2020届二轮复习利用函数解决实际问题学案(全国通用)

微专题13利用数学模型解决实际问题

一、基础知识：

1、使用函数模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值

（2）需用到的数学工具与知识点：

①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。

②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值

③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。

④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解

（3）常见的数量关系：

①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：

平行四边形面积=底?高梯形面积=1

?（上底+下底）?高

三角形面积=1

?底?高

②商业问题：

总价=单价?数量利润=营业额-成本=货物单价?数量-成本

③利息问题：

利息=本金?利率本息总和=本金+利息=本金?利率+本金

（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。

2、使用线性规划模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题

（2）与函数模型的不同之处

① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）

② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。

（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决

（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题

（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关（2）需要用到的数学工具与知识点：

① 正弦定理：设ABC V 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则有sin sin sin a b c

A B C

② 余弦定理（以a 和对角A 为例），2

2cos a b c bc A =+- ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数()sin y A x ω?=+的值域（3）解题技巧与注意事项：

① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中

② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围二、典型例题：

例1：如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。已知3AB =米，2AD =米。

（1）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围；

（2）若)4,3[∈x （单位：米），则当,AM AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。

（1）思路：根据相似三角形可得线段比例：

ND DC AN AM =

，从而解出32

AM x =-，则232AMPN

x S AN AM x =?=-，从而可得

3322

x x >-，解出x 的范围即可解：NDC NAM QV :V ND DC

AN AM

∴

DC AN DC AN x

AM ND AN AD x ??∴===

-- 232

AMPN

x S AN AM x ∴=?=- 依题意可得：

()2

233233264002

x x x x x >?-+>>- 解得：()82,8,3x ??∈+∞ ???

（2）思路：求AMPN 面积的最大值，即求表达式()2

x f x x =-的最大值，分离常数求解即

可

解：设()2

x f x x =- )4,3[∈x

()4432=32422f x x x x x ????

∴=++-++ ? ?--????

设2t x =-，则[)1,2t ∈ 则434y t t ?

+ ??

，根据对勾函数可得：1t =时，y 达到最大值，即27y = 此时13t x =?=，所以33,92

AN AM x ==

=- 答：当3,9AN AM ==时，四边形AMPN 的面积最大，为2

27m

例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式

()2

462

m y x x =

+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．

（1）求m 的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）解：（1）将4,21x y ==代入关系式可得：()2

21446102

m m =

+-?= （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为()2x -元，所以总的利润

()()()210

2462f x x x x ??=-+- ?-??

，其中26x <<，利用导数判定()f x 的单调性，进而

可求得最大值点x

解：依题意所获利润()()()()210

22462f x x y x x x ??=-=-+-

?-??

化简可得：()3

456240278f x x x x =-+- ()26x <<

()()()'21211224043106f x x x x x ∴=-+=--

令()'

x >，即解不等式()()31060x x -->

26x <

x <

()f x ∴在102,3?? ???单调递增，在10,63??

???

单调递减

()f x ∴在10

x =

取得最大值，即 3.3x ; 例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）

满足关系式???????≤≤--<<-+-=159,6

177,96,)9(6

1502

x x x x x a x y ，其中a 为常数.已知销售价格为8元/kg 时，

该日的销售量是80kg. （1）求a 的值；

（2）若该商品成本为6元/kg ，求商品销售价格x 为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大.

解：（1）当8x =时，()2

150808986

a =

+--，解得：5a =

()2150

59,696

177,9156

x x x y x x x ?+-<

（2）思路：依题意可得销售商品所获得利润()()6f x x y =-?，所以()f x 也是一个分段函数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出()f x 的最大值。解：设商品利润为()f x ，则有()()6f x x y =-?，由第（1）问可得：

()()()()()2150

659,69661776,9156x x x x f x x y x x x x ???-+-<

=-=????--≤≤ ??-???

当69x <<时，()()()2

150596f x x x =+--

则()(

)()()()()2

592691579f x x x x x x ??=-+--=--??

令()'

x >，由()6,9x ∈ 解得：67x <<

()f x ∴在()6,7单调递增，在()7,+∞单调递减 ()()7170f x f ∴≤=

当915x ≤≤时，()()2

17763186f x x x x =-+=--+

()f x ∴在()9,15单调递减 ()()9150f x f ∴≤= ()()79f f ∴≥ ()max 170f x ∴=

例4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为

1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准

如下：7天以内（含7天），无论重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付

（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？

（2）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解：（1）第8天剩余配料为2200400?=（千克）第9天剩余配料为200千克

∴该厂用于配料的保管费为：700.034000.0320088P =+?+?=（元）

（2）当7x ≤时，36010236236370y x x x =++=+

当7x >时，()()3602367067621y x x x =+++-+-+++????L 2

3321432x x =++ 综上所述：2

236370,73321432,7

x x y x x x +≤?=?

