高等数学练习试题库及标准答案.doc

《高等数学》练习测试题库及答案

一．选择题

1.函数 y=

1 是（ ）

2

x

1

A.偶函数

B.奇函数

C 单调函数

D 无界函数

2.设 f(sin x

)=cosx+1,则 f(x)为（

）

2

A 2x 2

－2

B 2－2x

2

C ＋ x 2

－ x 2

1 D 1

3．下列数列为单调递增数列的有（ ）

A ． ，，，

B ． 3 ， 2 ， 5 ，

4

2

3

4

5

n

为奇数

n

1 , n

2

1

n

C ．{f(n)},其中 f(n)=

n

， 为偶数

D. { 2n }

1 n

n

4.数列有界是数列收敛的（ ）

A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件

D 既非充分也非必要

5．下列命题正确的是（ ）

A ．发散数列必无界

B ．两无界数列之和必无界

C ．两发散数列之和必发散

D ．两收敛数列之和必收敛

6．

lim sin( x 2

1) （

）

x 1

x

1

.0 C

2

7．设 lim (1 k ) x e 6

则 k=(

)

x

x

.2

C

6

8.当

x

1 时，下列与无穷小（

x-1）等价的无穷小是（

）

2

B. x 3 -1

C.(x-1)2

(x-1)

(x)在点 x=x 0 处有定义是 A.必要条件

f(x)在

x=x 0 处连续的（ ） B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件

10、当|x|<1

时， y=

（ ）

A 、是连续的

B 、无界函数

C 、有最大值与最小值

D 、无最小值

、设函数

f （x ）=（ 1-x ） cotx

要使 f （x ）在点： x=0 连续，则应补充定义 f （0） 11 为（

）

A 、

B 、 e

C 、-e

D 、 -e -1

12、下列有跳跃间断点 x=0 的函数为（

）

A 、

xarctan1/x

B 、arctan1/x

C 、 tan1/x

D 、 cos1/x

13、设

f(x)在点

x 0 连续， g(x)在点

x 0 不连续，则下列结论成立是（

）

A 、f(x)+g(x)在点 x 0 必不连续

B 、f(x) × g(x)在点 x 0 必不连续须有

C 、复合函数 f[g(x)]在点 x 0 必不连续

D 、

在点 x 0 必不连续

14、设

f(x)=

在区间 (- ∞,+ ∞)上连续，且

A 、a ＞0,b ＞0

f(x)=0，则 a,b 满足（

B 、a ＞0,b ＜0

）

C 、a ＜0,b ＞0

D 、a ＜0,b ＜0

15、若函数

f(x)在点

x 0 连续，则下列复合函数在 x 0 也连续的有（

）

A 、

B 、

C 、tan[f(x)]

D 、 f[f(x)]

16、函数

f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（

）

17、在闭区间

A 、[0,л]

C 、[-л/4,л/4]

[a ,b]上连续是函数

B 、（0,л）

D 、（-л/4,л/4）

f(x)有界的（

）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

18、f(a)f(b) ＜ 0 是在 [a,b] 上连续的函 f(x)数在（ a,b ）内取零值的（ ）

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、无关条件

19、下列函数中能在区间 (0,1)内取零值的有（）

A、f(x)=x+1

B、 f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1

D、f(x)=5x4-4x+1

20、曲线 y=x2在 x=1 处的切线斜率为（）

A、k=0

B、k=1

C、 k=2

D、-1/2

21、若直线 y=x 与对数曲线 y=log a x 相切，则（）

A、e

B、 1/e

C、 e x

D、e1/e

22、曲线 y=lnx 平行于直线 x-y+1=0的法线方程是（）

A、x-y-1=0

B、x-y+3e-2=0

C、x-y-3e-2=0

D、 -x-y+3e-2=0

23、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（）

A、± 1

B、±л /2

C、± (л/2+1)

D、± (л/2-1)

