一维离散小波变换在信号降噪中的应用—张凯

学士学位论文

一维离散小波变换在信号降噪中的应用

学院、专业物理与电子信息学院

通信工程

研究方向信号降噪和仿真实现

学生姓名

学号

指导教师姓名李素文

指导教师职称教授

2015年3 月20 日

一维离散小波变换在信号降噪中的应用

张凯

淮北师范大学物理与电子信息学院 235000

摘要：本篇论文主要开展的是对一维离散小波变换在信号降噪中的应用研究。首先简单的叙述了小波变换，其中简要说明傅里叶变换和小波变换的定义，概述了多分辨率分析以及介绍了三种常用的小波函数；然后进一步介绍了一维离散小波降噪的原理和方法；再利用不同的小波基对含有相同噪声的信号进行小波分解，通过随机列举两个不同的小波基对含有相同噪声的不同信号进行去噪，通过MATLAB仿真，得出滤波后的信号，并且通过对滤波前与滤波后的信号进行直观比较与参数分析。仿真结果表明：对相同的噪声信号的去噪处理不同的小波基可以有不同的去噪效果。因此小波基的选取要结合信号特点、统计特性等来确定。关键词：一维离散小波变换；信号降噪；小波基；小波分解；MATLAB

The application of one-dimensional discrete wavelet

transform in signal denoising

Zhangkai

School of Physics and Electronic Information, Huaibei Normal University, 235000 Abstract:This article mainly carries out the study on application of one-dimensional discrete wavelet transform in signal de-noising. Firstly wavelet de-noising introduced simply, and also the background of wavelet transform and definition of continuous wavelet transform, orthogonal wavelet transform and discrete wavelet transform are illustrated; next it jumps to the discussion of the principle and method of wavelet de-noising which uses different wavelet based on the signal with the same noise by wavelet decomposition, and then, two different wavelet bases are listed at random which are used to de-noise different signals containing the same noise through MATLAB simulation, the filtered signals, and finally the signals are compared directly and parameters are analyzed before and after filtering. The simulation results show that:different wavelet bases which are applied to the same noisy signal de-noising can

have different de-noising effects. Therefore, the selection of wavelet basis should be determined according to the signal characteristics, statistic characteristics and so on.

Keywords:One-dimensional discrete wavelet transform；Signal de-noising；Wavelet；Wavelet decomposition；MATLAB

目次

1.引言 (2)

2.小波变换 (3)

2.1 傅里叶变换 (3)

2.2 小波变换定义 (4)

2.3 多分辨率分析 (5)

2.4 常用小波函数 (6)

3. 一维离散小波降噪原理和方法 (8)

3.1 小波理论 (8)

3.2 信号降噪原理 (8)

3.3 小波去噪方法 (9)

4.MATLAB仿真实例 (10)

4.1 MATLAB工具简介 (10)

4.2 MATLAB实现信号去噪的仿真程序 (11)

4.3 MATLAB仿真分析 (18)

结语 (20)

参考文献 (21)

致谢 (22)

1.引言

人们获得消息根本途径依赖于信号，而且人们在提取使用有效信息的时候也主要决定于信号的质量。然而由于某些外在条件的影响，使得信号在获取与传输之间产生了一些噪声，所以在分析与使用信号之前，对污染了噪声的信号进行降噪的重要性尤为凸显。

在日常生活与学习生活中，我们每时每刻都在与信号打交道。一般来说，由于噪声污染，我们很难能得到纯洁的信号，所以必须要把染噪信号中的信号与噪声分离开。小波变换在空间频率上进行有限分析，主要就是采取平移以及伸缩变化的一种方式，逐渐的对信号函数进行标准细化，以至于达到高频与低频上的频率细分[]1。

本文分为以下三个部分，首先论述小波变换，其中简要的概述傅里叶变换和小波变换的定义，叙述了多分辨率分析以及介绍了三种常见的小波函数；其次主要介绍小波理论以及信号降噪的基本原理和一维离散小波去噪的基本方法；最后利用MATLAB仿真对小波变换对信号去噪，通过MATLAB仿真，得出滤波后的信号，结合对滤波前前后后的信号进行类比分析仿真结果表明：不同的小波基对于同一含噪信号去噪会有不同的去噪效果。

