21n 21b b b q
b q b q b ++++++ΛΛ
即q.b b b a a a p n 21n 21<++++++<
ΛΛ则.b a b b b a a a b a n
n
n 21n 2111<++++++<ΛΛ\
13．（1）;109.16.5003105.1102.16.50031053.1102.14
3
4
3
4
?≈+?+?≈+?+?
（2）;88.4238.026.433824.026.43=-≈- （3）;7.6872232.687138.6813.2264.32≈==?
（4）≈÷?43564.2)1063.2(3
.1008.163875.1079436.2)1063.2(3
3
?≈=÷? 14 解：5.046308.0%02.04.2315|a |≈=?==?δ 则它的有效数字的个数为4。
15 解：551.45511.47321.11416.3232≈=-?≈-π
16 证明：方法一：?d
cx b
ax S ++=
Θ是有理数，则其不包含x ；
d
cx kd
b x d cx k
c a k
d cx kd b x kc a d cx k d cx b ax S +-+
+-+=+-+-++=++=）（）（又Θ 。；即，bc ad kd b kc a ===∴
，代入，，则；令其为b p c a p d p bc ad ===?Θd
cx b
ax S ++=
得, 为有理数。p ab
a
p x b p b ax d cx b ax S =++=++=
方法二：?d cx b ax S ++=
Θ是有理数，则d cx b ax S Z,n m,++=∈?使得=.n
m
；
bn.
-dm cm )x -(an d)m (cx b)n (ax =+=+，即则bc.
ad ;bn
dm mc
an ,x Q d c b a *=???==∈即则是无理数，，，，又由于
?ΘΘ又;d)d (cx b)d (ax d cx b ax S 2
d cdx bd
adx ++=++=++=
bc.ad =
则.)(d)b(cx d)d (cx b)d (ax d cx b ax S 2
d
b
d cx d d cdx bd adx =++=++=++=++=
d
cx b
ax S ++=
∴是有理数
17 证明：c
d c d c d b a +-=
-=-∴+=+，
d b c a Θ
则若。时，c d b a ==
若?????
=-=
+≠b
-a c d b -a c -d c d b a 时由得b -a b -a c -d d 2+=
; 即无理数等于有理数矛盾,则。c d =
18解：（1）ΛΛΛΛΘ
≥++≥≥≥≥≤+≤≤≤≤1n 2
n 4534231n n 433221； 并且时并且当∞→>+=+-++n ;01n 21n n 1n 2n 01
n 2
1n n 1n 2n →+=+-++
∴此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.
（2）ΛΛΛΛΘ≥+≥≥≥≥≤≤≤≤≤1
n 1
4131210000；
并且时并且当∞→>+=-+n ;01n 101n 101
n 1
01n 1→+=-+
∴此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为0.
（3）ΛΛΛΛΘ≥≥≥≥≥≤≤≤≤≤11112n
1
-2n 654321；
并且时并且当∞→>=-n ;02n 12n 1-2n 102n
1
2n 1-2n 1→=-
∴此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1. 19.（1）（?）答：复数集与复平面内以0为起点的一切向量组成的集合一一对应； （2）(?) 答:两复数的和与积都是实数的充分条件是：这两个复数是共轭复数 （3）(?)答：共轭虚数的正整数次幂仍是共轭复数；
（4）(?) 答: 一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数.
