差分方程xn+1 = xn ( p + xn

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(11), 1402-1404

Published Online November 2018 in Hans. https://www.360docs.net/doc/cb2642868.html,/journal/aam https://https://www.360docs.net/doc/cb2642868.html,/10.12677/aam.2018.711163

Dynamics of the Difference Equation ()11n n n x =x p +x +?

Shaogao Deng 1, Lijun Zhu 2*

1School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan

School of Mathematics and Information Science, North Minzu University, Yinchuan Ningxia

Received: Oct. 23rd , 2018; accepted: Nov. 13th , 2018; published: Nov. 20th

, 2018

Abstract

This paper considers the difference equation ()(),+1102n n n x =x p +x p n ?≥≥ with the initial values

,120>0x x >. The asymptotic stability of the positive solutions is proved under some assumptions.

Keywords

Difference Equation, Equilibrium Point, Asymptotic Stability

差分方程()11n+n

n x =x p +x ?的动力学性质

邓绍高1，朱立军2*

1西南交通大学数学学院，四川成都

北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏银川

收稿日期：2018年10月23日；录用日期：2018年11月13日；发布日期：2018年11月20日

摘要

本文讨论了差分方程)(),+1102n n n x =x p +x p n ?≥≥的动力学性质，其中参数p 是非负数，初始值

,120>0x x >。在一定的条件下，方程的正解的渐近稳定性得到了证明。

通讯作者。

邓绍高，朱立军

关键词

差分方程，平衡点，渐近稳定性

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

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1. 引言

差分方程来源于递推关系，在各种实际问题中有着广泛的应用。同时在微分方程的数值求解中，需要通过对微分方程的离散化得到差分方程(参见[1] [2])。因此，非线性差分方程成了近年来的研究热点之一，比如文献[3] [4] [5]。

本文将考虑具有非负参数的差分方程：

)11n n n x x p x +?=+ (1.1)

的正解在一定的条件下的收敛性和周期性。其中，()0,2p n ≥≥，初始值120,0x x >>。

设函数()()(),0,0,0f x y x p y p x y +>>>，则差分方程

()()11,2n n n x f x x n +?=≥ (1.2)

在平衡点β的线性化方程的特征方程为(相关的概念参见[1] [2])：

()()2,,0x y f f λββλββ??= (1.3)

引理1.1：若方程(1.3)的全部特征根的模都小于1，则方程(1.2)的平衡点β是(局部)渐近稳定的；若方程(1.3)至少有一个特征根的模大于1，则方程(1.2)的平衡点β是不稳定的(参见[1] [2])。

2. 主要结果

首先，我们考虑0p >为正数时的情形。

定理2.1：差分方程(1.1)在0p >时，其平衡点及其稳定性依赖于p 的值。即： 1) 当1p ≥时，有唯一的平衡点0β=，且是全局(渐近)稳定的；

2) 当01p <<时，有两个平衡点0β=和1p β=?，其中0β=是不稳定的，而1p β=?是(渐近)稳定的。

证明：因为120,0,0p x x >>>，由数学归纳法可得()01n x n >≥。 1) 当1,2p n ≥≥时，()11111n n n x x p x p +?+<≤=，即方程(1.1)的解{}n x 单调递减。

从而存在0β≥，使得：()n x n β→→∞。另一方面，对方程(1.1)两边取极限可求得：

()011p p ββ==?>当或时舍去

从而得唯一的平衡点0β=。

由于解的收敛性不依赖于对初值的选取。所以，该平衡点是全局(渐近)稳定的。 2) 当01p <<时，令n x β≡，可得：

Open Access

邓绍高，朱立军

010p ββ==?>或

此时，方程(1.1)有两个平衡点0β=和1p β=?。令()),f x y x p y =+，则：

()(),1x f x y p y =+，())2

,y f x y x p y =

?+ 当0β=时，(),1x f p ββ=，(),0y f ββ=。

所以，方程(1.1)的线性化方程的特征方程20p λλ?=的特征根为：

120,11p λλ==>

故，平衡点0β=是不稳定的。

当1p β=?时，(),1x f ββ=，(),1y f p ββ=?。

同上，方程(1.1)的线性化方程的特征方程()210p λλ???=

的特征根满足： ()(()

12012121341p λλ<=≤=<≤<当时；

()22

1211034p p λλλλ===

?<<<当时。由此可知，平衡点1p β=?是(渐近)稳定的。证毕。其次，我们来考虑0p =时，其解是否收敛。设初始值120,0x a x b =>=>，容易得到：

345678,1,1,,,x b a x a x x a b x a x b ======

定理2.2：差分方程(1.1)在0p =时，其解{}n x 在一般的情况下是六周期解(即6n n x x +=)。即解{}n x 是振荡的，也就是没有平衡点。

注释2.1：在差分方程(1.1)中，如果将参数p 推广成一般的序列{}n p 则结论就会有所不同.

