数学物理方法论文

数学物理方法第一篇总结

1.1复数与复数运算

（一）复数的概念

一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和，z=x+iy ，这是复数的代数式，x 和y 叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z 和Im z 。 如果将x 和y 当做平面上点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。

复数的三角式]sin [cos θθρi z +=，其中22y x +=

ρ，()x /y arctg =θ。

共轭复数的概念

如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （二）无限远点 复球面

无限远点：复平面上ρ为无限大的点．

复球面：与复平面相切于坐标原点o ，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面．

（三）复数的运算

已知两个复数：211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算

[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z

3.除法运算

[])(i 2

12121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r r

r r z z 4.复数的乘幂)

sin (cos θθρn i n z n

n

+=

5.复数的方根)sin (cos

n

i n z n

n

θ

θ

ρ+=

（四）典型例题

计算下列数值（其中θ为常数）

1.?θθθn cos 3cos 2cos cos +++

2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++

1.2复变函数

（一）复变函数的定义

对于复平面的点集E ，它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。则称ψ为z 的复变函数，记作：ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。 （二）区域的概念

在解析函数论中，函数的定义域一般不是点集，而是满足一定条件的点集，称为区域，用B 表示。

邻域：以某点z0为圆心,以任意小的正实数为半径的圆的内部，称为0z 的邻域。 内点：若0z 及其邻域均属于点集E ，则称为该点集的内点。 外点：若0z 及其邻域均不属于点集E ，则称为该点集的外点。

边界点：若在0z 的每个邻域内，既有属于E 得点，也有不属于E 的点，则称0z 为该点集的边界点，它既不是E 的内点，也不是E 的外点，边界点的全体称为边界线。 区域是指满足下列两个条件的点集： 1. 全由内点组成；

2. 具有连通性，即点集的任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全部属于该点

集。

（三）典型例题 求解方程2sinz =

1.3导数

（一）导数的概念

设函数(z)f =ω是在区域B 上定义的单值函数，即对于B 上的每一个Z 值，有且只有一个ω值与之相对应。若在B 上的某点z ，极限z

z z z lim z lim

z 0z ??+=???→?）

（—）（f f ω存在，并且

与0z →?的方式无关，则称f (x )在z 点可导。

（二）柯西黎曼方程

柯西-黎曼方程在直角坐标系下的C-R 条件，是复变函数可导的必要条件????

?????-=????=??y u x v y v x u

柯西-黎曼方程在极坐标系下的C-R 条件，是复变函数可导的必要条件???

?

?????=????=??θρρθρu v v u 1-

函数f (z )可导的充分必要条件：f (z )的偏导数y

v

x v y u x u ????????,,,存在且连续，并满足C-R 条件。

（三）典型例题

试从极坐标系中的柯西黎曼方程中????

?????=????=??θ

ρρθρu v v u 1-消去u 或者v 。

（四）人物传记

1.柯西:法国数学家，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他首创性的工作是关于单复变函数论，阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。他还在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。

2.黎曼：德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。

1.4解析函数

（一）解析函数的定义

若函数f (z )在z0点及其邻域上处处可导，则f (z )在z0点解析。又若f (z )在区域B 上每点都解析，则f (z )是区域B 上的解析函数。 （二）解析函数的性质

1.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析，则u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C ,是B 上的两组正交曲线组。

2.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析，则u ，v 均为B 上的调和函数。 （三）典型例题

已知解析函数()z f 的实部()y x u ,或者虚部()y x v ,，求该解析函数。 1.y e u x

sin =；

2.xy y x u +-=2

2

，()00=f ；

2.1复变函数的积分

（一）复变函数积分的定义

设在复数平面的某分段光滑曲线l 上定义了连续函数f (z )，在l 上取一系列分点z0（即起点A ）, z1 , z2,…, zn （即终点B ），把l 分成n 个小段，在每个小段[zk-1,zk]上任取一点ξk ，作 和得

k k n

z f f ?=∑∑==)(z z 1

k 1k k

n

1

k k

ζζ）—（

）（—

当n →∞且每小段都无限缩短时，如果这个和的极限存在，且其值与各个ξk 的选取无关，则这个和为函数f(z)沿曲线l 从A 到B 的路积分，记作

?l

dz z f )(=??++-l

l

dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u ),(),(),(),(

（二）复变函数积分的性质 1.常数因子可以移到积分号外；

2.和积分等于积分和；

3.反转路径，积分反号；

4.全路径上的积分等于各段积分之和

一般来说，复变函数积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。

2.2柯西定理

（一）单连通区域的情况

单通区域：在其中做任何简单的闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。也可以认为是一根闭合曲线围成的区域。

单连区域柯西定理：如果函数f (z )在闭单通区域B 上解析，则沿B 上的任一分段光滑闭合曲线l ，有?=l dz z f 0)(

证明如下

???++-=l

l

l

dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f ),(),(),(),()(

，

Z 0(A)

由于f (z )在B 上解析，因而有

y v

x v y u x u ????????,,,在B 上连续， 根据格林公式dxdy y P x Q Qdy Pdx l S

??