20 证明:当时k 3n =，
++-3k 2i 31）（；）（22i 313k
=-- 当时1k 3n +=，
++-+13k 2i 31）（；）（12i 311
3k -=--+ 当时2k 3n +=，
++-+23k 2i 31）（；）（12
i 312
3k -=--+ 21 解：Z=72i 31）（++
=+=++1)6isin 6(cos 17ππ)6
7isin 67(cos ππ+=i 21231-- 则|Z|=2
2
263241)23-
(12-
=-=+；则.23arctan 2）（+-=πθ 22 解：Θ|z|=1，，则令ααisin cos z +=∴
1z z 2+-=)i sin -sin (2cos cos cos 22ααααα+-
则u=222
)2
1
(cos 41cos 4cos 4|1z z |-=+-=
+-ααα
当3u ,1cos max =-=时α；当.0u ,2
1
cos min ==
时α 23. 解方程
N).n 1,n 1z 1z n
n
∈>-=+，（）（）（ 即，则）（）解：由于（,1)1
1(
1z 1z n
n =-+-=+n
z z
1)-n ,2,1,0(k ;n
k 2isin n k 2cos 1-z 1z Λ=+=+π
π; 则1)-n ,1,0(k 1
n
k 2isin n k 2cos n k 2isin
n k 2cos 1z ΛΛ=-+++=；ππππ 24解：(1);1)(,1)(1n
n
2n
===n
ωωωΛΛΘ，
次单位根）；次方根（个不同的的是，，，n n n 1n
2ωωωΛΛ∴
（2）)(1(1n
ωω-=-；0)11
-n 2
=++++ω
ωωΛΛ
而∴≠-,01ω；011
-n 2=++++ωωωΛΛ
（3）)(1(1n
-=-z z )11
-n 2
z
z z ++++ΛΛ
=)1(-z );())()((1
n 3
2
-----ω
ωωωz z z z Λ
当时，1≠z =++++1-n 21z z z ΛΛ)())()((1
3
2
-----n z z z z ωωωωΛ
令时，1
=z .)1()1(11
2
n n =----ωωωΛΛ）（
25解：由图像知20)-(-10)-3(-|OD |22=+=
；
则.312||||||max =+=+=AD OD Z .112||||||min =-=-=BD OD Z ,24060180)(arg .30,2
1
sin max οοοοΘ=+=∴=∴=
Z αα.180)(arg min ο=Z 26 解：设z=x+yi,则代入.4y 1)(x .3x 2y x 3z z z z 2
222=++=++=++即，得
27 证明：isinx ;cosx z isinx cosx z -=+=，则令
ΛΛisinx;cosx z isinx cosx z 22-=+=，；，
isinnx cosnx z isinnx cosnx z n n -=+= 而；
，isinx 2z z cosx 2z z =-=+ΛΛ；，isinx 2z z cosx 2z z 2222=-=+
；，isinx 2z z cosx 2z z n n n n =-=+
则)z z z z z (z 2i
1
sinnx sin2x sinx n n 22-++-+-=
+++ΛΛ )
z -z)(11(sin )1sin(sinx ]1)z 1(z 1)z -z(1[i 21n n -++-=
----=nx x n z z )1)(z 1()2)2(cos 2(cos 2sin 2z x n nx nx --+-=
;)
1)(z 1(2)1(sin 2sin 2sin 4z x
n x nx --+=
)z z z z (z 2
1
cosnx cos2x cosx n n 22++++++=
+++ΛΛz )
z -z)(11(cos )1cos(1cosx ]1)z 1(z 1)z -z(1[21n n -++--=
--+-=nx x n z z )1)(z 1()2)2(in 2sin (2sin
2z x n s nx nx --+-=
;)
1)(z 1(2)1(cos 2sin 2sin 4z x
n x nx --+=
cosnx cos2x cosx sinnx sin2x sinx =++++++ΛΛ则
28证明: 时，
当0x ≠0p x p p x n 1-n n
=+++ΛΛ方程
的两边同乘以得n
x -0x p x p x
p x p 1n n n -11-n -2
2-1
1=+++++-ΛΛ
将x=代入上式得，ααisin cos +
+++)]isin(-)[cos(-p 11αα0)]isin(-n )[cos(-n p n =++ααΛΛ.
按照复数相等的条件得++αcos p 110cosn p n =+αΛΛ
.
0n sin p 2sin p sin p n 21=+++αααΛΛ习题二
1解：设这个多项式为)1()(10-+=x a a x f )4)(2)(1(2)(1(32---+--+x x x a x x a ）
. 然后将已知点依次代入：
;10,10)1(00-=∴=-=a a f Θ;9,1)2(110=∴+=-=a a a f Θ ;
14,63101)4(2210=∴++==a a a a f Θ
;2,21812124218)5(33210=∴=+++==a a a a a f Θ
因此，)1(910)(-+-=x x f )4)(2)(1(22)(1(14---+--+x x x x x ） 7523
--=x x 即.32)3(=f
2解：d x c x b x a x x f +-+-+-+-=-)2()2()2()2()2(2
3
4
令2=x 得165=d ;
令0=x 得;8624,165248169=+-+-+-=c b a c b a 即 令1=x 得.119=+-c b a 令3=x 得.269=++c b a 则165,180,75,14====d c b a
即165)2(180)2(75)2(14)2()2(2
3
4
+-+-+-+-=-x x x x x f =.54322
34+-+-x x x x
3解：由于2
2
3
4
1)(m 1)x p(m 2qx 4px 4x 4+++++-成为b ax x 22
++的完全平方式，
则
=++2
2
b)ax x 2(2
2
3
4
1)(m 1)x p(m 2qx 4px 4x 4+++++-
得:;)1(2)1(24444222??????