2.小波变换

2.1 傅里叶变换

基于傅立叶分析的时域信号的引入，Gabor 等人提出的短时傅立叶分析在许多

应用中，有许多缺点。正是基于小波分析理论与信号的时频分析能力的多分辨率分析和定位的特点，所以小波分析凭借着自身的特点，在社会的各个领域有着广泛的应用。

傅里叶的定义如下：如果)()(R L t f ∈，则：

dt t f w f e

jwt

-+∞

∞

-?=

)()( （2-1）

由上式傅里叶变换)(w f ，则傅里叶反变换的时域信号f(t)为

dw w f t f e

jwt

)(21

)(?+∞

∞

-=

π

（2-2） 由上述两公式得到：

dxdy y x f v u F e

y x jw ??+∞∞-+∞

∞

-+-=)

(),(),(

（2-3） 其反变换为

dudv v u f y x f e

y x jw ?

?+∞∞-+∞

∞

-+=)

(),(),( (2-4)

虽然傅里叶变换表面上把时间域和频率域相互转化，但是傅里叶变换没有真正的将时间域和频率域有机的结合起来。傅里叶变换就是在时域上分析信号全部的频谱信息，所以这就只适合平稳信号的分析，而不能对信号的局部特征进行分析，所以傅里叶变换在某些工程领域当中的应用与实行就不能高效有序的执行了

[]

2。

傅立叶变换的中心构思就是说：将一个光滑的窗函数，它是在一个有限的时间间隔内很快趋近零，随着时间窗的移动，用傅里叶频谱分析的时间信息的变换，以实现信号分析中的定位[]

3。 短时傅里叶转换过程表达式如下：

>=<-=?-)().()()(),('

.t g t f dt e b t g t f b w b w R

jwt f

G （2-5）

傅里叶逆变换短时间的表达式如下：

db e b w G b t g t f jwt

R

f

-?-=

),()(21)(π （2-6）

依据以上公式可知，慢慢地跟着b 的变化，时间窗函数g(t-b)在时间轴上移动，所以f(t)被分割成一小段并且被进一步研究。

2.2 小波变换定义

小波变换的定义式如下：

dt t t f WT f ??

?

??-=

?

∞

+∞

-ατψα

τα*)(1

),( 0>α （2-7）

在频率域中的小波变换又可以有如下表达：

()dw e w w F WT jwt

f αψπ

ατα?=

.)(2),( 0>α （2-8） 为了让学习者更加客观简洁明了的理解小波变换，所以小波变换通常被比喻为：接受分析的目标信号)(x f 被镜头观测，)(x ψ代表镜头所以的作用，τ等价于镜头相对于镜头目标移动的平行距离，α的主要行使的功能就是把镜头向目标接近或者向目标背离[]

4。

2.2.1 一维连续小波变换

设)()()(1

2

R L R L t ?∈ψ，并且0)0(=∧

ψ，令

)0,,(),(

1)(,≠∈-=

a R

b a a

b

t a

t b a ψψ

上式子中，a 是因子的延伸，b 是因子的转移，称)

(,t b a ψ为连续小波，称ψ为基本

小波或者母小波。

设

)(2

R L f ∈，有以下定义：

)(

)(1),(a

b

t t f a

b a W f -=

?

∞

+∞

-ψ （2-9）

上述表达式就是连续小波变换，其中，)(

a b

t -ψ为

)(

a b t -ψ的共轭函数。

2.2.2 一维离散小波变换 定义如下的离散小波变换：

Z

k j kb t a a t j j

jk ∈-=,),()(0020

ψψ （2-10）

其中

,

0,000>>b a Z 表示全体整数所构成的集合。

设

)(2

R L f ∈，)(t ψ是一个基本小波，令： Z

k j dt t t f k j C jk f ∈=?+∞

∞

-,,)()(),(ψ （2-11）

称

)

