全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型

全等三角形模型+例题

【考纲要求】

1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.

【考点梳理】

【全等三角形】

知识点一、全等三角形的概念及表示

1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形

全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.

2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.

在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.

4.确定全等三角形对应关系的方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点二、全等三角形的性质

1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

2.其它性质：

（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.

知识点三、全等变换

在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.

常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：

【探索三角形全等的条件】

边角边

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写

为“边角边”或“SAS ”.

在△ABC

与△A’B’C’中，已知

角边角

两角及其夹边分别相等

的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA ”.

在△ABC

与△A’B’C’中，已知

角角边

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两

个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中，已知

边边边

三边分别相等的两个三

角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”.

在△ABC 与△A’B’C’中，已知

.

斜边、直角边

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形

全等，简称为“斜边、直角边”或“HL ”

在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中，

，已知

.

1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；

2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.

探究SSA

全等篇

异侧

半角模型

1.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45o，则BE ＋DF

＝EF .

简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90o得到△ABG ，使得AD 与AB 重合， 通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE ＋DF ＝EF .

2.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45o，则AE 平分

∠BEF ，AF 平分∠DFE .

简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90o得到△ABG ，使得AD 与AB 重合；将△ABE 绕点A 逆时针旋转90o得到△ADH ，使得AB 与AD 重合.

3. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45o，则

.

简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.

4.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45o，过点A 作

AH ⊥EF 交EF 于点H ，则AH ＝AB .

简证：由上述结论可知AE 平分∠BEF ，又∵AB ⊥BC ，∴AH ＝AB . 5.

如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45o，则

.简证：由结论1可得EF ＝BE ＋DF ，则

＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋CF ＋BE ＋DF ＝2AB .

6. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45o，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，则

.

简证：如图，将△AND 绕点A 顺时针旋90o得到△AGB ，连接GM .

通过证明△AMG ≌△AMN 得MN ＝MG ，DN ＝BG ，∠GBE ＝90o，即可证

.

补充：等腰直角三角形与“半角模型”

D

C

P

B

A

C

D

P

B A

D

P

C

A

B

如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45o，则.

证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90o得到△，连接.

1.1二次全等证明

1.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．

2.求证：△BDF≌△CDE．

3.

4.

5.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD

交AC于点G，AB=CD．

6.求证：△DEG≌△BFG．

7.

3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD．

求证：△CEF≌△BDF．

4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE．

求证：△ADE≌△CDE．

5.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．

6.求证：△EFD≌△GFD．

7.

6、已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF．

求证：∠E=∠F．

7、已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF．

求证：AO=BO．

8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想．

9、

10、

9.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G．

求证：DE⊥CF．

10.已知：如图，在等边△ABC中，△C=△ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE 相交于点F．

11.求证：△1=△2．

12.

1.2截长补短 倍长中线

例题1、如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，

求证：AC BE =．

例题2、在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】

（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形______ 【理解与应用】

（2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x ，则x 的取值范围是______．

（3）已知：如图3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC=∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC=BC ，求证：AQ=2AD ．

F

E

D C

B

A F E

D

C

B

A

例题4、如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．

（1）求证：△DBN≌△DCM；

（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

例题5、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．

求证：AB=CD．

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

例题8、（1）如图，四边形ABPC中，AB AC

∠=?，求证：PB PC PA

BPC

+=．

=，60

BAC

∠=?，120

（2）如图，四边形ABCD中，AB BC

APC

∠=?，求证：

ABC

∠=?，P为四边形ABCD内一点，且120

=，60

++≥．

PA PC PD BD

C 1A B C E

D D E

(C )B A

C 1

C 1A

B C E D 1A

B C E D

1.3一线三等角

例1：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，

⑴求证：AC ⊥CE ；

⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D ， 其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.

① ② ③ ④

例2：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ． （1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．

（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

例3.（1）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．

（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

1.4半角模型

1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90o，O为AB的中点，∠EOF＝45o，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；

（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.

2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180o，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，

求证：EF＝BE＋FD.

3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120o，以D为顶点作一个60o的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？

4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60o，连接EF.

（1）①求证：OB＝OC；

②求∠BOC的度数；

（2）求证：CF＝BE＋EF.

5. 在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60o，∠CDB＝120o，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.

（1）试说明：DE＝DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60o，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；

（3）若题中条件“∠CAB＝60o，∠CDB＝120o”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG 满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.