?=+=++==-b m ab m p b
a q a
p .)1(44;44)1(22p m q b
a q m
b p a =++???
?
???+=+-=-=∴即 4证明: (1))1()1)((-=-x x x F )1x x x x (2
3
4
++++=15
-x
=)1(-x );)()()((4
3
2
λλλλ----x x x x 即: );)()()(()(4
3
2
λλλλ----=x x x x x F
(2) )()()R()Q()P(52
5
5
λλλλλλλS F ?=++,即
.0)(0)1R()1Q()1P(2=?=++λλλS
即: .0)1R()1Q()1P(===
.0)1(,)1()1()1R()1Q()1P(=?=++S S F 得又由 则1-x 是R(x)Q(x),P(x),和S(x)的一个公因式。 5证明:).(,0b a c c b a +-=∴=++Θ
则
=++5c b a 555b a b a b a ab 4233245
55225
b)(a b a ----=+-+;
?++3
c b a 333))((2c b a 22222
22ab b a b a ab ++--=++ =;224
2
3
3
2
4
b a b a b a ab ----
即
=++5c b a 555?++3c b a 333?++2
c b a 2
22 6解: 若有一次因式利用综合除法,可试除的.21±±，
若;20)1(==k f ，则 若;,00)1(不合题意，则==-k f 若;206)2(不合题意，则=≠=k f 若.4
11
0)2(不合题意，则=
=-k f 若有二次因式设其为))((22)(2
2
2
3
4
d cx x b ax x kx kx x x x f ++++=-+--=
=.)()()(2
3
4
bd x bc ad x d b ac x c a x ++++++++
按对应项系数相等得????
???-==+-=++-=+2
21bd k bc ad k d b ac c a
得???????=-=-==1210
d b c a 时;1=k
????
???-==-==1
210
d b c a 时1-=k 。 综上可知当112-=，，k 时22)(2
3
4
-+--=kx kx x x x f 能分解成整系数因式。 7解:(1)法一: 原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一
个二次对称式的因式
=+++444)(y x y x ])([22nxy y x m ++])([22lxy y x k ++
则;1;2====l k n m 444)(y x y x +++=2
22)(2xy y x ++ 法二:2
2
2
2
2
2
22
4
4
4
]2)[(2)()(xy y x y x y x y x y x +++-+=+++ =2
2
2
2
2
2
2
2
22
)(22)(4)(2xy y x y x y x xy y x ++=++++ (2) 2
2
2
2
2
2
2
)1(122)()1(++++=++++x x x x x x x x
2
222)1()1()1(21++=++++=x x x x x x
(3) 原式为对称式,当)(z y x +-=时原式为零,故z y x ++为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设
=++++xyz y x x z z y ))()(((z y x ++))()([222yz xz xy n z y x m +++++]
令120,1,1=+===n m z y x 得,令;131,1,1-=-=-=-=n m z y x 得 则).)((),,(.1,0yz xz xy z y x z y x f n m ++++=∴==
(4) 原式为轮换式,当y x =时原式为零,故))()((x z z y y x ---为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设
=++++xyz y x x z z y ))()((k ))()((x z z y y x ---(z y x ++)
令.2,1260,2,1-=∴-====k k z y x 得
则=++++xyz y x x z z y ))()((-2))()((x z z y y x ---(z y x ++) 8解: （1）))((15x x 6x x 2
2
2
3
4
l nx x k mx x ++++=+-+- =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(2
3
4
比较系数得：????
???=-=+=++-=+15
161kl nk ml l mn k n m ； 设;5,3==l k 则.2,1-==n m
则).52)(3(15x x 6x x 2
2
2
3
4
+-++=+-+-x x x x
（2）=++++21x 29x 20x 7x 2
34))((2
2
l nx x k mx x ++++
=kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(2
34
比较系数得：???