??-??=

+)(

和C-R 条件y

u

x v y v x u ??=????=??-，得： ?=l

dz z f 0)(

（二）复通区域情形

为了将奇点排除在区域之外，需要做一些适当的闭合曲线把奇点分隔出去，即形成复通区域。 一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域。

对于区域（单或复通区域）的境界线，通常这样规定（内外）正方向，区域在观察者的左边。 复通区域柯西定理：

如果f (z)是闭复通区域上的单值解析函数，则?∑?

=+=l

n

i l i

dz z f dz z f 0)()(1

l 为区域外境界

线， l i 为内境界线，积分均沿正方向进。 证明如下：

向积分相等。

沿内外境界线逆时针方即：＋的积分值抵消，于是

其中沿同一割线两边缘＋＋＋按单通区域柯西定理，

?∑??

?

??

??===+=+l

n

i l l l

BA

l AB

l

i

dz

z f dz z f 1

)()(0

1

1

（三）柯西定理的总结：

1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零；

2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零；

3.闭复通区域上的解析函数沿境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之和。

4.对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数，只有起、终点固定不变，当积分路径连续变形（不跳过“孔”），路积分值不变。

2.3不定积分

（一）不定积分的概念

根据柯西定理，若函数f (z )在单通区域B 上解析，则沿B 上任一路径L 的积分

?l

)(z

d

z f

的值只跟起点和终点有关，而与路径无关。因此，当起点和终点固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作

?=z

z d f z F 0

)()(ζζ

例如).n ()(为整数dz

z I n

l ?

-=α

1. 若回路L 不包围点α，则被积函数在l 所包围的区域上是解析的，按照柯西定理，积分

值为零。

2. 接着讨论L 包围α的情形，如果0≥n ，被积函数在l 所包围的区域是解析的，积分值

也为零；如果0

αi z Re =-

?αα?π

???id e R e R d e R dz z I i in n l

C

i in n n ???=+=-=20

)Re ()(

α 讨论：1. 0)

1(1

-120

)1(1

=+=≠++π?

n i n e n i iR

I n 时，当

2. i d i

I n π?π

2-120

===?

时，当

2.4柯西公式

单通域柯西公式：若f (z )在闭单通区域B 上解析，L 为B 的境界线，α为B 内一点，则

dz z z f i f l ?-=

α

πα)

(21)(。 复通域柯西公式：若f (z)在L 上所围区域上存在奇点，则考虑挖去奇点后的复通区域。在

复通区域上f (z)解析，则柯西公式仍成立，只要将L 理解为所有的境界线，且均取正向。 柯西导数公式：由于z 为区域内点，积分变数在境界线上，ξ-z ≠0,积分号下的导数f (ξ)/(ξ-z)在区域上处处可导。因此，可以在积分号下对z 求导，得：

dz z f i z f l ?-=

'2)()(2!1)(ξξπ反复在积分号下求导，得dz z f i n z f l n n ?+-=1)

()

()(2!)(ξξπ。 （三）典型例题 已知函数()2

2,t tx e x t -=ψ。将x 作为参数，t 为复变数，应用柯西公式将0

=??t n

n t

ψ表示成回

路积分。

l

l ε

?++=π

??

20

)1(1d e iR n i n

3.1复数项级数

（一）设有复数项的无穷级数

++++=∑∞

=k k k

w w w w

21

1他的每一项都可以分为实部和

虚部，k k k iv u w +=那么他的前n+1项的和可以表示为：

∑∑∑∑∑∑=∞

→=∞

→=∞

→===+=+=n

k k n n k k n n k k n n k k n

k k

n k k

v i u w v i u

w 1

1

1

1

1

1

lim lim lim ,

这样，复数项无穷级数的收敛问题就归结为两个实数级数的收敛问题。 级数收敛的判断依据

（二）柯西收敛判据：对于任一给定的小正数ε，存在一个N ，使得n>N 时ε<∑++=||

1

p

n n k k

w

，

p 为任意正整数。

绝对收敛：如果复数项级数各项的模（正实数）组成的级数 收敛，则wk 绝对收敛。 （三）绝对收敛级数的性质

绝对收敛的复数项级数必是收敛的，各项先后次序可变，其和不改变。 应用柯西收敛判据，复变项级数在B （或l ）上收敛的充要条件是：

在B （或l ）上各点z ，对于任一给定小正数ε，存在N(z)，使得n>N(z)时，

ε<∑++=|)(|

1

p

n n k k

z w ，p 为任意正整数。如果N 与z 无关，则复变项级数在B （或l ）上一致收

敛。

（四）典型例题

3.2幂级数

（一）各项都是幂函数的复变项级数

+-+-+=-∑∞

=2020101

)()()

