连续信号的采样重构与仿真

郑州航空工业管理学院

《电子信息系统仿真》课程设计 2013 级电子信息工程专业 1313084 班级

题目连续信号的采样重构仿真

姓名洪*

学号1313084

指导教师王**

二О一五年十二月十日

一、M ATLAB软件简介

MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国The MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的程序。

二理论分析

原理描述

2.1连续时间信号

连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严

格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。

在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。

本课程设计采用)(t

Sa作为连续时间信号进行抽样与重构，由于函数Sa不是严格的带限信号，其带宽m 可根据一定的精度要求做一近)(t

似。

2.2 连续信号的采样定理

模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：

(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；

（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）

(2) 取样频率不能过低，必须

＞2

（或 ＞2

）。（对取

样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于

，即

（

为连续信号

的有限频谱），则采样离散信号

能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间（-

，

）以外

为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔 （ ＜

）上的样点值

所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采

样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为

1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的

条件为重复周期m t T 21≥，或频域间隔m

t f 21

21≤=πω（其中1

12T πω=

）。采样信号

的频谱是原信号频谱

的周期性重复，它每隔

重

复出现一次。当s ω＞2

时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的

形状不会发生变化，从而能从采样信号

中恢复原信号

。（注：

s ω＞2

的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里

的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能）。

图1 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）

图2 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）

图3低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）

2.3 信号抽样

如图4所示，给出了信号采样原理图

由图4可见

)()()(t t f t f s T s δ?=，其中，冲激采样信号)(t s

T δ的表达式为：

∑∞

-∞

=-=

n s

T nT t t s

)()(δδ

其傅立叶变换为∑∞

-∞

=-n s

s n )(ωωδω，其中s

s

T

π

ω2

=。设)(ωj F ，)(ωj F s

分

别为)(t f ，)(t f s

的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=-=

-=n s

s n s s s n j F T n j F j F )]([1

)(*)(21)(ω

ωωωδωωπω

若设)(t f 是带限信号，带宽为m

ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s

就

是将)(ωj F 在频率轴上搬移至ΛΛ,,,,,02ns

s

s

ωωω±±±处（幅度为原频谱的

s T 1倍）。因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频

谱发生混叠。

一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图5所示。

图5

用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*t t e t e T δ= 理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为

∑∞

=-=0)()(n T nT t t δδ

其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲。由于)(t e 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

00

)(

所以)(*

t e 又可表示为 *

()()()n e t e nT t nT δ∞

==-∑

2.4 信号重构

设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s

，信号的重构是指由

)(t f s 经过内插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程。又称为信号恢复。

若设)(t f 是带限信号，带宽为m

ω，经采样后的频谱为)(ωj F s

。设采

样频率m

s

ωω2≥，则由式（9）知)(ωj F s

是以s

ω为周期的谱线。现选取

一个频率特性????

?><=c

c

s

T j H ω

ωωωω0

)(（其中截止频率c

ω满足2

s

c

m ω

ωω≤

≤）

的理想低通滤波器与)(ωj F s

相乘，得到的频谱即为原信号的频谱

)(ωj F 。

显然，)()()(ωωωj H j F j F s

=，与之对应的时域表达式为

)(*)()(t f t h t f s = （10）

而 ∑∑∞

-∞

=∞-∞

=-=-=n s

s

n s

s

nT t nT f nT t t f t f )()()()()(δδ

)()]([)(1t Sa T j H F t h c

c

s

ωπ

ω

ω==- 将)(t h 及)(t f s

代入式（10）得

∑∞

-∞

=-==n s

c

s

c

s

c

c

s

s

nT t Sa nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(ωπ

ω

ωπω （11）

式（11）即为用)(s

nT f 求解)(t f 的表达式，是利用MATLAB 实现信

号重构的基本关系式，抽样函数)(t Sa c

ω在此起着内插函数的作用。

例：设t

t

t Sa t f sin )()

(=

=，其)(ωj F 为： ????

?><=1

1)(ωωπ

ωj F

即)(t f 的带宽为1=m

ω，为了由)(t f 的采样信号)(t f s

不失真地重构

)(t f ，由时域采样定理知采样间隔πω

π=

s

T ，取π7.0=s T （过采样）。利用MATLAB 的抽样函数t

t t Sinc ππ)

sin()(=来表示)(t Sa ，有)/()(πt Sinc t Sa =。据此可知：

∑∞

-∞

=-==n s

c

s

c

s

c

c

s

s

nT t Sinc nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(π

ω

πωωπω 通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为w m 的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/w m, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。 根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：

式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB 中的抽样函数

来表示Sa(t)，有

，，

于是，信号重构的内插公式也可表示为：

3 MATLAB 仿真实现

本课程设计通过MATLAB 软件产生一个连续时间信号)(t Sa 并生成其频谱，然后对该信号三种不同情况的抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。由于原连续信号)(t Sa 的频谱无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。在信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于或等于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。信号重构时，滤波器的参数需要很好的设置以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。鉴于条件有限，此次课程设计我们只对过抽样情况实现重构。

本节设计过程严格根据以下三种情况用MATLAB 实现采样信号及重构进行分析详述。

（1）)(t Sa 的临界采样：,1=m ω，m

c

ωω=，m i s p T ω/=；

（2）)(t Sa 的过采样及重构：1=m ω，m

c

ωω1.1=，m i s p T ω/5.0=；

（3）)(t Sa 的欠采样：1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/2=。 3.1 设计连续信号sa(t)

先设计一个程序，使之产生一个连续信号)(t Sa 。 程序如下：

t=-20:0.5:20; f=sinc(t/pi); plot(t,f); xlabel('t'); ylabel('x(t)');

title('时域连续信号sa(t)=sinc(t/pi)波形'); grid;

产生的图形如图6.

