对数函数测试题及答案

对数与对数函数测试题

一、选择题。 1．

3

log 9

log 28的值是 （ ）

A ．

32 B ．1 C ．2

3 D ．2 2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55

1533

1322

1z y x ===0，则x 、y 、z 的大小

关系是

（ ）

A ．z ＜x ＜y

B ．x ＜y ＜z

C ．y ＜z ＜x

D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于

（ ）

A.

2

3 B.

45 D.2

1

4．已知lg2=a ，lg3=b ，则

15

lg 12

lg 等于

（ ）

A ．

b

a b

a +++12

B ．

b

a b

a +++12

C ．

b

a b

a +-+12

D ．

b

a b

a +-+12

<

5．已知2lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为

（ ）

A ．1

B ．4

C ．1或4

D ．4或16 6.函数y =)12(log 2

1-x 的定义域为

（ ）

A ．(

2

1

，＋∞) B ．［1，＋∞)

C ．(

2

1

，1] D ．(－∞，1)

7．已知函数y =log 2

1(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．a ＞1

B ．0≤a ＜1

C ．0＜a ＜1

D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于 （ ）

A ．e 5

B ．5e

C ．ln5

D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ）

O

—

y

O

x

y

O

x

y

O

x

}

y

A B C D

10．若2

2log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．[223,2]-

B ．)

223,2?-?

C ．(

223,2?-?

D ．()

223,2-

11．设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22

等于 （ ）

A ．}1|{>x x

B ．}0|{>x x

C ．}1|{-

D ．}11|{>-

【

12．函数),1(,1

1

ln

+∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）

A ．),0(,11

+∞∈+-=x e e y x

x B ．),0(,11

+∞∈-+=x e e y x

x C ．)0,(,1

1

-∞∈+-=x e e y x

x D ．)0,(,11

-∞∈-+=x e e y x

x

二、填空题.

13．计算：log 2.56.25＋lg 100

1＋ln e ＋3

log 122+=．

14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为__________． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )与(lg m )的大小．

16．函数y =(log 4

1x )2－log 4

1x 2＋5在2≤x ≤4时的值域为______．

三、解答题.

17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．

：

/

18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R

求实数a的取值范围．

|

19．已知f(x)=x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值

20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．.

21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，

…

（1）求函数的定义域和值域；

（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（3）证明函数图象关于y=x对称．

-

22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

%

对数与对数函数测试题

参考答案

一、选择题：ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.213

，=1－2x (x ∈R )，15.(lg m )≤(lg m )，16.84

25≤≤y 三、解答题：

<

17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2

又a 是对数的底数， ∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜

a

2

由递减区间[0，1]应在定义域内可得a

2

＞1，∴a ＜2 又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数

∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜2

18、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．

当a 2－1≠0时，其充要条件是：

?????<--+=?>-0

)1(4)1(0

12

22a a a 解得a ＜－1或a ＞35 >

又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意． 所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(

3

5

，＋∞) 19、解析：由f (－1)=－2，得：f (－1)=1－(lg a ＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，

∴

b

a

=10，a =10b ． 又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2＋x lg a ＋lg b ≥0，对x ∈R 恒成立，

由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2－4lg b ≤0 即(lg b －1)2≤0，只有lg b =1，不等式成立． 即b =10，∴a =100． ∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2－3 当x =－2时，f (x )min =－3．

'

20.解法一：作差法

|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|

a x lg )1lg(-|－|a x lg )1lg(+|=|

lg |1

a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|) ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x ∴上式=－

|lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－|

lg |1

a ·lg(1－x 2)[来源:] 由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－|

lg |1

a ·lg(1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法二：作商法

|

)1(log ||

)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|

∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )

x

+11 】

由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴x

+11

＞1－x ＞0 ∴0＜log (1－x )

x

+11

＜log (1－x )(1－x )=1 ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法三：平方后比较大小

∵log a 2(1－x )－log a 2(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )] =log a (1－x 2)·log a

x x +-11=|

lg |12

a ·lg(1－x 2)·lg x x +-11 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜x

x

+-11＜1 ∴lg(1－x 2)＜0，lg

x

x

+-11＜0 ∴log a 2(1－x )＞log a 2(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|

/

解法四：分类讨论去掉绝对值

当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2) ∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0

当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0 ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|

21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x 2＞x 1 ∵a ＞1，∴12

x x a a

>，于是a －2x a ＜a －1x a

则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1x

a ) 即f (x 2)＜f (x 1)

∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y ) ∴f －

1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)

故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.

解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积

S=

)]2(log [log 2

)]

2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a

222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )

2()1(log 212

2++=a a a a a a a 212log 21222+++=)211(log 2122a

a ++= 因为1≥a ,所以3

4

log 21)311(log 2122max =+=

S