++>?

设W 为平均每天支付的费用，则2236370,7

3321432

x y x

W x x x x x +?≤??==?++?>??

当7x ≤时，236370236370x W x x +=

=+，当7x =时，min 28264047

W =≈

当7x >

时，432144332133213321393W x x x x ?

?=++=++≥?+= ??

? 等号成立条件：144

12x x x

?= min 393W ∴=（元）

例5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是5元，每人可为3位老人服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元，如何安排甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少人？

思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校人数的不等式，所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为x ，乙校人数为y ，所求问题为目标函数35z x y =+，列出约束条件后通过数形结合即可求出z 的最大值解：设甲校人数为x ，乙校人数为y ，依题意，,x y 应满足的条件为：

53451

,x y x y x y N *?+≤?

-≥??∈?

目标函数33555

z x y y x =+?=-+

，通过数形结合可得。动直线l 经过M 时，z 取得最大值

53456

:15

x y x M x y y +==?????

-==??Q ()6,5M ∴ max 3543z x y =+=

例6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，45BAD ∠=o 。

（1）分析救生员的选择是否正确；

（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 到B 的时间为最短，并求出最短时间

解：（1）思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到B 处时间短，所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。解：从图形可得：300

3002sin 45

AB =

，所以1300215022t ==（s ）而300AD BD ==，所以2300300

20062

t =

+=（s ） 12t t >Q ，所以救生员的选择是正确的

（2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量x ，并构造出时间关于x 的函数()f x ，再求出()f x 的最小值即可。不妨设CD x =，则22300BC x =

+，所以时间

()22

30030062

x x f x -+=+，再求导求出()f x 的最小值即可

解：设CD x =，则22300BC x =

+，设所用时间为()f x

∴ ()22

30030062

x x f x -+=+ ()22'

22221130036223006300x x

f x x x

-++∴=-+?=

++ 令()'0f x >，即解不等式2222330003300x x x x -+>?>+

9300x x ∴>+ 2

3008

x ∴>，解得：752x >

()f x ∴在()0,752单调递减，在()

752,300单调递增

()()

min 752501002f x f ∴==+（秒）

答：当752CD =时，救生员所用的时间最短，为501002+秒

答：甲，乙两校参加活动的人数分别为6和5时，受到服务的老人最多，最多为43人例7：某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2

，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m 2

，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m 2

，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x 间，小房间为y 间，每天的房租收益为z 元），求,x y 各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？

思路：本题的主要变量是,x y ，从题目中可发现对,x y 的约束条件有3个，一个是房间数必须是非负整数，所以,x y N ∈，第二个条件是室内面积为2

180m ，所以大小房间面积和要不大于2

180m ，第三个条件是装修费用总和不高于8000元，据此列出约束条件：

181518010006008000,x y x y x y N +≤??

+≤??∈?

，所求收益200150z x y =+，所以该模型为线性规划问题，数形结合即可。解：依题意可得对,x y 的约束条件为：

18151806560100060080005340,,x y x y x y x y x y N x y N +≤+≤????

+≤?+≤????∈∈??

，所求目标函数为200150z x y =+ 作出可行域，依图可得：直线过()3,8M 或()0,12M 时，z 最大，即max 18000z = 答：当大房间为3间，小房间为8间；或者不设大房间，小房间为12间时，收益最大，最大值为18000元

例8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R 的圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界4AB AD ==万米，

6BC =万米，2CD =万米

（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面半径R 的值

（2）因地理条件的限制，边界,AD CD 不能变更，而边界,AB BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地

APCD 的面积最大，并求最大值

解：（1）在ABC V 中，由余弦定理可得：

2222cos AC AB BC AB BC B =+-?? ①

在ADC V 中，由余弦定理可得：

2222cos AC AD DC AD DC D =+-?? ②

因为四边形ABCD 内接于圆 180B D ∴∠+∠=o

cos cos B D ∴=- 所以由①②可得：2

246246cos 42242cos B B +-??=++??