?
???==+=++=+2129207kl nk ml l mn k n m ； 设;7,3==l k 则.5,2==n m
则=++++21x 29x 20x 7x 2
34).75)(32(2
2
++++x x x x
9解：（1））5()3()152)(3(45x 21x x 2
223+-=-+-=+--x x x x x
（2）)6792)(1(6x 13x 2x 72x 2
3234-++-=+--+x x x x
=)2)(12)(3)(1(+-+-x x x x
（3）原式为轮换式,当y x -=时原式为零,故))()((x z z y y x +++为原式的一个因式,.
设=-+++++x yz 4y)z(x z)y(x z)x (y 2
2
2
))()((x z z y y x k +++ 令.10,1,1====k z y x 得
则=-+++++x yz 4y)z(x z)y(x z)x (y 2
2
2
))()((x z z y y x +++ （4）)2)(12]()6)(4[(4x -24)14x 24)(x
11x (x 22
2
+++++=++++x x x x x
=-2
4x 2
42)(12()2)(12)(6)(4(x x x x x x x x -+++++++）
=)2410()2)(12)(6)(4(2
+++++++x x x x x x x =)2415)(6)(4(2
++++x x x x
10解：（1）]6016)[(60164(x 3x -12)10)(x 6)(x 5)(x (x 42
22x x x x +++++=++++）
=-2
3x 2
2
2
2
36016(4)60164(x x x x x x -+++++）
=]6016(2][3)6016[2(x 2
2
x x x x x -+++++）
=）120312)(12035(2x 2
2
++++x x x
)426535(+-
=x )8)(152)(4
265
35(++--x x x （2）7x 44x 27x 2x 2
34+---))((2
2
l nx x k mx x ++++=
=kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(2
3
4
比较系数得：???
?
???=-=+-=++-=+744272kl nk ml l mn k n m ； 设;1,7==l k 则.7,5-==n m
则7x 44x 27x 2x 2
34+---)17)(75(2
2
+-++=x x x x
)2
5
37)2537)(75(2
--+-
++=x x x x （
11解：（1）先用综合除法，试除数可能是，
，，，613221±±
±±经检验只有3
2
-x 是原式的一次因式，令))(3
2(62x 3x 3x 5x 62
3
2
3
4
c bx ax x x +++-=--++展开比较系数得 2
1,23,23===
c b a 则)2
12323)(32(62x 3x 3x 5x 6232
34+++-=--++x x x x
=)2
31)(231)(21)(32
(6i x i x x x ++-++
- （2）6,5,4,3,2,1,0,7
2sin 72cos
),(1x 6
7
=+=-=
-∏=k k i k x x x k k k π
π其中 12解：;11.011;11,
101x x 2
2
33
2
-=+=++===++x x x x x x 则知由
.11
1)1()(x 1x 222432431414-=+=?+?=+x x x x x x
13. 设，c b a 1c 1b 1a 1++=++求证：对于任何奇数k ，均有。k
k k k k k c b a 1c 1b 1a 1++=++ ,
1
c 1b 1,c b a 1c 1b 1a 1a
-+∴++=++Θ证明 )(.)
