高等学校招生统一考试数学模拟卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

（1）设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R R ∈∈y x y x ,|,，映射B A f →:把集合A 中

的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（A ） ()1 ,3

（B ） ???

??21 ,23

（C ） ??

??-21 ,23

（D ） ()3 ,1

（2）复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转

，所得向量对应的复数是（A ） 23

（B ） i 32-

（C ）

i 33-

（D ） 3i 3+

（3）一长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是

（A ） 23

（B ） 32

（C ）

6 （D ） 6

（4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①()()0=?-?b a c c b a ②b a b a -<- ③()()b a c a c b ?-?不与c 垂直 ④()()2

492323b a b a b a -=-?+中，是真命题的有

（A ） ①② （B ） ②③ （C ） ③④ （D ） ②④

（5）函数x x y cos -=的部分图象是

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部

分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% …

…

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

（A ） 800~900元（B ） 900~1200元（C ）1200~1500元（D ）1500~2800元

（7）若1>>b a ，P =b a lg lg ?，Q =

()b a lg lg 21

+，R =??

? ??+2lg b a ，则

（A ） R

（A ） 32（B ） 329-（C ）

（D ） 335

（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

（A ）

221+ （B ）

441+ （C ）

21+ （D ）

241+ （10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

（A ） x y 3= （B ） x y 3-=

（C ） x y 3

（D ） x y 3

= （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ

的长分别是p 、q ，则q

p 1

1+等于（A ） a 2

（B ）

21 （C ） a 4 （D ）

4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成

体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（A ）

（B ）

a 21

（C ） 21（D ） 4

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，

其中次品数ξ的概率分布是

0 1 2

（14）椭圆14

2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P

横坐标的取值范围是________.

（15）设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

1=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，3，…），

则它的通项公式是n a =________.

（16）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在

该正方体的面上的射影可能是_______.（要求：把可能的图的序号都．

填上）三、解答题：本大题共6小题,共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）

甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.

（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

注意：在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分. （18甲）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC -111C B A ，底面ΔABC 中，CA =CB =1，∠BCA = 90，棱1AA =2，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点.

（I ）求BN 的长；（II ）求1cos BA <，1CB >的值；（III ）求证M C B A 11⊥. （18乙）（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60.

（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）假定CD=2，C C 1=

，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；（III ）当

CC CD

的值为多少时，能使⊥C A 1平面

BD C 1？请给出证明.

（19）（本小题满分12分）设函数()ax x x f -+=

12，其中0>a .

（I ）解不等式()1≤x f ；（II ）求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数. （20）（本小题满分12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

（21）（本小题满分14分）

（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p . （II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.

（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 满足

AE =EC λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.

当4

32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围.

参考答案

（1）B （2）B

（3）C

（4）D （5）D （6）C

（7）B （8）C （9）A （10）C （11）C

（12） D

（13）ξ

1 2

0.9025 0.095 0.0025

（14）5

（15）

1 （16）②③

（17）满分10分.解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有1

6C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 1

4C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有110C 1

9C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概

率为15

4191101

416=C C C C ，所求概率为154；

——5分

（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101

314C C C

C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择

题的概率为15

131191101314=-C C C C ，所求概率为1513

或+191101516C C C C +191101416C C C C 191101

614C C C C 15

1315415431=++=，所求概率为1513

——10分

注意：在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分. （18甲）满分12分.如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.

（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，∴()()()30110012

22=-+-

+-=BN —

2分

（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B ()2 ,1 ,0.

∴()2 ,1 ,11-=BA ，()2 ,1 ,01=CB .?1BA 31=CB ，61=BA ，51=CB . ——5分 ∴

1111=

??=

>CB BA CB BA CB ——9分

（III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ???

??2 ,21 ,21=B A 1()2 ,1 ,1--，=M C 1??

? ??0 ,21 ,21 ，

∴ ?B A 1=M C 1002

21=++-

，∴⊥ 1B A M C 1 ， ∴A 1B ⊥C 1M . ——12分

（18乙）满分12分.（I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结O C 1.

∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD .

又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠，∴ DC C BC C 11???，∴ D C B C 11=， ∵ DO =OB ，∴ ⊥O C 1BD ，但 AC ⊥BD ，AC ∩O C 1=O ，∴ BD ⊥平面1AC . 又 ?C C 1平面1AC ，∴ ⊥C C 1BD . ——4分

（II ）解：由（I ）知AC ⊥BD ，⊥O C 1BD ，∴ OC C 1∠是二面角βα--BD 的平面角.在BC C 1?中，BC =2，2

C C ， 601=∠BCC ， ∴ 41360cos 23222322

1=???-??

??+= B C .

——6

分

∵ ∠OCB = 30，∴ OB =21BC =1.∴ 4

141322121=-=-=OB B C O C ， ∴ 2

O C 即C C O C 11=.作H C 1⊥OC ，垂足为H.∴ 点H 是OC 的中点，且OH 23=，

所以 3

cos 11==

∠O C OH OC C .

——8分

（III ）当

=CC CD

时，能使C A 1⊥平面BD C 1. 证法一：∵

=CC CD

，∴ BC =CD =C C 1，又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠，由此可推得BD =D C B C 11=.∴三棱锥C - BD C 1是正三棱锥

——10分

设C A 1与O C 1相交于G . ∵11C A ∥AC ，且11C A ∶OC =2∶1， ∴G C 1∶GO =2∶1. 又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴点G 是正三角形BD C 1的中心，∴CG ⊥平面BD C 1.即C A 1⊥平面BD C 1 ——12分

证法二：

由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，∵C A 1?平面1AC ，∴BD ⊥C A 1. ——10分当

=CC CD

时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1.又 BD ∩1BC =B ，∴C A 1⊥平面BD C 1.——12分（19）满分12分.思路1：（I ）不等式()1≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0>a .所以，原不等式等价于

()?

?≥+≤+.0, 1122x ax x 即()???≥+-≥0210

2a x a x ——3分

所以，当10<

-≤≤2120|a a x x ；当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x .

——6分

（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <2x .

()()21x f x f -()2122

11x x a x x --+-+=()2122

22211

1x x a x x x x --++

+-=