图六

3.2 设计连续信号sa(t)的频谱

再设计一个频谱程序，使其产生连续信号)(t

Sa的频谱波形图。程序如下：

t=-20:0.5:20;

f=sinc(t/pi);

N=1000;

k=-N:N;

w1=10;

w=k*w1/N;

F=f*exp(-j*t'*w)*0.5;

plot(w,F);

xlabel('x');

ylabel('x(w)');

title(' sa(t)=sinc(t/pi)信号的频谱图');

产生的图形如图7.

图七

3.3 设计连续信号sa(t)的采样与信号重构

1 临界抽样情况

当采样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m

s ωω2=时，称为临界采样，此时设置,1=m ω，m

c

ωω=，m i s p T ω/=。

设计一个程序完成Sa 信号的抽样以及重构信号与误差信号的变化。

程序如下：

wm=1;

%升余弦脉冲信号带宽

wc=wm; %频率

Ts=pi/wm; %周期

ws=2*pi/Ts; %理想低通截止频率

n=-100:100; %定义序列的长度是201

nTs=n*Ts %采样点

f=sinc(nTs/pi); %抽样信号

Dt=0.005;

t=-20:Dt:20;

fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))) ); %信号重建

t1=-20:0.5:20;

f1=sinc(t1/pi);

subplot(211);

stem(t1,f1);

xlabel('kTs');

ylabel('f(kTs)');

title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');

subplot(212);

plot(t,fa)

xlabel('t');

ylabel('fa(t)');

title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');

grid;

产生的图形如图8.

图8

分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t 选取的数据越大，起止的宽度越大。

2 过抽样情况

当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m

s ωω2>时，称为过采样。此时，设置1=m ω，m

c

ωω1.1=，m i s p T ω/5.0=。

设计一个程序完成Sa 信号的抽样，并观察在不同采样频率的条件下对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。

程序如下：

wm=1;

wc=1.1wm;

Ts=0.5*pi/wm;

ws=2*pi/Ts;

n=-100:100;

nTs=n*Ts

f=sinc(nTs/pi);

Dt=0.005;t=-10:Dt:10;

fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));

error=abs(fa-sinc(t/pi));

t1=-10:0.5:10;

f1=sinc(t1/pi);

m=-20:20;

N=41; %设采样点的N值

Xw=abs(fft(f,N));

subplot(2,2,1);

plot(m,Xw);

axis([-20 20 1.1*min(Xw) 1.1*max(Xw)]); %可用axis函数来调整图轴的范围

xlabel('w');

ylabel('|Xw|');

title('抽样后频谱波形图');

subplot(2,2,2);

stem(t1,f1);

xlabel('kTs');

ylabel('f(kTs)');

title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');

subplot(2,2,3);

plot(t,fa)

xlabel('t');

ylabel('fa(t)');

title('由sa(t)过采样信号重构sa(t)');

grid;

subplot(2,2,4);

plot(t,error);

xlabel('t');

ylabel('error(t)');

title('过采样信号与原信号的误差');

产生图形如图9.

图九

分析：验证了抽样定理的内容，过抽样情况波形恢复良好。 3 欠采样情况

当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m

s ωω2<时，称为过采样。此时设置1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/2=。鉴于此过程难以实现重构，故省去此步骤。

设计一个程序完成Sa 信号的抽样，并观察在不同采样频率的条件下对应采样信号的时域和频域特性。

程序如下：

wm=1; wc=wm; Ts=2 *pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts f=sinc(nTs/pi); t1=-20:0.5:20 f1=sinc(t1/pi); m=-20:20;

N=41; %设采样点的N 值 Xk=abs(fft(f,N)); subplot(2,1,1);

plot(m,Xw);

axis([-20 20 1.1*min(Xw) 1.1*max(Xw)]); %可用axis 函数来调整图轴的范围

xlabel('w'); ylabel('|Xw|');

title('抽样后频谱波形图'); subplot(2,1,2); stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)');

title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号sa(t)');

产生的图形如图10.

图十

分析：因采样信号的频谱混叠，使得在c

ωω<区域内的频谱相互

“干扰”导致波形难以恢复。

总结

正所谓“纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行。”学习任何知识，仅从理论上去求知，而不去实践、探索是不够的。因此在学期末来临之际，我们迎来了MATLAB课程设计。

通过为期一周的MATLAB课程设计，我对MATLAB这个仿真软件有了更进一步的认识和了解。在这一周时间里，我通过自己摸索，查阅资料，并且在指导老师田老师的指导下完成了：连续信号的抽样与重构，并最终将课程设计报告总结完毕。

在整个设计过程中我懂得了许多东西，也培养了独立思考和设计的能力，树立了对知识应用的信心，相信会对今后的学习工作和生活有非常大的帮助，并且提高了自己的动手实践操作能力，使自己充分体会到了在设计过程中的成功喜悦。虽然这个设计做的不怎么好，但是在设计过程中所学到的东西是这次课程设计的最大收获和财富，使我终身受益。

在没有做课程设计以前，觉得课程设计只是对知识的单纯总结，但是通过这次课程设计发现自己的看法有点太片面，课程设计不仅是对前面所学知识的一种检验，也是对自己能力的一种提高，通过这次课程设计使自己明白了原来的那点知识是非常欠缺的，要学习的东西还很多，通过这次课程设计，明白学习是一个长期积累的过程，在以

后的工作和生活中都应该不断的学习，努力提高自己的知识和综合素质。希望以后像这样的课程设计在多一点。