(a c
b b
c c b c b a a c b c b a ++++++-=+当即
， 即02
=+++bc ac ab a , 则c a b a c a b a -=-==++或即,0))((； 当为奇数时代入时，当k b a -=k c 1c 1b 1a 1k k k =++，而k
c 1
c b a 1k k k =
++ 则
。k
k k k k k c
b a 1
c 1b 1a 1++=++ 当为奇数时代入时，当k c a -=k b 1c 1b 1a 1k k k =++，而k
b
1
c b a 1k k k =++ 则
。
k
k k k k k c b a 1
c 1b 1a 1++=++ 当为奇数时代入时，当k c b -=k a 1c 1b 1a 1k k k =++，而k a
1c b a 1k k k =++ 则
。k k k k k k c
b a 1
c 1b 1a 1++=++ 14证明：c)-(b a 0c b a +=∴=++，Θc);-(b c c),-(a b ,+=+=
则bc c b 2)(b 1a 1c a 1c 1b c 1b 1a +-=+++++）（）（）（ac c a 2)(+-ab
a b 2
)(+-
=abc
b a
c c a b c b a 2
22)()()(+++++-
abc
abc
abc c a ac c b bc a b ab 6)()()(++++++-
=36-=+----
=abc
abc
abc abc abc
15证明：当1=n 时，2
12121111)1)(1(a a 1a a 11S a a a a ++=+++=等式成立。 假设当k n =时成立，即
++++++++
=Λ32121211n k a a a 1)
1)(a (a a a 1a a 11S 1
k 21k 21a a a )1(a 1)1)(a (a ++++ΛΛ =
1
k 211k 21a a a )
1(a 1)1)(a (a +++++ΛΛ
当1+=k n 时
++++++++
=+Λ32121211n 1k a a a 1)
1)(a (a a a 1a a 11S 2
k 211k 21a a a )1(a 1)1)(a (a +++++ΛΛ =
1k 211k 21a a a )1(a 1)1)(a (a +++++ΛΛ
=
2
k 212k 21a a a )
1(a 1)1)(a (a +++++ΛΛ等式成立。
16解; （1）54325
34)2()2()2()2(2-x A 2)-(x 6x 2x x 2-+
-+-+-+=-+-x E
x D x C x B 设 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.22,54,42,15,2=====E D C B A
则.)2(22
)2(54)2(42)2(152-x 22)-(x 6x 2x x 25432534-+-+-+-+=-+-x x x x
（2）2
222221)x (13-x A 1)
x -3)(x -(x 16x 4x 5+-+++-++=++-x E
Dx x x c Bx 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.3,2,2,1,1-=-=-=-==E D C B A
则.1)x (3
2123-x 11)x -3)(x -(x 16x 4x 52
22222+---++---+=++-x x x x x 17解：（1）2
2
2224922298214
+
=+=+=+
（2）4a a 2a 22-+-=???
??
??-≤---+-≥--++-2;2222222;22
22222
222a a a a a a 当当
???????-≤---≥-+=2;2822
2228
2222
2a a a a a a 当当
（3）
-
-2322
3253
2233--
-
10
)
232(56)3223(31)23(2+-+-+=
=0.
+
+3
5
1
-a a )1-a -a ()4(=-+3
5
1
-a a )1-a a (3636)1()1(-++--a a a a
=24)1()1(22
-=-++--a a a a a
18解：（1
）
12
30
42635
321-
+=
=
++ （2）
=
-232
3
=
-+3
3
38
9)
23(2)
8899)(89()8899)(23(23
2
3
3
2
3
3
323323+?+-+?++
=2)8899)(23(323323+?++=2)49233)(23(333+++
19. （1） =
02
642
535
61=+-
--
-
（2） =
13)
72()
57)(3725()
32(1)
35)(5321(=+-+++
+-++
(3)
-+-1
2471
=++1
2471-
+-1
16101
161=-+
(4)
.11555122935=+-=---
20解: =++++++++-1)x
1-x 1x 1-1x -1x -1x 11(21x 2
21)x x 1x -x x 1(21x 2222++++----x x x
=1)1x x 11x x 1(21x 22++++---=.11)1
x x 1212(21x 2
2222x x -=+--+-- 21证明: Θ=
++∴=++==32
223
3
3
cz by ax ,1z
1y 1x 1,cz by ax 3
3
33z
cz y by x ax +
+ =333)1
11(
a x z
y x ax =++ 同理可知=++3222cz by ax ;
3a y =++3
222cz by ax .3a z
则=
++333c b a +
++x cx bx ax 3
2
22+
++y
cx bx ax 3
2
22z
cx bx ax 3
2
22++
=3222cz by ax ++ 22 解: ;471
,71,3x
x 222
12
1=+=+
∴=+-x
x x x Θ 则1(x x (2
12
12
323+-+=+--
x x
x ）.5
23472182
3-2
3
=++=
23 证明：.1,n m n,a m,a 2x
y
y
x
====xyz a z
即Θ
24 证明：x ,log a Θx ,log b 1)x (x log c ≠成等差数列，则=x 2log b +x log a x log c 即
;log log log log log log 2c
c
x x b x a a a a a a +=
则)log log (log log log log 2c x x b c x a a a a a a ?+=?。即.(ac)
c b
log 2
a =
25证明：=??x
log x log x log x log abc c b a =??x
x abc log log x
log x log x log a c b a abc x x a c b log log log ??