24、设 f(x)为可导的奇函数，且 f`(x )=a，则 f`(-x )=（）

0 0

A、 a

B、 -a

C、 |a|

D、 0

25、设y=㏑，则y’ |x=0=（）

A、 -1/2

B、1/2

C、-1

D、0

26、设y=(cos)sinx，则y’ |x=0=（）

27、设

A、 -1

B、0

C、1

D、不存在yf(x)= ㏑ (1+X)， y=f[f(x)],则 y’ |x=0=（）A、 0B、1/ ㏑ 2C、 1D、㏑2

28、已知

29、已知y=sinx，则 y(10)=（

A、 sinx

B、 cosx

y=x ㏑ x，则 y(10)=（

）

C、 -sinx

）

D、-cosx A、 -1/x 9 B、1/ x9 C、 x9 D、x9

30、若函数f(x)=xsin|x| ，则（）

A、f``(0)不存在

B、f``(0)=0

C、f``(0) =∞

D、f``(0)= л

31、设函数

y=yf(x)在[0，л ]内由方程

x+cos(x+y)=0所确定，则 |dy/dx|

x=0=（

）

A 、 -1

B 、0

C 、л /2

D 、

2

32、圆

x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ

=л/4 处的切线斜率，

K=（

）

A 、-1

B 、0

C 、 1

D 、 2

33、函数 f(x)在点 x 0 连续是函数 f(x)在 x 0 可微的（

）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

34、函数

f(x)在点

x 0 可导是函数

f(x)在

x 0 可微的（

）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

35、函数 f(x)=|x| 在 x=0 的微分是（

）

A 、0

B 、-dx

C 、dx

D 、

不存在

36、极限 lim ( x

1

) 的未定式类型是（

）

x 1

1

x ln x

A 、0/0 型

B 、 ∞/ ∞型

C 、∞ -∞

D 、∞型

1

37、极限 lim(

sin x

) x 2 的未定式类型是（ ）

x

x 0

A 、00

型

B 、0/0 型

C 、1∞

型

D 、∞0

型

x 2

sin

1

38、极限

lim

x

=（

）

x 0

sin x

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不存在

39、x x 0 时， n 阶泰勒公式的余项 Rn(x)是较 x x 0 的（

）

A 、（n+1）阶无穷小

B 、n 阶无穷小

C 、同阶无穷小

D 、高阶无穷小

40、若函数 f(x)在 [0, + ∞]内可导，且 f`(x) ＞0，xf(0) ＜0 则 f(x)在 [0,+ ∞]内有（

）

A 、唯一的零点

B 、至少存在有一个零点

C 、没有零点

D 、不能确定有无零点

41、曲线 y=x 2-4x+3 的顶点处的曲率为（

）

A 、2

B 、1/2

C 、1

D 、0 42、抛物线 y=4x-x 2 在它的顶点处的曲率半径为（

）

A 、0

B 、1/2

C 、 1

D 、 2

43、若函数 f(x)在（ a,b ）内存在原函数，则原函数有（

）

A 、一个

B 、两个

C 、无穷多个

D 、都不对

44、若∫ f(x)dx=2e

x/2

+C=（ ）

A 、2e x/2

B 、4 e x/2

C 、 e x/2 +C

D 、 e x/2

45、∫ xe -x

dx =（ D

）

A 、xe -x -e -x +C

B 、-xe -x +e -x +C

-x

-

x

+C

-

x

-

x

+C

C 、xe +e

D 、-xe -e

46、设 P （ X ）为多项式，为自然数，则∫ P(x)(x-1)-n

dx （

）

A 、不含有对数函数

B 、含有反三角函数

C 、一定是初等函数

D 、一定是有理函数

47、∫ -10

|3x+1|dx= （

）

A 、5/6

B 、1/2

C 、 -1/2

D 、1

48、两椭圆曲线 x 2

/4+y 2

=1 及(x-1)2

/9+y 2

/4=1 之间所围的平面图形面积等于 （

）

A 、л

B 、2л

C 、4л

D 、 6л

49、曲线 y=x 2-2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（

）

A 、л

B 、6л/15

C 、16л/15

D 、 32л/15 50、点（ 1， 0， -1）与（ 0，-1，1）之间的距离为（

）

A 、

B 、2

C 、 31/2

D 、 21/2

