λ 由于上式中ο
A V
eV m h 25.122/0≈
，其中V 以伏特为单位，代回原式得：
ο
λA V V
)10489.01(25.126
-?-=
由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
第四章 碱金属原子
4.1 已知Li 原子光谱主线系最长波长ο
λA 6707=，辅线系系限波长ο
λA 3519=∞。求锂原子第一激发电势和电离电势。
解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为1V ，电离电势为∞V ，则有：
伏特。伏特375.5)11(850.111=+=
∴+===
∴=∞
∞∞
∞λλλλ
λλ
e hc V c
h
c h eV e hc
V c
h eV
4.2 Na 原子的基态3S 。已知其共振线波长为5893ο
A ，漫线系第一条的波长为8193ο
A ，基线系第一条的波长为18459ο
A ，主线系的系限波长为2413ο
A 。试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值。
解：将上述波长依次记为
ο
ο
ο
ο
λλλλλλλλA
A A A p f d p p f d p 2413,18459,8193,5893,
,,,max max max max max max ====∞∞即
容易看出：
1
6max
3416max
331
6max
316310685.01
10227.11
10447.21
1
10144.41
~---∞-∞
∞?=-
=?=-=?=-
=
?===米米米米f D F d p D p P P P S T T T T T v T λλλλλ
4.3 K 原子共振线波长7665ο
A ，主线系的系限波长为2858ο
A 。已知K 原子的基态4S 。试求4S 、4P 谱项的量子数修正项p s ??,值各为多少？
解：由题意知：P
P s p p v T A A λλλο
ο
/1~,2858,76654max ====∞∞ 由2
4)
4(s R
T S ?-=
，得：S k T R s 4/4=?- 设R R K ≈,则有max
41
1,229.2P P P T s λλ-
=
=?∞
与上类似 764.1/44=-≈?∞P T R p
4.4 Li 原子的基态项2S 。当把Li 原子激发到3P 态后，问当3P 激发态向低能级跃迁时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？
答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中n 相同而l 不同的能级有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n 有关，而且与角量子数l 有关，可以记为),(l n E E =。理论计算和实验结果都表明l 越小，能量越低于相应的氢原子的能量。当从3P 激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：1±=?l ，可能产生四条光谱，分别由以下能级跃迁产生：
。S P S P P S S P 23;22;23;33→→→→
第五章 多电子原子
5.1 e H 原子的两个电子处在2p3d 电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之。已知电子间是LS 耦合。
解：因为2
1
,2,12121====s s l l ，
1
,2,3;1,0,,1,;
2121212121==∴-?-++=-+=L S l l l l l l L s s s s S ，或 所以可以有如下12个组态：
4
,3,23313,2,13212,1,0311,1,3,0,3,1,2,0,2,1,1,0,1F S L F S L D S L D S L P S L P S L ============
5.2 已知e H 原子的两个电子被分别激发到2p 和3d 轨道，器所构成的原子态为D 3，
问这两电子的轨道角动量21l l p p 与之间的夹角，自旋角动量21s s p p 与之间的夹角分别为多少？
解：（1）已知原子态为D 3，电子组态为2p3d
2,1,1,221====∴l l S L
因此，
'
212
22
12
212
22
12
222111461063
212/)(cos cos 26)1(6)1(22)1(οθθθπ
=-
=--=∴++==+==+==+=L l l l l L L L
l l l l L L l l p p p p P p p p p P L L P l l p h
l l p
（2）
1212122S s s p p h
P ==∴=====
而
'
212
22
12
212
22
12
32703
12/)(cos cos 2οθθθ==
--=∴++=S s s s s S s s
s s s s S p p p p P p p p p P 5.3 锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是4s4s 。当其中有一个被激发，考虑两种情况：（1）那电子被激发到5s 态；（2）它被激发到4p 态。试求出LS 耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？
解：（1）组态为4s5s 时 2
1
,02121====s s l l ，
1
301,1;1,001
,0,0S J S S L J S S L 三重态时单重态时，=======∴ 根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的5种跃迁：
11123131313031311014445;45;45,45S P P S P S P S P S →→→→→ 所以有5条光谱线。
（2）外层两个电子组态为4s4p 时：
2
1
,1,02121=
===s s l l ， 1312,1,01,0,1
01,;1
;2,1,0,L S S J L P S J P ∴=======时，单重态时三重态
根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁，011144S P →，因此只有一条光谱线。
5.4 试以两个价电子3221==l l 和为例说明,不论是LS 耦合还是jj 耦合都给出同样数目的可能状态.