=)log log (log log log c b a x x a a a c b ++??
+?=x x c b log log +?x log x log b a .x log x log a c ?
26 解：016)(,)(41lg,lga b (a 21
lg 222=+-=-∴+=??
????-b
a
b a ab b a 则）Θ 解之得
223±=b
a ，又由于1,>>
b a b a 则,故223+=b a
.
27证明:要证成等差数列，
，，2C ctg 2B ctg 2A ctg
即证2222C
ctg A ctg B ctg += 即证
=2sin 2cos 2B B +2sin 2cos A A =2sin 2cos C C 2sin 2sin )22sin(C A C A += =2sin 2sin 2cos
C A B 即证2sin 2sin 22sin C A B ==2cos 2cos 2cos =+--C A C A 2sin 2B
C A --
即证2sin 2B =cos .2
C
A -(1)
而则成等差数列由于.sinC sinB,sinA,.sin sin sin 2C A B +=
即=-+=2cos 2sin 22cos 2sin
4C A C A B B .2cos 2cos 2C A B - 则2sin 2B =cos .2
C
A -即（1）式成立。命题成立。
28. (1) =72cos 7cos 0cos ππ++)73-cos(73cos πππ++)7
-cos()72-cos(π
πππ++=1
(2) =
）（ο1tg 1+）（ο2tg 1+）（ο
3tg 1+)]145(tg 1[οοΛ-+ =）（ο
1tg 1+）（ο
2tg 1+
（ο
3tg 1+ =2
）（ο2tg 1+）（ο3tg 1+1(Λ+ (3) =++2)240cos 1(
ο++2
)280cos 1(ο++2)2120cos 1(ο2)2160cos 1(ο+ =+++
++++2
80cos 1)160cos 120cos 80cos 40(cos 24[41οο
οοο
2
160cos 1ο++++2240cos 1ο]2320cos 1ο
+ =++
++++2
80cos )160cos 120cos 80cos 40(cos 26[41οο
οοο 2160cos ο++2240cos ο]2
320cos ο
=]40cos 2120cos 80cos )20cos 2180cos 40(cos 412[81οοοοο
ο+--+--
++
=]2
5)20cos 80cos 40(cos 512[81--++ο
οο
=16
19
)20cos 20cos 2120cos 2(8516523=-+-οοο。
(4) =2
1[οο40cos cos120++++ο
ο80cos cos240]20cos1cos200οο+ =
21[-+οο40cos cos60--+ο
ο80cos cos60]0cos6cos20οο- =)20cos 80cos 40cos (-3cos602
1ο
οοο-++
=)20cos 80cos 40(cos 2
143ο
οο-++-
=.4
3
)20cos 20cos 2120cos
2(2143-=-+-οοο 29证明：.0sin sin sin cos cos cos =++=++γβαγβαΘ .0)sin sin sin (cos cos cos =+++++∴γβαγβαi 即+α
i e +βi e 0=γi e
则+α
i e (=3)βi e 即,)(3γi e -i i i i i e e e e e γββαβαα33)2()2(333-=+++++
则=++i i i
e e e
γβα333i i i i e e e e )()(3)(3γβαβαβα+++-=+-
由复数相等的性质可得);cos(3cos3cos3cos3γβαγβα++=++ ).sin(3sin3sin3sin3γβαγβα++=++ 30证明：，π=++arctgz arctgy arctgx Θ arctgz -=+∴πarctgy arctgx 即)(arctgy)arctgx (arctgz tg tg -=+π,则z z
z
xy y x -=?+-=-+0101
即证得xyz.z y x =++
31．（1）x 1x 1argtg
argtgx +-+(1x ≠); (2) ).32(cos )3
1
arctg 2sin(arctag + 解：（1）111111)x 1x 1argtg
tg(argtgx =+--+-+
=+-+x
x x
x x x ，则.43-4x 1x 1argtg argtgx ππ或=+-+ （2）2)32(cos )31arctg 2sin(=+arctag )32(cos )3
1
cos()31sin(arctg arctag arctg +
=
13
13
53+
32证明：(1) +=+)17
8cos(arcsin )53sin(arcsin )178arcsin 5
3sin(arcsin )178sin(arcsin )53cos(arcsin =8577
178********=
?+? 又由于,353arcsin 6ππ<<,6178arcsin 0π<<
则.2178arcsin 53arcsin 6ππ<+< 又，所以28577arcsin 6ππ<<.85
77arcsin 178arcsin 53arcsin =+ (2) -=+)1312
cos(arccos )54cos(arccos )1312arccos 54cos(arccos
)1312sin(arccos )54sin(arccos =.65
33
135********=?-?