51、设曲面方程（ P ， Q ）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（

）

A 、 Z=4

B 、 Z=0

C 、Z=-2

D 、 x=2

52、平面 x=a 截曲面 x 2/a 2+y 2/b 2-z 2 /c 2=1 所得截线为（

）

A 、椭圆

B 、双曲线

C 、抛物线

D 、两相交直线

53、方程 =0 所表示的图形为（

）

A 、原点（ 0，0，0）

B 、三坐标轴

C 、三坐标轴

D 、曲面，但不可能为平面

54、方程 3x 2+3y 2-z 2=0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（

）

A 、X 轴

B 、Y 轴

C 、Z 轴

D 、任一条直线

55、方程 3x 2-y 2-2z 2=1 所确定的曲面是

（A 、双叶双曲面 B 、单叶双曲面

）

C 、椭圆抛物面

D 、圆锥曲面

56 下列命题正确的是（ ）

A 、发散数列必无界

B 、两无界数列之和必无界

C 、两发散数列之和必发散

D 、两收敛数列之和必收敛

(x)在点 x=x 0 处有定义是 A 、.必要条件 C 、充分必要条件

f(x)在 x=x 0 处连续的（ ）

B 、充分条件

D 、无关条件

58 函数 f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（A 、[0,л] B 、（0,л）

）

C 、[-л/4,л/4]

D 、（-л /4,л/4） 59 下列函数中能在区间

(0,1)内取零值的有（

）

A 、f(x)=x+1 C 、f(x)=x 2-1

B 、f(x)=x-1

D 、f(x)=5x 4-4x+1

60 设 A 、-1

y=(cos)sinx ，

则B 、0

y ’|x=0=（

C 、1 ）

D 、

不存在

二、填空题

1、求极限

lim

(x 2+2x+5)/(x 2+1)=（

）

x

1

2、求极限

lim

[(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（

）

x

3、求极限 lim x-2/(x+2)1/2=（

）

x 2

4、求极限

lim

[x/(x+1)] x =（

）

x

5、求极限

lim

(1-x)1/x = （

）

x 0

6、已知

y=sinx-cosx ，求

y`| x=л/6=（

）

7、已知ρ =ψsin ψ+cos ψ /2，求

d ρ /d ψ|

ψ=л/6

=（ ）

8、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`(0)=（）

9、设直线 y=x+a与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（）

10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)=（）

11、函数 y=2x3极小值与极大值分别是（）

12、函数 y=x2-2x-1 的最小值为（）

13、函数 y=2x-5x2的最大值为（）

、函数 2 -x在[-1,1] 上的最小值为（）

14 f(x)=x e

15、点（ 0， 1）是曲线 y=ax3+bx2+c 的拐点，则有 b=（）c=（）

16、∫ xx1/2dx= （）

17、若 F`(x)=f(x)，则∫ dF(x)= （）

18、若∫ f(x)dx=x2e2x+c，则 f(x)= ( )

19、d/dx ∫a b arctantdt=（）

1 x 2

x2

(e t 1)dt , x 0

在点x=0连续，则a=（

）

20、已知函数 f(x)=

a, x 0

21、∫02(x2+1/x 4)dx=（）

22、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）

23、∫031/2a dx/(a2+x2)=（）

24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）

л

）

25、∫л/3 sin(л/3+x)dx=（

26、∫4 9 x1/2 (1+x1/2)dx=( )

27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）

28、∫49 x1/2 (1+x1/2)dx=（）

29、∫49 x1/2 (1+x1/2)dx=（）

30、∫49 x1/2 (1+x1/2)dx=（）

31、∫49 x1/2 (1+x1/2)dx=（）

32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）

33、满足不等式 |x-2| ＜ 1 的 X 所在区间为

34、设 f(x) = [x] +1，则 f（л +10）=（

35、函数 Y=|sinx| 的周期是（）(

）

)