证明:(1)LS 耦合
L
J S L S ====;0,1,2,3,4,5;10时，
5个 L 值分别得出5个J 值,即5个单重态．
;1,,1;1-+==L L L J S 时
代入一个L 值便有一个三重态．５个L 值共有５乘３等于１５个原子态：
6,5,435,4,334,3,233,2,132,1,03
;;;;H G F D P
因此，LS 耦合时共有２０个可能的状态．
（２）jj 耦合：
2
1212121,...,25
27;2325;j j j j j j J j j s l j s l j -++===-=+=或
或或
将每个21j j 、合成J 得：
1
,2,3,42
5
230,1,2,3,4,525
252
,3,4,527
231,2,3,4,5,627
252
12
12
121============
J j j J j j J j j J j j ，合成和，合成和，合成和，合成和
共２０个状态：1,2,3,40,1,2,3,4,52,3,4,51,2,3,4,5,6)2
5,23(;)2
5,25(;)2
7,23(,)2
7,25(
所以，对于相同的组态无论是LS 耦合还是jj 耦合，都会给出同样数目的可能状态．
第六章 磁场中的原子
6.1 已知钒原子的基态是2/34F 。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。
解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态2/34F 之角动量量子数2/3=J ，角动量在磁场方向的分量的个数为412
3212=+?=+J ，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。
（2）J J P m
e
g
2=μ h h J J P J 2
15)1(=
+= 按LS 耦合：5
2
156)1(2)1()1()1(1==++++-++
=J J S S L L J J g
B B J h m e μμμ7746.05
15
215252≈=???=
∴
6.3 Li 漫线系的一条谱线)23(2/122/32P D →在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。
解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。
2/323D
能级：,2
3,21,2===j S l
5
4
)1(2)1()1()1(12
3,21,21,232=
++++-++=-
-=j j s s l l j j g M
2
/122P 能级：,2
1
,21,2===j S l 3
2,21,211=-=g M
L v
)30
26,3022,302,302,3022,3026(~---=? 所以：在弱磁场中由2/122/3223P D →跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。
6.5氦原子光谱中波长为)2131(1.667811
21
P p s D d s A →ο及)2131(1.70650311P p s S s s A →ο
的两条谱
线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？
2
D 3/2
2
P 1/2
-3/2 -1/2 M 3/2 106/3 1/2
1/2
σ σ π πσ σ
解：（1）1,0,1,2,2,0,22221=±±====g M J S L D 谱项：。
1,0,1,1,0,11111
=±====g M J S L P 谱项：
L v
)1,0,1(~+-=?。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以ο
λA 1.6678=的光谱线分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L ，是正常塞曼效应。
（2）对2,0,1,1,1,02213
=±====g M J S L S 能级：
00
,0,0,1,1111103======g M g M J S L P ，能级：对
L v )2,0,2(~+-=?，所以ο
λA 1.7065=的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱线的波
数差均为2L ，所以不是正常塞曼效应。
6.7 S P Na 33→原子从跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96
埃。试求出原能级2/32P 在磁场中分裂后的最低能级与2/12
P 分裂后的最高能级相并合时所
需要的磁感应强度Ｂ。
解：对;3
4,2
1,2
3,2
3,2
1,12/32=±±====g M j s l P 能级：
;32,21,21,21,12/12
=±===
=g M j s l P 能级：磁场引起的附加能量为：B m
he
Mg E π4=? 设,,,2/122/122/32S P P 对应的能量分别为012,,E E E ，跃迁,,2/122/122/122/32S P S P →→产生的谱线波长分别为12,λλ；那么，ο
ο
λλA A 93.5895,96.588912==。P 2
能级在磁场中发生分裂，,,2/122/32P P 的附加磁能分别记为12,E E ??；现在寻求1122E E E E ?+=?+时的B 。
B m
eh
g M g M E E E E π4)
(22112112-=?-?=- 由此得：mc eB
g M g M hc E E E E π4)
()()(22112112-=?-?-- 即：
mc
eB
g M g M πλλ4)
(1
1
22111
2
-=-
因此，有：)1
1(141
22211λλπ--=
g M g M e mc B
其中2,3
12211-==g M g M ，将它们及各量代入上式得：
B=15.8特斯拉。