又由于,354arccos 6ππ<<,61312arccos 0π<<
则.21312arccos 54arccos 6ππ<+< 又，所以26533arccos 6ππ<<.65
33cos 1312cos 54cos arc arc arc =+ (3)
10115121)51ctg 21tg (-+=+ar arc tg .97811811)81=+-
=
-arctg 又由于,4210π<则,251210π
<+又.28140ππ<-81arctg 51ctg 21tg π=++ar arc 所以
（4）.11
)4-tg (n m n m n
m n m n m arc tg +-=+
-=π而.)tg(n m n
m n m n m arctg +-=+- 当时n m ≥由于,4
40π
π<-≤n m arctg
又.40π<+-≤n m n m arctg
所以;)n (m,4
n m n -m ctg n m tg 同号π
=+-ar arc （5）++=+-)3
21
6cos(arccos )32cos(arccos )3216arccos 3
2cos(arccos
)3
21
6sin(arccos
)3
2sin(arccos +=.23
由于2
3
216arccos
3
2arccos
0π
<
+-<,又2
6
0π
π
<
<
.
则
.21312arccos 54arccos 6ππ
<+<所以;63
216cos 32cos π
=+-arc arc (6) .34
5
354
)5
4sin (==arc tg
而3
4)
3
1
2(1)3
1
2cot()3122tg(
=
==-arctg tg arctg arctg π
又由于,254arcsin
0π<<而,231220ππ<-31tg 254sin π
=+arc arc
习题三
1解：（1
）由2
AE AB AE AD =?=得.2)(22
r
x r AE r -=- 则)20.(2422
r x r x x r x AB CD y <<-+=++= (2) .5.5)(1
24max 22r y r x r r x r
r x x r y ==+--=-+=时，当 2证明：（1）令时，0n m ==).0()0()0(f f f =即或者0f(0)=1;f(0)=
当时0f(0)=0)0()()(==f m f m f ，又当时0m ≠f(0).f(m)≠则 1.f(0)=
（2）时，
，当0n n m >-=即,1)()()(=-=+-n f n f n n f )
(1
)(n f n f -= 则)(1)(x f x f -=
；又当，则时1
f(x ),0x >>1)
(1
>-x f ，即1)(0<-由此得;0;1)(001)(0;1)(??
?
??<<<==>>x x f x x f x x f ； 则对于任意.0f(x )R,x >∈均有
3答：（1）是；（2）不是
4解：（1）由}45,088|{01||8
0||0
54≠≠≤≤-???
?
???
≥-≠≠-x x x x x x x 且得：.
(2) 由}132|{1
120120
23≠>??
?
??≠->->-x x x x x x 且得：
(3) 由].1,22()22,1[001log 0
)1(log log 222225.0?--∈??
?
?
?>>+≥+x x x x 得： (4) 由}.8log 25|{0)39lg(0390
|2|73≠<≤-??
???≠->-≥--x x x x x x
且得：
(5) |{0)
3
1
(11
2≥≥--x x x 得：由(6) 由.)25,1[0
0250
lg ∈??
?
??>>-≥x x x x 得：
(7) }.12
1
|{1212
≤≤-
≤-≤-x x x x 得：由 (8) 由]2,51
(0
15111∈??
?>-≤-≤-x x x 得：
(9) 由}2,1,0,22|{0
sin 101sin Λ±±=+=??
?≥-≥-k k x x x x ππ
得：
（10）由得：
03cos >x }2,1,0,3
26326|{Λ±±=+<<+
-k k x k x π
πππ
5. (1)解：}.121211|{4112≤≤-≤≤-≤≤x x x x
或得：由
(2)解：}.40|{22≤≤≤≤-x x x 得：由
(3) 解：}.1010|{3lg 2
1
3≤≤≤≤x x x 得：由
