人教版平行四边形单元 易错题难题测试综合卷检测试题

一、选择题

1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=?，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=?；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①③④

2．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=?，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；

③75DCP ∠=?；④150CPA ∠=?，其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．①②③

C ．①②④

D ．①②③④

3．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S

S .=⑤其

中正确的是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．②④⑤

D ．①③⑤

4．如图，90MON ∠=?边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）

A ．2.4

B ．5

C ．31+

D ．52

5．如图，在矩形ABCD 中，1,2

AD AC AE =平分BAD ∠交CD 于点E ，给出以下结论：①ADE ?为等腰直角三角形；②BOC ?为等边三角形；③70DOE ?∠=；④3;EOC EAC ∠=∠⑤OE 是ACD ?的中位线．其中正确的结论有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

6．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，连接AM 、EM 、CM ，延长EM 交AB 于点F ，若AM =EM ，30E ∠=?，则下列结论：①MF ME =；②BF

DE =；③MC EF ⊥；④2BF MD BC +=，其中正确的

结论序号是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④

7．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的

边长为1，1160B C O ?∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )

A ．331(3,)26++

B ．333(3,)218++

C ．331(3,)26++

D ．333(3,)218

++ 8．如图，正方形ABCD （四边相等、四内角相等）中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则EF 的平方为（ ）

A ．2

B ．125

C ．3

D ．4

9．如图，90MON ∠=?，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）

A ．222-

B ．222+

C ．252-

D ．22+

10．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=?时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=?时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（ ）

A ．①③

B ．②④

C ．①③④

D ．②③④

二、填空题

11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．

12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______

13．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=?==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．

14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ?∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．

15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③

ABCD 19

CEF S S ?=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．

16．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．

17．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______

18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=?，45ABC ∠=?，22BC =，则

DF =_________．

19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．

20．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．

三、解答题

21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ?沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．

（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．

（2）设()01AB m m AD

=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．

②若AE n AD

=，用等式表示m n ，的关系． 22．如图1，ABC ?是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．

（1）求证：ABD FBC ???；

（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．

23．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：

（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；

（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．

24．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中

点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE的长为多少时，四边形CEDF是矩形；

②当AE cm时，四边形CEDF是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．

25．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

26．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

27．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．

①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；

②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．

28．如图，ABC ADC ???，90,ABC ADC AB BC ?

∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .

（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；

（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.

29．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90?得到点B ,连接AB .

(1)求出直线BC 的解析式；

(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.

(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.

30．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．

（1）求证：AG AE =

（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM

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一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．

【详解】

解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°

∴△ABD，△BCD为等边三角形，

∴∠A=∠BDC=60°，

∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，

∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，

∴△ABE≌△BFD，

∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，

∴∠BED+∠BFD=180°，

故①正确，③错误；

∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，

∴∠EBF=60°，

故②正确

∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，

∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．

∵∠EBF=60°，BE=BF，

∴△BEF是等边三角形，

∴EF=BE，

∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，

∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，

∴EB=

∴△DEF的周长最小值为4+

故④正确，

综上所述：①②④说法正确，

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．

2．C

解析：C

【分析】

如图，设DE 交AP 于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；

【详解】

解：如图，设DE 交AP 于O.

∵四边形ABCD 是菱形

∴DA=DC=AB

∵A.P 关于DE 对称，

∴DE ⊥AP ，OA=OP

∴DA=DP

∴DP=CD ，故①正确

∵AE=EB ，AO=OP

∴OE//PB ，

∴PB ⊥PA

∴∠APB=90°

∴2222PA PB AB CD +==，故②正确

若∠DCP=75°，则∠CDP=30°

∵LADC=60°

∴DP 平分∠ADC ，显然不符合题意，故③错误；

∵∠ADC=60°，DA=DP=DC

∴∠DAP=∠DPA ，∠DCP=∠DPC ，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确. 故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根

据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF S

S <．

【详解】

在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，

BAE BAF 90∠∠∴+=，

BAE DAF ∠∠∴=，

BE DP ⊥，

ABE BPE 90∠∠∴+=，

又

ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，

ABE ADF ∠∠∴=，

在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB AD

ABE ADF ∠=∠??=??∠=∠?

， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；

AE AF ∴=，BE DF =，

AEF ∴是等腰直角三角形，

过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，

点P 是AB 的中点，

AP BP ∴=，

在APM 和BPE 中，

90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠??∠=∠=??=?

，

APM ∴≌()BPE AAS ，

BE AM ∴=，EP MP =，

PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；

BE DF =，FM AM BE ==，

AM DF ∴=，

又

ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，

DAM CDF ∠∠∴=，

在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =??∠=∠??=?

，

ADM ∴≌()DCF SAS ，

CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确； 在Rt CDF 中，CD CF >，

BC CD =，

CF BC ∴≠，

BCF ∴不是等边三角形，故③错误；

CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，

又AM DF =，

APF CDF S S ∴<，故⑤错误；

综上所述，正确的有①②④，

故选B ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．

4．C

解析：C

【解析】

【分析】

如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值．

【详解】

解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．

∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，

∵点D 是AB 边中点，

∴BD=12

AB=1， ∴22BC BD -2221-33

连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，

当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ，

由（1）得，3

又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，

∴OD=12

AB=1， ∴3OC 的最大值为3

故选：C ．

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．

5．B

解析：B

【分析】

由矩形的性质可得AO ＝CO ＝DO ＝BO ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠DCB ＝∠CDA ＝90°，AD ∥BC ，AB ∥CD ，由角平分线的性质和平行线的性质可判断①，由锐角三角函数可求∠ACD ＝30°，即可判断②，由三角形内角和定理可求∠DOE 的度数，即可判断③④，由直角三角形的性质可求CE 的长，即可判断⑤．

【详解】

∵四边形ABCD 是矩形

∴AO ＝CO ＝DO ＝BO ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠DCB ＝∠CDA ＝90°，AD ∥BC ，AB ∥CD ∵AE 平分∠BAD

∴∠DAE ＝∠EAB ＝45°

∵AB ∥CD

∴∠DEA ＝∠EAB ＝45°

∴∠DEA ＝∠DAE ＝45°

∴AD ＝DE ，且∠ADE ＝90°

∴△ADE 是等腰直角三角形

故①正确

∵AD ＝

12

AC ，∠ADC ＝90° ∴∠ACD ＝30°

∴∠OCB ＝60°，且OB ＝OC ∴△OBC 是等边三角形

故②正确

∵△OBC 是等边三角形

∴OB ＝OC ＝BC

∴OD ＝OA ＝AD ＝OC ＝OB

∴∠ODA ＝∠OAD ＝∠DOA ＝60°，∠OCD ＝∠ODC ＝30°，且OD ＝DE

∴∠DOE ＝

280013?-?=75° 故③错误

∵∠EAC ＝∠OAD?∠DAE ＝15°，∠EOC ＝∠DOC?∠DOE ＝180°?∠DOA?75°＝120°?75°＝45° ∴∠EOC ＝3∠EAC

故④正确

∵∠ACD ＝30°，

∴AD=

12AC ，AC=2AD

∴，且DE ＝DO ＝AD ∴CE

∴OE 不是△ACD 的中位线,

故⑤错误

故选：B ．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ACD ＝30°是本题的关键．

6．A

解析：A

【分析】

①证明△AFM 是等边三角形，可判断； ②③证明△CBF ≌△CDE （ASA ），可作判断； ④设MN=x ，分别表示BF 、MD 、BC 的长，可作判断．

【详解】

解：①∵AM=EM ，∠AEM=30°， ∴∠MAE=∠AEM=30°，

∴∠AMF=∠MAE+∠AEM=60°，

∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠FAD=90°，

∴∠FAM=90°-30°=60°，

∴△AFM 是等边三角形，

∴FM=AM=EM ， 故①正确；

②连接CE 、CF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADB=∠CDM ，AD=CD ，

在△ADM 和△CDM 中，

∵ AD CD ADM CDM DM DM ??∠∠???