(z z a z z a a z z a k k

k

其中

z0,a0,a1,a2,…都是复常数。这样的级数叫做以z0为中心的幂级数。

绝对收敛：由幂级数各项模组成的正项级数|a0|+|a1||z-z0|+|a2||z-z0|2+…+|ak||z-z0|k+…

（二）正项级数的收敛性的判别： 1.达朗贝尔判别法

如果1||||lim ||||||||lim 01

0101<-=--+∞→++∞→z z a a z z a z z a k

k k k k k k k 则正项级数收敛，幂级数绝对收敛。如果

1|||

|lim ||||||||lim ,||101010=>-->-+∞→++∞→R a a z z a z z a R z z k

k k k k k k k 则也就是说，

幂级数后面的项的模越来越大，必然是发散级数。即如果|z-z0|>R ，则发散。

那么以z0为圆心做一个半径为R 的圆CR ，圆内绝对收敛，圆外发散。CR 称为幂级数的收敛圆，半径R 为收敛半径。 3. 根值判别法 如果1||||lim 0<-∞

→k k k k z z a ，则正项模级数收敛，幂级数绝对收敛； 如果1||||lim

0>-∞

→k

k k k z z a ，则正项模级数发散，幂级数绝对发散；

收敛半径为k

k k a R |

|1lim

∞→=。

幂级数在收敛圆内的性质： 1．和函数是解析函数；

2．可以逐项求导，且收敛半径不变； 3．可以逐项积分，且收敛半径不变； （三）典型例题 （四）人物传记

达朗贝尔：法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。 达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。

3.3泰勒级数展开

（一）已知，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任意阶导数都存在，也希望能把解析函数展开为复变项的泰勒级数。

定理：设f (z)在以z0为圆心的圆CR 内解析，则对圆内任意z 点，f (z)可以展开为幂级

∑∞

=-=00)()(k k

k z z a z f 其中!)()()

(210)(10

1k z f d z f i a k C k k R =-=?+ξξξπ。1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆。

泰勒展开公式（具有唯一性）：

+-+-+=-=∑∞

=2020100

0)()()()(z z a z z a a z z a z f k k k

!

)(0)(k z f a k k =

(二)几个典型的泰勒展开公式

1.∑∑

∞

=∞

==-=

000

0)(!)(!)(k k k

k k z

k z z z k z f e （在00=z 的邻域） 2. +-+-=-=

∑

∞

=!

7!5!3!1)(!)(sin 75300

0)(z z z z z z k z f z k

k k （在00=z 的邻域） 3. k

z i n z k

k k )1()

1(2ln 1

1

--+

=∑∞

=+π（在10=z 的邻域） 4.

()

?

??

???+-+-++=+ 32m

!3)1(!2)1(!111z 1z m m z m m z m m （在00=z 的邻域）

5.

∑∑∑∞

=∞=∞=-=-==-0

2020)1()(11k k k k k

k k z z Z Z （在00=z 的邻域） （三）典型例题 （四）人物传记

泰勒：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。

3.4解析延拓 3.5洛朗级数展开

(一）当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不能将函数展为泰勒级数，而需要考虑除去奇点的环域上的展开，这就是洛朗级数展开。 定理：

设f (z )在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析，则对环域上的任意一点，f (z )可展为幂级数∑∞

-∞

=-=

k k k z z a z f )()(0，其中ξξξπ?+-=

c

k k d z f i a 1

0)()

(21，积分路径C 位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线。

(二)几个典型的洛朗展开公式 1.|)

|0()!

(10

1z z k e k

k z

<-=

∑-∞=

2. ∑∑∞

=+∞=----=----=-0202)1(2

1)1(1121)21()1(41112111k k k k k k

k z z z z z （∞<

3. )||0(!

7!5!31sin 6

42∞<<+-+-=z z z z z z （三）洛朗展开和泰勒展开的区别与联系

联系：都是单值解析函数；展开形式均以0z 为展开中心。

区别：1.0z 是泰勒函数f (z )的奇点，洛朗展开中的0z 不一定是f (z )的奇点；

2.泰勒展开的区域是R <0z -z ，是绝对且一致收敛的函数。洛朗展开的区域是

201R z z R <-<，也是绝对且一致收敛的函数；

3.泰勒展开无负幂次项，洛朗展开可以有负幂次项，也可以没有负幂次项。 （三）典型例题

在挖去奇点0z 的环域上或指定的环域上将下列函数展为洛朗级数 （五）人物传记

洛朗：法国数学家提出洛朗级数，复变函数f (z )的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。

3.6孤立奇点的分类

孤立奇点：若函数f (z)在某点z0不可导，而在z0的任意小邻域内除z0之外处处可导，则z0为f (z) 的孤立奇点。

若在z0无论多么小的邻域内总可以找到除z0外的不可导点，z0为f (z)的非孤立奇点。 在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数f (z)的洛朗级数分三种： （1）无负幂项，0z 为f (z)的可去奇点； （2）有有限个负幂项，0z 为f (z)的极点； （3）有无限个负幂项，0z 为f (z)的本性奇点。 典型例题

设函数()z f 和()z g 分别以点0z 为m 阶和n 阶极点，问对下列函数而言，0z 是何种性质的点： （1）

()

()

z g z f ；（2）()()z g z f ；（3）()()

z g z f +