36、y=sinx,y=cosx直线 x=0,x=л/2 所围成的面积是（）

37、 y=3-2x-x2与 x 轴所围成图形的面积是（）

38、心形线 r=a(1+cosθ )的全长为（）

39、三点（ 1，1，2），（-1，1，2），（ 0， 0， 2）构成的三角形为（）

40、一动点与两定点（ 2，3，1）和（ 4，5， 6）等距离，则该点的轨迹方程是

（）

41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）

42、求三平面x+3y+z=1， 2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )

43、求平行于 xoz 面且经过（ 2，-5， 3）的平面方程是（）

44、通过 Z 轴和点（ -3，1，-2）的平面方程是（）

45、平行于 X 轴且经过两点（ 4，0，-2）和（ 5，1，7）的平面方程是（）

46 求极限lim [x/(x+1)]x=（）

x

47 函数y=x2-2x+3 的极值是y(1)=（）

48∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）

49y=sinx,y=cosx直线 x=0,x=л/2 所围成的面积是（）

50 求过点（3，0，-1），且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）

三、解答题

、设2，问 X 等于多少时 Y最大并求出其最大值。

1Y=2X-5X

2、求函数 y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。

3、求抛物线 y=x2-4x+3 在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数 y=㏑ x 上哪一点处的曲线半径最小求出该点处的曲率半径。

5、求 y=x2与直线 y=x 及 y=2x 所围图形的面积。

6、求 y=e x， y=e-x与直线 x=1 所围图形的面积。

7、求过（ 1，1，-1），（-2，-2， 2）和（ 1，-1， 2）三点的平面方程。

8、求过点（ 4， -1，3）且平行于直线 (x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点（ -1， 2，0）在平面 x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线 y=sinx，y=cosx直线 x=0， x=л/2 所围图形的面积。

11、求曲线 y=3-2x-x2与 x 轴所围图形的面积。

12、求曲线 y2=4(x-1)与 y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点（ 0，3）和（ 3，0）得的切线所围成的图形的面积。 9/4

14、求对数螺线 r=e aθ

及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=e x下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线 y2 =4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

18、求曲线 y=achx/a，x=0，y=0，绕 x 轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线 x2+(y-5)2=16 绕 x 轴所产生旋转体的体积。

20、求 x2+y2=a2，绕 x=-b，旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆 x2/4+y2/6=1 绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线 x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱， y=0 所围图形绕 y=2a(a＞ 0)旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线 y=x/3(3-x)上相应于 1≤x≤3 的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线 y2 =x/3 截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线 y2=2px 从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。

27、求对数螺线 r=e aθ

自θ =0 到θ =ψ的一段弧长。

28、求曲线 r θ=1 自θ=3/4 至θ 4/3 的一段弧长。

29、求心形线 r=a(1+cosθ)的全长。

30、求点 M （4，-3， 5）与原点的距离。

31、在 yoz 平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和 C（ 0，5，1）等距离的点。

32、设 U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用 a,b,c 表示 2U-3V。

33、一动点与两定点（ 2，3，1）和（ 4，5， 6）等距离。求这动点的轨迹方程。

34、将 xoz 坐标面上的抛物线z2=5x 绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将 xoy 坐标面上的圆 x2+y2=9 绕 Z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将 xoy 坐标面上的双曲线4x2-9y2=36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成

的旋转曲面的方程。

37、求球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 xoy 面上的投影方程。

38、求球体 x2+(y-1)2+(z-2)2≤9 在 xy 平面上的投影方程。

39、求过点（ 3，0，-1），且与平面 3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点 M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0的线段 OM0垂直的平面方程。

41、求过（ 1，1，1），（-2，-2，2）和（ 1，-1， 2）三点的平面方程。

42、一平面过点（ 1，0，-1）且平行于向量 a={2,1,1}和 b={1,-1,0}，试求这平面方程。

43、求平面 2x-y+2z-8=0及 x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点（ 4，-1， 3）且平行于直线 (x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