基金项目

中央高校基本科研业务费专项资金(2682018ZT25)资助(Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities (2682018ZT25))；宁夏自然科学基金项目(NZ17015)；国家自然科学基金项目(61362033)；四川省科技厅基础研究计划项目(2011JYZ002)；西南交通大学本科教育教学研究与改革项目(1804171)。

参考文献

[1] 周义仓, 曹慧, 肖燕妮. 差分方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2014.

[2] Elaydi, S. (2005) An Introduction to Difference Equations. 3rd Edition, Springer-Verlag, New York.

[3] Amleh, A.M., Grove, E.A., Ladas, G. and Georgiou, D.A. (1999) On the Recursive Sequence 11n n n x x x α+?=+.

Journal of Mathematical Analysis and Applications , 233, 790-798. https://https://www.360docs.net/doc/cb2642868.html,/10.1006/jmaa.1999.6346 [4] 徐胜荣, 王希超, 周营营. 一类差分方程的稳定性研究[J]. 山东农业大学学报(自然科学版), 2013, 44(4):624-629. [5] 韩彩虹, 李略, 黄荣里. 差分方程1

1n n n n x p x x +?=+的动力学性质[J]. 广西师范大学学报(自然科学版), 2013, 31(1): 44-47.

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),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22 ? 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<

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差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability

第三章线性系统状态方程的解

第三章系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。（１）幂级数法——直接求解设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A

上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。（２）拉氏变换解法将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--

一维导热方程有限差分法 matlab实现

第五次作业（前三题写在作业纸上）一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf 文件，热扩散系数α=const ， 22T T t x α??=?? 1. 用Tylaor 展开法推导出FTCS 格式的差分方程 2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。 4. 编写M 文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde %以下所用数据，除了t 的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf 中得来 a=0.00001;%a 的取值 xspan=[0 1];%x 的取值范围 tspan=[0 20000];%t 的取值范围 ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t 轴的，后面的是x 轴的 f=@(x)0;%初值 g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二 [T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x ，t ，T xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') T%输出温度矩阵 dt=tspan(2)/ngrid(1);%t 步长 h3000=3000/dt;

h9000=9000/dt; h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:) T9000=T(h9000,:) T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布 %不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面 %稳定性讨论,傅里叶级数法 dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长 sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2; if sta>0,sta<2 fprintf('\n%s\n','有稳定性') else fprintf('\n%s\n','没有稳定性') error end %真实值计算 [xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [xe,te]=meshgrid(xe,te); mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Te xlabel('xe') ylabel('te') zlabel('Te') Te%输出温度矩阵 %误差计算 jmax=1/dx+1;%网格点数 [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax) rms%输出误差

离散系统差分方程计算

1.设离散控制系统差分方程为x采样周期T。试求：（1）系统的脉冲传递函数。（2）系统的频率特性表达式。解：差分方程两边取Z变换，得脉冲传递函数频率特性 2.假设离散系统差分方程为。其中; ，，，。试求:(1)分析系统的稳定性。（2），，。解：（1）对差分方程两边取Z变换，得特征方程：解得：；由于，即系统稳定。（2）n=0时， n=1时， n=2时， 3.某离散控制系统的差分方程为，其中：，，，，，，。试求：（1），。（2）分析稳定性。解：（1）对差分方程两边Z变换，得特征方程：解得：；由于，所以系统稳定。

（2）n=0时， n=1时。 4.离散控制系统的差分方程为：，其中，，时，时。试求：(1)，，。（2）脉冲传递函数。解：（1）差分方程两边取Z变换，得特征方程：解得：；由于，所以系统稳定。（2）n=0时， n=1时， n=2时， 5.已知：离散控制系统的差分方程为。试求：脉冲传递函数。系统频率特性解：对差分方程Z变换，得频率特性 6.某离散系统的差分方程为=，其中，。试求（1）脉冲传递函数，并分析稳定。（2），，。解：对差分方程两边Z变换，得（）

特征方程：解得：；由于，所以系统稳定。 (2)n=0时， n=1时， n=2时，y 7.已知离散系统的差分方程为，试求：（1）脉冲传递函数。（2）分析系统稳定性解：（1）对差分方程两边Z变换，得 (2)特征方程：=0 解得：；由于，所以系统临界稳定。 8.离散系统差分方程为，其中，；。试求：，，。（）分析稳定性。解：(1)n=0时， n=1时， n=2时， (2)对差分方程两边Z变换，得特征方程：解得：；由于，所以系统稳定。 9.某离散系统差分方程为，其中：，时，；时，。试求：，，。（2）分析

