H∞控制器的设计

一、H ∞控制器的设计

（一）H ∞状态反馈控制器设计思路

图 2-1 广义系统

针对如上图所示的广义系统，P (s)是一个线性时不变系统，其状态方程可以用下面的式子描述:

u

D D x C y u D D x C z u B B Ax x

22212121111211++=++=++=ωωω 2-1 其中：n x R ∈是状态向量，m u R ∈是控制输入，p y R ∈是测量输出，r

z R ∈是被调输出，q R ∈ω是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况下，设计一个控制器)()()(s y s K s u =，使得闭环系统满足：

（1）闭环系统内部稳定；

（2）从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系：

1)(<∞s T wz 2-2

满足这样性质的控制器称为系统的一个∞H 控制器。

通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数，可以使得闭环系统具有给定的∞H 性能γ，即使得γ<∞)(s T wz 的∞H 控制问题转化为使得

1)(<∞s T wz 的标准∞H 控制问题。称具有给定∞H 性能γ的∞H 控制器为系统P (s)的γ-次优∞H 控制器。进一步可以通过对γ的搜索，可以求取使得闭环系统的扰

动抑制度γ最小化的控制器。

对于上面给出的系统，令D 21、D 22为零矩阵，C 2为单位阵，那么就形成了一个状态反馈控制系统。

对于这个系统，如果可以设计一个静态反馈控制器)()()(s x s K s u =，使得系统闭环稳定，并且满足从扰动到被调输出的传递函数为：

1)]()[()(11

11112121<++-+=∞

-∞D B B A sI K D C s T wz 2-3

那么，我们称这样的反馈控制器为系统P (s)的一个状态反馈∞H 控制律。 定理 对于系统P (s)，存在一个状态反馈∞H 控制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵X 和W ，使得以下矩阵不等式成立：

0)()(11

12111

11121111212

?

??

??

?-+-++++I D W D X C D I B W D X C B W B AX W B AX T

T

T T 2-4 成立，而且，如果上面的矩阵不等式存在一个可行解**X W 、，则有

1*)(*-=X W K 为系统的状态反馈∞H 控制矩阵。

对于次优控制问题，通产可以进行一下变换：

1)

()(1-

∞s T s T wz wz γγ 2-5

将原模型中的11112C D D 、、替换为 11111112C D D γγγ---、、，则得到新的状态反馈次优控制器对应的矩阵不等式：

0)()(11

1-1211-11

1-111211-111212

?

??

??

?-+-++++I

D W D X C D I

B W D X

C B W B AX W B AX T

T

T T

γγγγ 2-6

为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以{,,}diag I I I γ，则得到如下式子：

0)()(211

12111

11121111212

?

??

??

?-+-++++I D W D X C D I B W D X C B W B AX W B AX T

T

T T

γ 2-7 求解该不等式即可得到系统状态反馈γ-次优∞H 控制器 求解该不等式，即可得到系统状态反馈γ-次优∞H 控制器。

这样，γ-次优∞H 控制器存在的条件下（LMI 可解），通过建立和求解以下优化问题即可得到γ-次优∞H 控制器:

1212111121111

211211

min ()()00

T T T

T

AX B W AX B W B C X D W B I D C X D W D I X ρ

γ??

++++??-

???+-??

> 下面利用状态反馈进行γ-次优∞H 控制器的设计。 （二）系统矩阵

下面给出系统的各个矩阵：

11121111222122010

00

10

2310010011821,,00011302

34001102

111

421231122

4

14,,4

2531431

2

4,,A B B C D D C I D D ????????????-?

?????===??

????

-?

?????--????????????===?

??????????

?

===00

（三）仿真结果

仿真条件设置：系统的状态初值设置为：[]00 0 0 0T

X =,时间间隔设置为0.01s ，共仿真10s ，在0.2秒处施加一个[]2 1T

ω=的扰动。

设置mincx 函数的解算精度为1e-5，计算得到系统的反馈控制矩阵：

在上面的仿真结果中，flag 同EVP 问题中的flag 一样，都是X ，W 是否是系统的解得标志。仿真结果中flag 负定，说明X,W 是系统的解。这样就求得了系统的状态反馈控制矩阵。

下面给出闭环系统的仿真结果：

图2-2 0.2秒处加入脉冲干扰后的系统状态变量的响应曲线

当取[]sin() cos(2) (0.01,2050)T

nT nT T n ω==<<时，仿真结果如下：

1234

5678910

t/s

图 2-3 0.2-0.5秒加入正弦干扰后的系统状态变量的响应曲线

当取=wgn(2,1,1) ，即功率为1 的白噪声时，仿真结果如下：

图 2-4 在0.2-0.5秒加入高斯白噪声后的仿真结果

从上面的仿真结果可以看出，对于不同的干扰信号，系统都可以回到稳定状态，证明系统是闭环稳定的。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1234567

8910

-0.4-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3