45、求过两点 M （3，-2，1）和 M （-1， 0， 2）的直线方程。

46、求过点（ 0，2，4）且与两平面 x+2z=1和 y-3z=z平行的直线方程。

47、求过点（ 3，1，-2）且通过直线 (x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。

48、求点（ -1，2，0）在平面 x+2y-z+1=0上的投影。

49、求点 P（3，-1，2）到直线 x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线 2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面 4x-y+z=1上的投影直线的方程。

51 求抛物线 y=x2-4x+3 在其顶点处的曲率半径。

52 求 y=e x，y=e-x与直线 x=1 所围图形的面积。

53 求曲线 y2=4(x-1)与 y2=4(2-x)所围图形的面积

54 求曲线 y=x2与 x=y2绕 y 轴旋转所产生旋转体的体积。

四、证明题

1 4

dx 8 1．证明不等式： 21 x

1

3

2．证明不等式

1

2

1

dx

2

, (n 2)

1 x

n

6

3．设 f ( x) ，g(x)区间

a, a ( a 0) 上连续， g(x)为偶函数，且 f ( x) 满足条件

f ( x) f ( x) A( A 为常数 )。证明：

a

a

g( x)dx

f ( x) g( x)dx

A

a

4．设 n 为正整数，证明

n

n

1

2

cos n

2

cos

x sin xdx n

xdx

2 0

5 ． 设 a

0), 则 曲线

(t) 是 正 值 连续 函数 ， f ( x)x t (t) dt , a x a(a

a

y f (x) 在

a,a 上是凹的。

1

dx

6.证明：

1

dx

x

x

1 x

2

1

1 x 2

7．设 f ( x) 是定义在全数轴上，且以

T 为周期的连续函数， a 为任意常数，则

a T

T a f ( x)dx

f (x)dx

x u x

8．若 f (x) 是连续函数，则

f (t )dt du(x u) f (u)du

9．设 f (x) ， g(x) 在 a, b 上连续，证明至少存在一个

(a,b) 使得

b

f ( ) g( x)dx

g ( )

f ( x)dx

a

b

2

b

2

( x)dx

10．设 f ( x) 在 a,b 上连续，证明：f ( x)dx

(b a) f

a

a

11．设f ( x)在a,b上可导，且 f ( x) M ， f ( a) 0 证明：

b M (b a) 2

f ( x)dx

a 2

《高等数学》练习测试题库参考答案

一．选择题

1—— 10 ABABD CCDAA

11—— 20 ABABB CAADC

21—— 30 DCDAA BCCCA

31—— 40 BABDD CCAAD

41—— 50 ABCDD CACCA

51—— 55 DDCCA

56------60 DACDC

二．填空题

1． 2

2． 3/4

3． 0

4．e-1

5．e-1

6．(31/2+1)/2

7．2

（ 1+ ）4 2

8． 9/25

9．-1 或 1-

2 2 10． 2

11． -1， 0 12． -2

13． 1/5

14． 0

15． 0， 1

16.C＋ 2 x3/2/5

17.F(x)＋C

18.2xe2 x (1+x)

8

6

23./3a

24./6

26.2(31/2-1)

27./2

28.2/3

29.4/3

30.21/2

31.0

32.3 /2

33.(1,3)

34.14

35.

36.7/6

37.32/3

38.8a

39.等腰直角

40.4x+4y+10z-63=0

41.3x-7y+5z-4=0

42.(1,-1,3)

43.y+5=0

44.x+3y=0

45.9x-2y-2=0

46.e-1

48.21/2

49.7/6

50.3x-7y+5z-4=0

三．解答题

1.当 X=1/5 时，有最大值 1/5

2.X=-3时，函数有最小值 27

3.R=1/2

4. 在点(2

,-

ln 2

)处曲率半径有最小值 3×31/2/2 2 2

5.7/6

6.e+1/e-2

7. x-3y-2z=0

8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9.