,(k j C f 为)(t f 的离散小波变换。

2.2.3 正交小波变换

如果)()(2R L t ∈ψ为一个被允许的小波，假设此小波二进制延伸转移序列表达式

为

Z

k j k j j

k j ∈-=--,),2(22

,ψψ （2-12）

其离散小波变换

)(),(,),(t t f W T k j k j ψ= （2-13）

为正交小波变换。

2.3 多分辨率分析

在小波分析中，多分辨率分析是利用不同尺度的正交小波基对信号)(t f 进行分

解，由于信号)(t f 被分解到正交的不同频段上面，所以才能够获取到信号的一些

相关信息。

为了更好有效的促成空间)(2R L 中的小波多分辨率分析，必须组建一个满足以

下标准的一个子空间序列

{}z j V j

∈,[]5

。

（1）逼近性，{}0=?∈j z

j V ，

（2）伸缩性，,)2(,)(1+∈∈j j V t f V t f

（3）单调性，,,1+?∈?j j j V V z

（4）平移不变性，(),2

2,2

2j j j j j j k V k V z ∈-?∈??

? ???∈?--φφ （5）Riesz 基存在性，???

???∈??? ?

?-?∈?-z k V t j 202)(φφ构成j V 的Riesz 基。

规定函数)(t φ为函数尺度中的规范化，满足)()(2R L t ∈φ，若)()(k t t k -=φφ满足式：.).(),(kk k k k t t δφφ=- （2-14） 随着函数尺度规范化)(t φ的不断地平移转化，其间又被尺度延伸和缩短，所以就重新获得了一个新的函数集：

)2

()2

(2

2

2

2

,t k t j

k j

j

k j ---=-=φφφ （2-15）

2.4 常用小波函数

与传统Fourier 变换相比较，小波变换不是固定模式中一成不变的，与之恰恰相反的它是千变万化的

[]

6。所以在实际工程应用的众多问题当中，小波基的筛选

与选用问题毫无可疑的就成为了一个炙手可热的问题。参数不同，就会有新的结果，随之就会有不同的现象，就此原因分析，要掌握几种常见的小波基性质，然后再与实际问题进行有效紧密的联系，过滤出符合标准的最合适有效的小波基。常用的小波基正如以下所示： （1）Daubechies(dbN )小波

Daubechies 小波一般写为dbN ，N 为小波阶数。

令

k

n K k N K y

C y P ∑-=+-=1

1)(，其中，k

N k C +-1为二项式系数，则

?

?? ????? ??

=2sin 2cos )(222

0w P w w m N

（2-16）

式中

?

?? ????? ??

=2sin 2cos )(222

0w P w w m N

。 Daubechies 小波具有以下几个特点[]

7：

<1>函数具有正交性；

<2>小波函数)(t ψ和尺度函数)(t φ的规范标准条件为2N-1,N 通常表示为消失矩阶数；

<3>小波函数的正则性随着支基长度的增加而增加。

（2）Symlet(SymN)小波

db 函数逐渐演变为Symlet 小波函数，Symlet 小波系一般表示为SymN ()N N ,......,2=。

（3）Biorthogonal(biorNr.Nd )小波

为了使读者更好的研究分析处理对称性和信号不相容性的问题，双正交小波变换就被以下使用了进来。

令信号)(t f ，在分解中用小波)(t ψ

?=dt t t f C k j )()(,ψ （2-17）

重构时用小波)(t ψ

)()(,,,t C t f k j k

j k j ψ∑= （2-18）

线性相位性为Biorthogonal 函数系主要特点，应用的重点主要就是用于信号的重构。

3. 一维离散小波降噪原理和方法

3.1 小波理论

各种有效的信息都可以通过小波变换提取出来，而Fourier 变换却不能够将有效的信息高效率的提取与使用。小波变换在信号处理领域具有优越性主要表现在如下几种特性[]

8。

(1)边缘检测性:被小波变换后的能量信号的小波系数，要满足一定的条件，为了能够达到信号降噪和保留信号边缘信息的目的，就一定要在信号降噪的同时将边缘小波系数完整不留的保留下来；

(2)多分辨率分析:传统的短傅立叶变换在时间和频率上想办法测试信号的小波分析的精度，可以选择按要求的时间或频率的精度，得到不同尺度下的信号特征； (3)小波系数的传播性:如果一个一定规模的大尺度的小波系数，所以下一个更精细的尺度的小波系数在这个位置是更大的，这个属性对小波系数的尺度提供了依据；

