数学史与数学故事

生活与概率

公元1052年4月，侬智高起兵反宋。当朝皇帝宋仁宗决定派遣大将狄青去平定叛乱。当时路途艰险，军心不稳，狄青取胜的把握不大。为了鼓舞士气，狄青便设坛拜神，说：“这次出兵讨伐叛军，胜败没有把握，是吉是凶，只好由神明决定了。是吉的话，那我随便掷100个铜钱，神明保佑，正面定然会全部朝上；只要有一个背面朝上，那我们就难以制敌，只好回朝了。”

左右官员诚惶诚恐，劝道：“大将军，运气再好，100个铜钱，总不会个个正面朝上，如果有背面朝上，岂不动摇军心？如果不战而回朝，那更是违抗圣旨。请大将军三思而行！”此时的狄青已是胸有成竹，叫心腹拿来一袋铜钱，在千万人的注视下，举手一挥，把铜钱全部抛向空中，100个铜钱居然鬼使神差地全部朝上。顿时，全军欢呼，声音响彻山野。由于士兵个个认定神灵护佑，战斗中奋勇争先，仅一次战役，就收回了失地，大功告成。

那么，那100个铜钱究竟是怎么回事呢？原来，狄青那100个铜钱正反两面都是正面的图案，使得正面朝上的机会为100％，从而鼓舞了士气，大军获胜。

以上只是古人利用简单的概率知识获利。其实，从古到今，概率就与人们的生活息息相关。如今，还有许多不法分子利用人们对概率的不了解牟取暴利。下面，我们就以“机会型”赌博，简要地讲一下如何计算概率以及概率的重要性。

“机会型”赌博规则如下：每个参加者每次先付赌金1元，然后将3枚骰子一起掷出。他可以赌某一个点数，譬如赌“1”点。如果三枚骰子中出现一个“1”点，庄家除把赌金发还外，再奖一元；如果出现两个“1”点，发还赌金外，再奖两元；如果全是“1”，那么发还赌金，再奖三元。

看起来，一枚骰子赌“1”点，取胜的可能性是；那么两枚骰子就是的可能性，三枚就是。即使是一元对一元的奖励，机会也是均等的，何况还可能是2倍、3倍奖励的可能性，自然对参加者有利。其实，这只是一个假象。

我们来计算一下，三枚骰子一起掷，会出现怎样的情况。见表1。

表1

3枚骰子可能出现的总结果 6×6×6＝216

三枚点数各不相同的可能6×5×4＝120

三枚点数完全相同的可能 6

其他可能216－120－6＝90

一个参加者，假设他总是赌“1”点，如果赌了216次，那么他能有几次获奖呢？先来看只有一枚出现“1”点的情况：出现“1”点的骰子可能是第一枚，也可能是第二枚或第三枚，共有三种可能；而其余两枚不出现“1”点的可能性有5×5＝25种，所以共有3×25＝75种可能。这75种可能出现时，它可获2元，那么总共可获75×2＝150元。再来看出现两枚“1”点的可能性：可以出现在第一枚和第二枚，也可以是第一枚和第三枚，还可以是第二枚和第三枚，也是三种可能；而另一枚骰子不出现“1”点只有5种可能，所以共有15种可能。这时，每次他可获3元，共45元。最后，三枚都出现“1”点的只有一种可能，这时，它可获4元。

这样，216次，他共获150＋45＋4＝199元。但每次先付一元，他一共付了216元。所以，一般来说，他会输216－199＝17元，占总金额的7.9％。

我们再来看看庄家的情况。根据前面的分析过程，假使有6人参加赌博，每人分别赌“1”、“2”、……“6”点，并假定每人进行了216次，则庄家共收了6×216＝1296元，一共付出了720＋450＋24＝1194元，净赚1296－1194＝102元，占总金额的7.9％。

通过概率的计算，我们看到赢的一定是庄家。看清了赌博的真面目，我们就应该抵制赌博。

同样我们可以利用概率计算动物的寿命，以乌龟的寿命为例，如表2：

表2

年龄/岁存活概率年龄/岁存活概率

0 1.00 140 0.70

20 0.92 160 0.61

40 0.90 180 0.51

60 0.89 200 0.39

80 0.87 220 0.08

100 0.83 240 0.04

120 0.78 260 0.0003

根据表2内容，再计算出，活满20岁的乌龟有0.87÷0.92×100％＝95％的概率可活到80岁，活满120岁的乌龟有0.39÷0.87×100％＝50％的概率可活到200岁。

同理，通过大量调查数据获得人类的寿命表，保险公司便可算出保险费率。

以上两个例子说明，概率与人们的生活息息相关，只要你熟练地掌握了概率的知识，并应用到日常生活中去，我想你就能做到较好地把握机会，将胜算牢牢地掌握在自己的手中。