（-5/3，2/3，2/3）

10. 2(21/2

-1)

11. 32/3 1/2

12. 4×2/3

13. 9/4

a 2

(a 2

-e 2

)

14.

4

15. e/2 16. 8a 2/3

17. 3л/10

2

18.

a

2a

a

(e 2 e 2 )

4

2

19. 160л2

20. 2л2 a 2

b

16 6 21.

3

22. 7л

2 a 3

23. 1+1/2 ㏑ 3/2

3 3

3 8 5 2

25.

2 1

9

26. y p 2 y 2

y

p 2

y 2

2 p

p

ln

p

2

27. 1 a 2 e

a

a

2+5/12

29. 8a

1/2

30.

5×2

31. （ 0， 1，-2） 32. 5a-11b+7c

33. 4x+4y+10z-63=0

34. y 2+z 2

=5x

35. x+y 2+z 2

=9

36. x 轴： 4x 2-9(y 2+z 2

)=36

y 轴： 4(x 2+z 2)-9y 2 =36

37. x 2+y 2(1-x)2

=9 z=0

38. x 2+y 2+(1-x)2

≤ 9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0

40. 2x+9y-6z-121=0

41.

x-3y-2z=0

42. x+y-3z-4=0

1

43.

3 3

44.

x 2 4 = y 1 = z 3

1 5 45.

x 3 = y 2 = z 1

4 2 1

46.

x = y

2 = z 4

2 3 1 47. 8x-9y-22z-59=0

48. (-5/3,2/3,2/3)

3 2

49.

2

50.

17x 31y 37z

117 0

4x y z 1 0

51. R=1/2

52. e+1/e-2

53. 1/2

4 ×2/3

54. 3л/10

四．证明题

1．证明不等式： 2

1

1 x 4 dx

8

1

3

证明：令 f (x) 1

x 4 , x 1,1 则 f ( x)

4x 3 2x 3 1 x 4

1

，

2 x 4

令 f ( x) 0,得 x=0 f(-1)=f(1)= 2 ,f(0)=1

则 1

f (x) 2

上式两边对 x 在 1,1 上积分，得不出右边要证的结果， 因此必须对 f(x)进行分析， 显然有 f ( x)

1 x 4

1 2x 2

x 4

(1 x 2 ) 2 1 x 2 , 于是

1

1 x 4

dx

1

2

)dx, 故 dx

1 (1 x

1 1

1

1

1 x 4

dx

8 2

1 3

1

2．证明不等式

1 dx

2

, (n 2)

1 x n 6

证明：显然当 x

0,

1

时，（n>2）有

2

1

1 1 1

dx 1 dx 1

1

2 2 arcsinx 2

1 x n

1 x

2 2

1 x n

1 x 2

6

1 1 dx

即，

2

, (n

2)

2 0

1 x

n

6

3．设 f ( x) ，g(x)区间

a, a ( a 0) 上连续， g(x)为偶函数，且 f ( x) 满足条件

f ( x)

a f ( x) g( x)dx A a

f ( x) A( A 为常数 )。证明：

g( x)dx

a

a 0

a

证明：

f (x) g( x)dx

f (x) g( x)dx

f ( x)g( x)dx

a

a

0 a

f ( x) g( x)dx

f ( x)g( x)dx 令 x u

f ( u)

g ( u)du

a

a

a a a a a

a

f (x) g( x)dx

f ( x) g(x)dx

f ( x) g( x)dx

f ( x) f ( x) g( x)dx A

g (x)dx

4．设 n 为正整数，证明 2 n x sin n

xdx

1

2

cos n

xdx

cos 2

n

证明：令 t=2x,有

2 cos n xsin n xdx

1 2

(sin 2x) n d 2x

1

sin n tdt

n 1

n 1

2

2 0

1

2

sin n tdt

sin n

tdt ,

2

n 1

2

又，

sin n

tdtt

u

u)du

2

sin n udu ，

sin n (

2

2

所

以

，

2

cos n xsin n

xdx

1 (

2 sin n tdt

2 sin n

tdt )