(4)小波系数的聚集性:某个位置周围系数的幅值随着小波系数的幅值增大而增大。

3.2 信号降噪原理

信号被高斯白噪声污染可以定义为：

),......,1(n i Z S Y i i i =+=σ

（3-1） 其中i Y 是受到高斯白噪声污染的信号，i S 是纯净的原信号， 是噪声水平，而i Z

为含噪信号，此时受到污染的信号i Y

多为高频信号。

为了从含噪信号中提提取原信号的有效信号，我们可以依据信号和噪声在小波变换下噪声具有不同的特征和性质这一原理，得到小波分解后的一系列系数，对这一系列系数加以处理，噪声和信号就会分离。

一般情况下，含噪信号为高频信号。可以对含噪信号进行如下所示的小波分解：

12331

2211D D D A D D A D A S +++=++=+= （3-2） 其中：D 为分解后信号高频分量，A 为分解后信号低频分量。

图1 小波分解图

首先，我们把原始信号S 通过两个滤波器，这里的两个滤波器并不是实现的简单的滤波功能，这是两个互补的滤波器，经过滤波器后会产生信号的高频分量D 和低频分量A 便会被分开。通常情况下，低频分量是最重要的，可以大概体现信号的特征。而噪声都会分布在高频分量CD 中，这些高频信号分量也称作细节部分。小波分解图如图1所示。

3.3 小波去噪方法

一维离散小波去噪基本原理如下：基于正交变换的白噪声仍然是白噪声，并且和振幅保持不变[]

9。(1)将初始图像通过小波转换达到分解的效果；(2)对分解后的图像信号进行去除噪声；(3)再由一维小波转换将分解信号进行重新组合构造，还原出初始图像。对含噪的一维信号进行如下假设：

),......,0)(()()(n t

t ae t s k g =+= (3-3)

其中：g(k)为带噪信号；是s(t)为目标信号；a 为对应噪声系数的标准差；e(t)为噪声信号。 图2 信号降噪算法流程图

4.MATLAB仿真实例

4.1 MATLAB工具简介

MATLAB又名矩阵实验室，是由美国一家知名公司最先研发与推广的，是目前国际上最受欢迎的，同时也使应用最广泛和普遍的科学实验工具软件。MATLAB矩阵+实验室，也被称为“矩阵实验室”，其主要功能是矩阵的快速计算[]10。

在小波去噪时，编程者便可以使用此种工具，使用者可以选择去噪函数集合方式去处理小波去噪时所需要的功能；如果使用该方法的用户不熟悉或不习惯使用，小波包还为用户提供了一个简单而直观的图形界面。本文写作的任务就是：验证同一个混和有噪声的信号，我们使用参数不同的小波基对混有噪声的信号进行除噪会有不同明显的降噪现象，验证此目的使用的工具就是使用MATLAB工具箱对其进行仿真实验。

4.1.1 MATLAB工具箱

MATLAB具有以下主要的工具箱：

（1）控制系统工具箱：其主要的作用是在系统设计和系统图形仿真模拟方面，对微分、积分方程的分解与求值，根轨迹图形的描绘与分析，系统增益计算和极点的分布分析，频响特性曲线的描绘等。

（2）信号处理工具箱：主要用于模拟和数字有缘滤波器构造，应用和仿真，参数化模型，时域频域谱分析和估值，快速傅里叶转换等。

（3）神经网络工具箱：大部分用于BP网络的设计与程序编写，径向函数模型建立和分析，S型传递函数的递归、前馈等网络型结构的功能和特性的分析。

（4）图像处理工具：是处理图像分辨力和清晰度的首选工具箱，还用于对滤波器的构造，二维图像的转换，图形的合成和处理等。

（5）统计工具箱:其作用是对统计数据的推理统计、运算、估值，概率密度分布图的检测，条件假设的成立判断。

（6）符号工具箱：关于一般公式中的各类计算符号，逻辑电路中的逻辑符号，关系符号，等各类方程中所用到的一些其他的符号。

4.1.2 MATLAB功能和特点

信号系统的优化和分析处理，多媒体技术等融于一体，并在Windows的界面上也能进行操作的软件工具。它的功能有以下几点。

1.功能强大

（1）运算功能强大：MATLAB是一个复杂的编写程序的机器语言，它是以数值矩阵组合起来的程序编写方法，其强大的运算能力，使它变成了一个当今顶级的数学应用软件。MATLAB在进行一般的数学运算时都是以单个矩阵为其变量的，其m 个元素，矩阵中的相应元素可被看作是复数，在运算的时候各种运算符中有n