离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析

实验2 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析一、实验目的加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。二、实验原理离散系统可表示为其输入、输出关系可用以下差分方程描述： ∑∑==-=-M k m N k k m n x b k n y a 00][][ 输入信号分解为冲激信号， ∑∞ -∞=-= m m n m x n x ][][][δ。记系统单位冲激响应 ][][n h n →δ，则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞ -∞=-= *=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k a k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。在MATLAB 中，可以用函数y=filter(b,a,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积，用y=impz(b,a,N)求系统的冲激响应。对于N 阶差分方程∑∑==-=-M k m N k k m n x b k n y a 00][][， 1) 当给定函数的系数和输入序列时，差分方程的递推过程在MA TLAB 中用函数y=filter(b,a,x)来实现，其中，b 为右端x 的系数,a 为左端y 的系数，a 0=1。求得的输出序列y 和输入序列x 的长度相等。若x 的长度太短，需要补零。用conv 函数计算能在输入序列后自动补零，而filter 函数不能。 2) MATLAB 中有一个求离散系统脉冲响应的专门函数y=impz(b,a,N)，其中，b 为右端x 的系数,a 为左端y 的系数，a 0=1。N 为要求的点数。键入impz(b,a)，程序将自动给出脉冲响应的曲线。 3) 当输入序列和脉冲响应序列都是以数值方式给出时，可以用MATLAB 中的卷积函数y=conv(x,h)来计算。

有限差分法求解偏微分方程复习进程

有限差分法求解偏微分方程

有限差分法求解偏微分方程摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的理论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及操作可行性。关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法 Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference is derived in the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility of the method. Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference Method

1 引言机械系统设计常常需要从力学观点进行结构设计以及结构分析，而这些分析的前提就是建立工程问题的数学模型。通过对机械系统应用自然的基本定律和原理得到带有相关边界条件和初始条件的微分积分方程，这些微分积分方程构成了系统的数学模型。求解这些数学模型的方法大致分为解析法和数值法两种，而解析法的局限性众所周知，当系统的边界条件和受载情况复杂一点，往往求不出问题的解析解或近似解。另一方面，计算机技术的发展使得计算更精确、更迅速。因此，对于绝大多数工程问题，研究其数值解法更具有实用价值。对于微分方程而言，主要分为差分法和积分法两种，本论文主要讨论差分法。 2 有限差分法理论基础 2.1 有限差分法的基本思想当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。将原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。有限差分法求解偏微分方程的步骤主要有以下几步：区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格，这些离散点称作网格的节点；

实验离散系统的差分方程单位脉冲响应和卷积分析

实验2 离散系统的差分方程、单位脉冲响应和卷积分析一、实验目的 1、熟悉并掌握离散系统的差分方程表示法； 2、加深对单位脉冲响应和卷积分析方法的理解。二、实验原理 (一), 1. 单位采样序列 ???=01 )(n δ 0 0≠=n n 在MATLAB 中可以利用zeros()函数实现。 ; 1)1();,1(==x N zeros x 如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即： ???=-01 )(k n δ 0≠=n k n 2．单位阶跃序列 1()=0 u n ??? 00<≥n n 在MATLAB 中可以利用ones()函数实现。 );,1(N ones x = 3．正弦序列 )/2sin()(?π+=Fs fn A n x 在MATLAB 中 ) /***2sin(*1:0fai Fs n f pi A x N n +=-=

4．复指数序列 n j e n x ?=)( 在MATLAB 中 ) **exp(1:0n w j x N n =-= 5．实指数序列 n a n x =)( 在MATLAB 中 n a x N n .^1:0=-= (二) 在时域中，离散时间系统对输入信号或者延迟信号进行运算处理，生成具有所需特性的输出信号，具体框图如下: 其输入、输出关系可用以下差分方程描述： 00()()N M i i i i a y n i b x n i ==-=-∑∑ 输入信号分解为单位采样序列的移位加权和，即： ()()()m x n x m n m δ∞ =-∞= -∑ 记系统单位脉冲响应 ()()n h n δ→ 则系统响应为如下的卷积计算式：

第九章偏微分方程差分方法

170 第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2）第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3）第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4）这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G ={0

差分方程模型理论与方法

差分方程模型的理论和方法引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易

五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程 -（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0kmax) break; end if(max(max(t))

差分方程模型的理论和方法

第九章差分方程模型的理论和方法引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。第一节差分方程的基本知识一、基本概念 1、差分算子设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。以后我们都是指向前差分。可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。类似可定义在n 处的k 阶差分为：