1

2

sin n

tdt

1

sin n

xdx

n 1

n

n

2 0 0

2 0

2 2

sin n xdxx

t

2

cos n

xdx

又，

2

cos n tdt

2

2

因此， 2

cos n x sin n

xdx 1

2

cos n xdx

2

n

5 ． 设 (t) 是 正 值 连续 函 数 ， f ( x)

a t (t) dt , a x a(a 0), 则 曲线

x

a

y f (x) 在

a,a 上是凹的。

x t ) ( t ) dt

a x ) ( t ) dt

证明： f ( x )

( x ( t

a

x

x (t)dt

x

x

(t )dt x

a x

t (t)dt t (t)dt

a

a a

x

f ( x)

x

a

(t )dt

x x (t )dt

(t)dt

x (t)dt

a

a

a

f ( x) ( x) ( x) 2 (x) 0

故，曲线 y

f (x) 在 a, a 上是凹的。

1

dx 1 dx 6.证明：

x

x

1

x 2

1

1

x 2

令x

1

1

1

1 dx u

1 1

1

du

dx

x

x

证明：

2

1 ? (

2 du)

2

2

x

1 x

x

1

1

u

1

1 u

1

1 x

u 2

7．设 f ( x) 是定义在全数轴上，且以

T 为周期的连续函数， a 为任意常数，则

a T

T

f (x)dx

f ( x)dx

a

a T

f ( x) dx

令 x u T a

a

f ( x)以T 为周期 a 证明：

f (u T )duf ( x

T ) dx

f ( x)dx

T

f ( x T ) f ( x)

a f ( x)dx

a T 0

0 f ( x)dx

T

T

a T T

在等式两端各加

f (x)dx ，于是得

f ( x)dx f ( x)dx

a

x u x

8．若 f (x) 是连续函数，则

f (t )dt du(x u) f (u)du

0 0

x u u 证明：

f (t) dt du u

x

x

f (t )dt

uf (u) du

x

x x f (t )dt

uf (u)du

0 0

x ( x u) f (u)du

9．设 f (x) ， g(x) 在 a, b 上连续，证明至少存在一个

(a,b) 使得

b

g ( ) f ( x)dx

f ( ) g( x)dx

a

x f (t )dt b

证明：作辅助函数 F (x)

g(t )dt ，由于 f ( x) , g( x) 在 a, b 上连续，所以

a

x

F ( x) 在 a,b 上连续，在（ a,b ）内可导，并有

F (a)

F (b) 0 由洛尔定理

F ( )

0, (a, b)

x

b

b x

即

f (t)dt g(t )dt

x x

f (x)

g(t )dt

f (t) dt ? g( x) x

a

x

x

a

b g( x)dx g( )

f ( x)dx

f ( )

a

＝ 0

亦即， f ( )

b

g ( )

f (x)dx

g (x) dx

a

b

2

b

2

( x)dx

10．设 f ( x) 在 a,b 上连续，证明：f ( x)dx

(b a) f

a

a

x 2

x 2

(t)dt 证明：令 F ( x)

f (t )dt

( x a)

a f

a

F ( x)

x

f (t) f (x) 2 dt

0 a

故 f ( x) 是 a, b 上的减函数，又 F (a)

0 ， F (b) F (a) 0

b

2

b f 2

( x) dx

故f ( x)dx(b

a)

a

a

11．设 f ( x) 在 a,b 上可导，且 f ( x)

M ， f ( a) 0 证明：

b

M

(b a)

2

f ( x)dx

a

2

证明：由题设对 x a,b , 可知 f ( x) 在 a,b 上满足拉氏微分中值定理，于是

有

f ( x ) f ( x) f ( a) f ( )( x a ),

a , x

又 f ( x)

M ，因而， f ( x)

M ( x a)

由定积分比较定理，有

b

f (x)dx

b M ( x a)dx

M

(b a) 2

a a

2