2020-2021年北京市人大附中高二上学期数学期末试卷【答案版】

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2017-2018学年北京市人大附中高二上学期数学期末试卷

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x? B

2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝（）

A．B．C．﹣ D．﹣

3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）

A．B．5 C．2 D．10

4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么

的最小值是（）

A．0 B．1 C．2 D．

7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过

（）

A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．

10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．

11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．

13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．

14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．

三、解答题（共30分）

15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．

（I）直接写出E、F的坐标；

（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；

（III）求证：A1F⊥C1E．

16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．

（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；

（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；

（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．

（I）求椭圆C的方程；

（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与

共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

2017-2018学年北京市人大附中高二上学期数学期末试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共40分）

【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，

∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：

￢p：?x∈A，2x?B．

故选：C．

2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝（）

A．B．C．﹣ D．﹣

【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，

∴==，

∴λ＝﹣．

故选：C．

3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）

A．B．5 C．2 D．10

【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则

∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，

∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5

∴双曲线方程的虚轴长为2．

故选：C．

4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．

若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，

即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，

故选：B．

5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，

∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，

点E、F分别是棱BC、AD的中点，

∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，

AE==a，DE==a，

CF==，

PF=，PC==，

∴cos∠PFC==．

∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．

故选：A．

6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么

的最小值是（）

A．0 B．1 C．2 D．

【解答】解：∵O为F1F2的中点，

∴=2，可得=2||

当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．

∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1

∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1

因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1

∴=2||的最小值为2

故选：C．

7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过

（）

A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，

在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，

所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，

所以AB：A'B'=，

故选：A．

A．B．C．D．

【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，

如图：

∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．

故选：D．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy≠0．

【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：

若x≠0，则xy≠0，

故答案为：若x≠0，则xy≠0

10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．

【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=2，开口向下，

∴﹣=2，解得a=﹣8．

故答案为：﹣8．

11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．

【解答】解：设双曲线C的方程为，由题意点P（1，1）在双曲线C上可得，解得m=．

故所求双曲线的方程为．

故答案为：．

12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为11．

【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x﹣4，﹣2，0），

∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，

∴存在实数m，n使得=m+n，

∴，解得x=11．m=﹣3，n=1．

故答案为：11．

13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为12．【解答】解：如图，

由|AB|=6，可得AD=3，则|OD|=2，

即A（3，2），代入曲线方程，可得，即b=12．

故答案为：12．

14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么

|PB|+|PA|的最小值d（a）=．

【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，

①当x＜﹣4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；

②当﹣4≤x≤﹣1时，化为，化为，与y轴无交点；

③当x＞﹣1时，化为，化为y2=﹣2x+3，．

令x=0，解得．

综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；

（2）由（1）可知：．

如图所示，令y=1，则10x+15=1，或﹣2x+3=1，

解得x=﹣1.4或1．

①当a≤﹣1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；

②当﹣1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，

∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2﹣a；

③当﹣1.4＜a≤﹣1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB取得最小值，

∵此抛物线的准线为x=﹣4，∴直线y=1与准线的交点Q（﹣4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．

综上可知：d（a）=

三、解答题（共30分）

（I）直接写出E、F的坐标；

（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；

（III）求证：A1F⊥C1E．

【解答】解：（Ⅰ）在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，

建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．

∴E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．

证明：（II）∵x=a，∴A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（a，，0），F（，a，0），

∴=（﹣a，a，0），=（﹣，，0），

∴=2，∴A1C1∥EF．

（III）∵=（﹣x，a，﹣a），=（a，x﹣a，﹣a），

∴?=﹣ax+ax﹣a2+a2=0，

∴⊥，∴A1F⊥C1E．

16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．

（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；

（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；

（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF．

∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，

又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，则AF⊥平面CBF．

∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF；

（Ⅱ）解：过F作FH⊥AB于H，

由已知可得△AOF为边长是1的正三角形，则FH=．

在Rt△BHF中，由BH=，FH=，可得BF=，

在Rt△CBF中，由BF=，BC=AD=1，可得CF=2．

∴直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为；

（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向

分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．

设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），

则C（﹣1，0，t），A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0）．

∴=（2，0，0），=（，﹣，t）．

设平面DCF的法向量为=（x，y，z），

则，取z=，得=（0，2t，）．

由（Ⅰ）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为==（﹣，，0），依题意与的夹角为60°，

∴cos60°=，即=，解得t=．

因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．

17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．

（I）求椭圆C的方程；

共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=，

∴c=1，e==，

∴a=，

∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，

∴椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得+y2=1．

整理，得（1+2k2）x2+4kx+2=0．①，

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=32k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k＜﹣或k＞．

∴满足条件的k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；

（Ⅲ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），

由①得x1+x2=﹣．②

又y1+y2=k（x1+x2）+2③

因为M（，0），N（0，1），所以=（﹣，1）．

所以向量+共线等价于x1+x2=﹣（y1+y2）．

将②③代入上式，解得k=．

所以不存在常数k，使得向量+与共线．