高数微积分习题解答
高数微积分习题解答
1、计算下列第二类曲线积分：
（1）?-L
dx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；
（2）,)()(2
2?
+--+L
y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2
22a y x =+； （3）?++L
xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到
t=2π的有向弧段;
（4）?-+++L
dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一
段直线；
（5）,??L
dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，
取逆时针方向；
（6）
??L
dl F ,其中2
22
1y x xe ye F +-=
，L 按逆时针方向饶行的圆
t a y t a x sin ,cos ==.
解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以
?-L
dx y x )(2
2
=1556)5131()(20534
2
02-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t
?+--+L
y x dy
y x dx y x 22)()( =?
--+π
20
2
)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1
t a d t a t a t a d t a t a a
=dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120
2?---+π
=
ππ
2120
22
-=-?
dt a a
（3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以
?
++L
xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20
t b td a t a btd t a td a ?++π
=220
22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ
-=++-?
（4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x
dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入
?-+++L
dz y x ydy xdx )1(
=?-+++++++1
)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t
=1376)146(1
=+=+?dt t
（5）三条直线段的方程分别为 y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0.
所以 ??L
dl F =?--L
xdy ydx
???-+-+-=0
1
01
10
1xdx xdx dy
=0
π
π
π
π
21)sin (cos )cos (sin )6(20
22022
22022-=-=-=+-+=???
??dt t a d a
t
a t a d a t a dy y x x
dx y x y dl
F L
2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222R y x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.
解：由题意知，场力所作的功为
dx F W L
?=
L: 222R y x =+,x 从R 变到0， 于是，w=R F dx F dx F R L
-==??0
3、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点.试求
单位质量的质点P 沿椭圆122
22=+b
y a x 逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.
解：),(y x F --=
椭圆122
22=+b
y a x 的参数方程为：t b y t a x sin ,cos ==，t 从0到2π
所以，
2
sin 2
cos )
sin (sin )cos (cos 20
2
220
2
220
=-
-
=--=?=??π
π
π
t b t a t db t b t da t a dl F W L
4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到
)2,2,2(c b a 时，该场力所作的功.
解：),,(222222222z
y x z z y x y z y x x z k F ++-++-++-=
直线的参数方程为：)0(,,≠===c ct z bt y at x ，t 从1到2
所以，
c
c b a k dt t
c t b t a t c k
t c t b t a dl F W L
2ln ))
(2
222
1
2
22
22
2222++-
=++---=?=??
习题3-2答案 1、
解：记S 在x>0一侧为1S ，在x<0一侧为2S ，在z=h 上的部分为
3S ，在z=0上的部分为4S ，在y>0一侧为5S ，在y<0一侧为6S ，则由题有
?
??
??????????????????--=-=-=-=???
?
?
?-+----+-=+++++=+++=r
r
r
r
h
D D D S S s s s s hr dy y r h dz
y r dy dydz
y r dydz y r y
y
y r dydz y r y
y y r zdxdy
ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz xdydz xdydz xdydz xdydz Q yz yz yz 2
220
22222222222
2
1222)(2
1
1
2
3
4
π2
23
4
1
2
3
4
hr dxdy h zdxdy zdxdy
ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy zdxdy zdxdy zdxdy Q xy
xy
D D S S s s s s π===
+++++=+++=??
??????????????同理可得：??
+==
6
52
3S S hr ydzdx Q π
2、解：（1）由题S y x R z S ,222---=：在
xoy 面上的投影区域222:R y x D xy ≤+，
23213hr Q Q Q Q π=++=∴
()
7
20257022520
2
20
22225222222222222105
2cos sin 42sin 41sin cos R tdt t R dr
r R r dr
r R r d dxdy y x R y x dxdy y x R y x zdxdy y x R R
D D S
xy
xy
ππθθθθπππ==-=-=--=
----=∴???????
????
（2）()22
1
20
2
22
222
2e e dr e d dxdy y x e
dxdy y x e
r D y x S
z
xy
-==+=
+????
??
+πθπ
（3）将S 分成1s 和2s ，其中1S ：z=h ，222h y x ≤+取上侧，
2s ：22y x z +=，h z ≤≤0x>0取下侧
则
??????????????=+=∴=-++-?
-+++-?+--==-=s
s s s s s D dxdy
y x y
x y x y x y
x x y x y dxdy y x xy
1
2
1
1
2
)]()()[(,0)(2
2
222
2
2
2(4)记S 在z=0上的部分为1S ，在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在
122=+y x 上的部分为4S ,在22y x z +=上的部分为5S .有
3
2
1
2
2
2222
=++=++=++??????S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx
x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y
.1631111102
222
102
22
22
2
4π=???
? ??-+-=???
? ??-+-=++??????dz x x x z x dx dxdz x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S