号都会对复数和矩阵有作用；

（2）功能丰富的工具箱；

（3）文字处理功能强大：MATLAB可通过笔记本功能编辑MATLAB的各种算法和程序文档。

2. 强大而智能化的作图功能

MATLAB能够很容易的进行工程中计算的解可视化，能够让我们对初始数据更加清晰的了解，同时也会使得数据间的关系更加明了。MATLAB可以根据用户输入到系统的初始数据而能够自动生成最加的坐标，同时也会生成用户所需要的坐标系，并且可以绘制三出在维坐标中的曲面和曲线。

3. Simulink动态仿真功能

MATLAB中的Simulink模块可以进行仿真操作，在设定的框图中可以实现各种算法和程序的仿真动态图形，是MATLAB在工程运用中最重要的一种功能，各大领域都需要用到这一功能。

4.2 MATLAB实现信号去噪的仿真程序

为了验证不同小波对于含有相同噪声的不同信号的去噪效果，我们给出了如下程序：

（1）用sym3小波对信号s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t)进行去噪时

%给定一个信号并图示之

t=0:1000;

s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t);

subplot(3,1,1);

plot(s);

axis([0 1000 -1 1]);

title('原始信号s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t)');

%=============================;

%给该信号加噪声

M=1001;

vn=0.1*randn(1,M);

ns=vn+s;

subplot(3,1,2);

plot(ns);

axis([0 1000 -1 1]);

title('染噪信号');

%=============================

%进行消噪处理

xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',3,'sym3');

subplot(3,1,3);

plot(xd);

axis([0 1000 -1 1]);

title('sym3消噪信号');

%给定一个信号并图示之

t=0:1000;

s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t);

subplot(3,1,1);

plot(s);

axis([0 1000 -1 1]);

title('原始信号s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t)'); %=============================;

%给该信号加噪声

M=1001;

vn=0.1*randn(1,M);

ns=vn+s;

subplot(3,1,2);

plot(ns);

axis([0 1000 -1 1]);

title('染噪信号');

%=============================

%进行消噪处理

xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',3,'db1'); subplot(3,1,3);

plot(xd);

axis([0 1000 -1 1]);

title('db1消噪信号');

%给定一个信号并图示之

t=0:1000;

s=cos(0.03*t).*cos(0.05*t);

subplot(3,1,1);

plot(s);

axis([0 1000 -1 1]);

title('原始信号s=cos(0.03*t).*cos(0.05*t)'); %=============================;

%给该信号加噪声

M=1001;

vn=0.1*randn(1,M);

ns=vn+s;

subplot(3,1,2);

plot(ns);

axis([0 1000 -1 1]);

title('染噪信号');

%=============================

%进行消噪处理

xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',3,'sym3'); subplot(3,1,3);

plot(xd);

axis([0 1000 -1 1]);

title('sym3消噪信号');

%给定一个信号并图示之

t=0:1000;

s=cos(0.03*t).*cos(0.05*t);

subplot(3,1,1);

plot(s);

axis([0 1000 -1 1]);

title('原始信号s=cos(0.03*t).*cos(0.05*t)'); %=============================;

%给该信号加噪声

M=1001;

vn=0.1*randn(1,M);

ns=vn+s;

subplot(3,1,2);

plot(ns);

axis([0 1000 -1 1]);

title('染噪信号');

%=============================

%进行消噪处理

xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',3,'db1'); subplot(3,1,3);

plot(xd);

axis([0 1000 -1 1]);

title('db1消噪信号');

仿真图依次分别如下:

01002003004005006007008009001000

-10

1原始信号s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t)

01002003004005006007008009001000

-10

1染噪信号

01002003004005006007008009001000

-1

1sym3消噪信号

01002003004005006007008009001000

-10

1原始信号s=sin(0.03*t).*sin(0.05*t)

01002003004005006007008009001000

-10

1染噪信号

01002003004005006007008009001000

-1

1db1消噪信号