第一章导数及其应用单元试卷含答案详解(打印版)
第一章 导数及其应用 本章练测
建议用时 实际用时
满分 实际得分
120分钟
150分
一、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1.若
'0()3
f x =-，则000
()(3)
lim
h f x h f x h h →+--
=( )
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12- 2．函数32
3922y
x x x x 有
( )
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值 3．函数x
x y 1
42
+
=的单调递增区间是( ) A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞
C ．),2
1
(+∞ D ．),1(+∞
4．函数x
x
y ln =的最大值为( )
A ．1e -
B ．e
C ．2e
D ．
3
10
5.已知曲线3211
4732
y x x x =++-在点Q 处的切线
的倾斜角α满足216
sin 17
α=，则此切线的方程为( )
470x y -+=或
Ｂ．
Ｃ．470x y --=或
Ｄ．470x y --=
6.抛物线在点M
处的切线倾斜角是
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 7.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式恒成立.若
，
，
，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8.函数
)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数
)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数
)(x f 在开区间
),(b a 内的极小值点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
a
b
x
y
)
(x f y ?=O
9.已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72
x ，则f (－a 2
)与f (－1)
的大小关系为( )
A ．f (－a 2
)f (－1)
B ．f (－a 2)f (－1)
C ．f (－a 2
)f (－1)
D ．f (－a 2
)与f (－1)的大小关系不确定
10.已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2
－a (a ＋2)x ＋b －2(a ≠1)的图象过原点，且在原点处的切线的斜
率是－3，则不等式组所确定的平
面区域在圆x 2＋y 2
＝4内的面积为( )
A .π B. π
2
C. π
3 D .2π
11.已知函数f (x )＝x 3
＋mx 2
＋(m ＋6)x ＋1既存在极
大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 12.设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f(x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3，0)∪(3，+∞)
B ．(－3，0)∪(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D ．(－∞，－3)∪(0，3)
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分) 13.已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，
则______.a = 14．若
32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是
增函数，则,,a b c 的关系式为 .
15.已知sin (ππ)1cos x
y x x
=∈-+，，，当2y '=时，
x = ．
14.在曲线
的切线斜率中斜
率最小的切线方程是_________.
三、解答题(本题共5小题，共74分) 17.(本小题满分14分)求下列函数的导数: (1)；
(2)
；
(3)y =(1-)
.
19.(本小题满分14分)已知
c bx ax x f ++=24)(
的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是
2y x =-.
(1)求)(x f y =的解析式；
21.(本小题满分
16
分)已知函数
()ln f x ax x =+()a ∈R .
(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；
(2)求()f x 的单调区间；
(3)设2
()22g x x x =-+，若对任意
1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围.
22.(本小题满分16分)已知平面向量
，若存在不同时为0的实
数
k
和
t ，使2
(3),,t k t =+-=-+x a b y a b 且
⊥x y ，试确定函数()k f t =的单调区间.
第三章导数及其应用本章练测答题纸
得分:_________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题
13.___________ 14. ___________ 15. ___________ 16. ___________
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
第一章 导数及其应用 本章练测答案
一、 选择题 1．D 解析:'000000
0()(3)()(3)
lim
4lim 4()12.4h h f x h f x h f x h f x h f x h h
→→+--+--===-
2．C 解析:令'
23690, 1.y
x x x =--==-得 或
33时，不满足题意，故舍去.
当x 在(－2,2)上变化时，的变化情况如下表: x
(－2，－1)
－1 (－1，2)
＋
0 － y
5
由上表可知，函数y 有极大值5，无极小值.
3．C 解析:令3'
3
22
181180,810,.2
x y x x x x x -=-=>->>即得 4．A 解析:令'''
22
(ln )ln 1ln 0, e.x x x x x
y x x x -?-====得
当x 变化时，随x 的变化情况如下表:
x
(0，e)
e
(e ，+∞)
＋ 0
－
y
由上表可知，函数y 在x =e 时取得最大值，最大值.
5.C 解析:由得则切线的斜率.因为，
当，此时点Q的坐标为(0，)或
当时，没有满足题意的点,故舍去.
6.B 解析:因为，所以抛物线在点处的切线斜率为1,倾斜角为.
7.C 解析:设g(x)＝xf(x)，由y＝f(x)为R上的奇函数，可知g(x)为R上的偶函数．
而g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x).
由已知得，当x∈(－∞，0)时，g′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增.
由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为＝g(－2)＝g(2)，且，故.
8.A 解析:若处取得极小值点，则,在的左侧，在
的右侧.据此可知，f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.
9.A 解析:由题意可得.
由＝1
2
(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝
7
3
.
当时，为增函数；当时，为减函数，当x>时，为增函数.
所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．10.B 解析:由题意得．
解得
则不等式组为
如图所示，阴影部分的面积即为所求．
易知图中两锐角的正切值分别是.
设两直线的夹角为，则tan ＝tan(
)＝12＋131－12×
13
＝1，所以＝π4，而圆的半径是2，
所以不等式组所确定的区域在圆内的面积
.
11.B 解析:函数f (x )＝x 3
＋mx 2
＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值， 所以方程有两个不同的实数根. 由
得m 的取值范围为
．
12.D 解析:因为
，则
在x ＜0时递增.
又因为分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，所以
在x ＞0时也是增函数．
因为
所以当时，
可转化为，即
； 当
时，
可转化为
，即
.
二、填空题
13. 解析:设切点P (x 0，y 0).因为
，所以
.
由题意知x 0-y 0-1=0， ①
y 0=ax 02
， ② 2ax 0=1， ③ 由①②③解得:
．
14．2
3b ac ≤ 解析:由题意知
'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知
则
，
即
15. 解析:
14.3x －y －11＝0 解析:因为
，令切线的斜率
，当k 取
最小值时，
，此时切线的斜率为3，切点为(-1,-14)，切线方程为，即
.
三、解答题 17.解:(1)因为，所以
(2)因为=
，所以
(3)因为
=
=，
所以=
18．解:(1)因为
c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c = ①.
'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+= ②.
由题意得切点为(1,1)-，则
c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，
得 ③.
联立①②③得
(2)令得
当x 变化时，
x
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
由上表可知，函数
的单调递增区间为
19.解:(1)
由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，
此时f (1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2)
，令
＝1－8a ．
当a ≥ 1 8时，≤0，f '(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)单调递减．
当0＜a ＜ 1
8
时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，
不妨设
，
则当
时，f '(x )＜0，当时，f '(x )＞0，
这时f (x )不是单调函数． 综上，a 的取值范围是[
1
8
，＋)． 20.解:(1)由已知1
()2(0)f x x x
'=+
>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.
(2)11'()(0)ax f x a x x x
+=+
=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，
所以函数()f x 的单调递增区间为.
②当0a <时，由'()0f x =，得1x a
=-
. 在区间1(0,)a
-上，()0f x '>；在区间1(,)a
-+∞上，()0f x '<，
所以函数()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.
由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例:存在3
3
(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) 当0a <时，函数()f x 在
上单调递增，在
上单调递减，
故()f x 的极大值即为最大值，11
()1ln(
)1ln()f a a a
-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31
e
a <-.
21．解:由13
(3,1),(,
)2=-=a b 得0,2, 1.===a b a b 22222[(3)]()0,(3)(3)0t k t k t k t t t =+--+=-+--+-=即，x y a b a b a a b a b b
331
430,()(3).4
k t t k f t t t -+-===-即可化为
令
当t 变化时，
的变化情况如下表:
t
－1
(－1，1)
1
(1，+)
＋0 －0 ＋
由上表可知，的单调递增区间为单调递减区间为