＝＝＝，

∴△ADM ≌△CDM （SAS ）， ∴AM=CM ，

∴FM=EM=CM ， ∴∠MFC=∠MCF ，∠MEC=∠ECM ，

∵∠ECF+∠CFE+∠FEC=180°， ∴∠ECF=90°，

∵∠BCD=90°， ∴∠DCE=∠BCF ，

在△CBF 和△CDE 中，

∵ 90CBF CDE BC CD BCF DCE ∠∠?????∠∠?

＝＝＝＝，

∴△CBF ≌△CDE （ASA ）， ∴BF=DE ； 故②正确；

③∵△CBF ≌△CDE ， ∴CF=CE ， ∵FM=EM ， ∴CM ⊥EF ， 故③正确；

④过M 作MN ⊥AD 于N ， 设MN=x ，则AM=AF=2x ，

3AN x =，DN=MN=x ， ∴331)x x x +=，

∴DE=BF=AB-AF=31)231)x x x -=，

∴22(31)26BF MD x x x +==，

∵BC=AD= 1)x ≠

， 故④错误； 所以本题正确的有①②③；

故选：A ．

【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM 是等边三角形是解题的关键．

7．C

解析：C

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．

【详解】

解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，

∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，

∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，

∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，

∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；

∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，

同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；

111122223111111222

OC D E E E B E C E B C ∴=====

=?=

11111C E D C ===

2234342212E C E E B E E =====

433416

E C B E === 3343112263

B C E C ∴==?= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，

则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 333333312926A N A M =

== 3313313322C M A M ++=== 343133331233186C N E M C M ??∴=-=?-= ? ???

111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++

1313131313322262

-=++++++= ∵点A 3在第一象限，

∴点A 3的坐标是33132+?

. 故选C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.

8．A

解析：A

【分析】

根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE 为直角三角形，延长BE 构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF 的平方即可.

【详解】

∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB=BC=CD=AD=5，

如图，延长BE 交CF 于点G ，

∵AB=5，AE=4，BE=3，

∴AE 2+BE 2=AB 2，

∴△ABE 是直角三角形，

同理可得△DFC 是直角三角形，

∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，

∴△ABE≌△CDF,

∴∠BAE=∠DCF,

∵∠ABC=∠AEB=902，

∴∠CBG=∠BAE，

同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，

△ABE≌△BCG，

∴CG=BE=3，BG=AE=4，

∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，

∴EF 2=EG 2+GF 2

=1+1=2

故选择:A

【点睛】

此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键.

9．B

解析：B

【分析】

取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．

【详解】

取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，

90MON ∠=?，

122

OE AB ∴==． 在Rt DAE ?中，利用勾股定理可得22DE =

在ODE ?中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，

∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=．

故选B ．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．

10．A

解析：A

【分析】

①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，

②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；

③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，

④当∠EAF=60°时，可证明△AEF 是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF 是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论．

【详解】

解：①四边形ABCD 是正方形，

∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．

在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，

AE AF AB AD ???

＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），

∴BE=DF

∵BC=CD ，

∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，

∵AE=AF ，

∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．

②设BC=a ，CE=y ，

∴BE+DF=2（a-y ） EF=2y ，

∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（2）a 时成立，（故②错误）．

③当∠DAF=15°时，

∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，

∴∠DAF=∠BAE=15°，

∴∠EAF=90°-2×15°=60°，

又∵AE=AF

∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．

④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=60°,

又△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°

∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°,

∴∠AEB≠∠AEF，故④错误．

综上所述，正确的有①③，

故选：A．

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．

二、填空题

11．12或20

【分析】

根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．

【详解】

解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5

在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222

(25)42

CE AC AE，

在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222

-=-,

BE AB AE543

∴BC=BE+CE=3+2=5,

此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；

情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：