解得：1

cos 602

B B =?∠=o 120D ∴∠=o 11

sin sin 22

ABCD ABC ADC S S S AB BC B AD DC D ∴=+=??+??V V

1146sin6024sin1208322

=???+???=o o

（万平方米）

由余弦定理可得：

2222cos 28AC AB BC AB BC B =+-??= 27AC ∴=

27421

2sin 33

AC R B ∴=

221R ∴= （2）设,AP x CP y ==，可知APCD APC ADC S S S =+V V

由（1）可知23ADC S =V ∴若要APCD 面积最大，只需APC S V 最大

113sin sin 224

APC S AP CP P AP CP B xy =

?=?=V 在APC V 中，由余弦定理可得：2

2cos AC AP PC AP PC P =+-? 即2

282cos6028x y xy x y xy =+-??+-=o

222x y xy +≥Q

22282x y xy xy xy ∴=+-≥-，即28xy ≤当且仅当x y =时，等号成立

2323289344

APCD S xy ∴=+

≤+?= 所以四边形APCD 的最大面积为93万平方米

例9：如图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,120AB m BC m ABC ==∠=o

，拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积比为3:1的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设,EB x EF y ==（单位：m ）

（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置（2）求y 关于x 的函数表达式

（3）试确定点,E F 的位置，使得直路EF 长度最短解：（1）当F 与C 重合时，1

BEF S BE h =

??V （设h 为平行四边形的高） ABCD S AB h =?

依题意可得：14BEF ABCD S S =

V 即11

BE h AB h ??=?? 1

BE AB ∴=

即E 为AB 的中点（2）E Q 在线段AB 上

020x ∴≤≤

当[]10,20x ∈时，可得F 在线段BC 上

20,10,120AB m BC m ABC ==∠=o Q ∴

sin 2010ABCD S AB BC ABC =??∠=?=Y

EBF ABCD S S ∴=

=V Y

1sin1202EBF S BE BF x BF =??=

?o V Q 100

BF x

∴=

∴在BEF V 中 2

22221001002cos 2cos120EF BE BF BE BF EBF x x x x ??

=+-?=+-? ?

y EF ∴== 当[)0,10x ∈时，点F 在线段CD 上，此时四边形EBCF 为梯形或平行四边形

()()110sin602EBCF S x CF ∴=

+??o

，由1

EBCF ABCD S S ==Y 10CF x =-

当BE CF ≥时，

EF ==

当BE CF <时，

EF ==

即y =

综上所述可得：2010

x y x ≤≤∴=≤

10,20x ∈

时，y =≥= 等号成立条件：2

10000

10x x x =

?= 当[)0,10x

∈

时，y =≥

等号成立条件：52

x =

min 53y ∴=，此时 2.5,7.5BE CF ==

例10：如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()

(]sin 0,0,0,,4,0y A x A x ω?ω?π=+>>∈∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -，边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ，游乐场的后一部分

边界是以O 为圆心的一段圆弧?DE

（1）求曲线FGBC 的函数表达式

（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G ，修一条笔直的景观路

到

O ，求景观路GO 的长度

（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸

线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧?DE

上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值解：（1）由()1,2B -可知2A =，()4,0F -Q

∴ 对于()sin y A x ω?=+，()()41412T =---=????

T ππ

ω∴=

= 此时2sin 6y x π???

???

，由图像过()1,2B -可得： 2sin 2sin 166ππ??????

-+=?-+= ? ?????

()262k k Z π

?π∴-

+∈

2=3

π?∴ ∴ 曲线FGBC 的函数表达式为22sin 6

3y x π

π??=+

???

（2）由已知可得1G y = 2212sin 1sin 63632

G G x x π

ππ

π????∴+

=?+=

????? 2=26

36G x k π

πππ∴

+或25=2636

G x k ππππ++ 解得：312G x k =-+或112G x k =+，由()4,0G x ∈-可得：()3,1G -

OG ∴=

（3）由图可知，1OC CD =

2,6

DO COD π

∴=∠=

过P 作1PP x ⊥轴于1P

∴ 在1Rt OPP V 中

1sin 2sin PP OP θθ==

在OMP V 中

()

sin120

sin 60OP OM θ=

-o

()sin 602cos sin120OP

OM θθθ∴=

?-=-o

2cos 2sin 2sin 2333OMPQ

S OM PP θθθθθ??∴=?=-?=+- ???

20,3633ππθθ????

+-∈ ? ?????

θθ∴+

时，OMPQ S 的最大值为

实际问题与反比例函数(教案)

第2课时实际问题与反比例函数（2）【知识与技能】运用反比例函数解决实际应用问题，增强数学建模思想. 【过程与方法】经历“实际问题一数学建模一拓展应用”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力. 【情感态度】进一步锻炼学生的数学应用能力，增强数学应用意识，提高学习数学的兴趣. 【教学重点】用反比例函数的有关知识解决实际应用问题. 【教学难点】构建反比例函数模型解决实际应用问题，巩固反比例函数性质. 一、情境导入，初步认识 “给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆定律”通俗地讲是：阻力×阻力臂=动力×动力臂.由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂

成反比例函数关系. 二、典例精析，掌握新知例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m. (1 )动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【分析】显然本题应用杠杆定律相关知识来解决问题，首先由阻力和阻力臂的数据得到动力F与动力臂l的函数关系式为F=600 l (l＞0),再把l=1 . 5代入，求出动力的大小.注意“橇动石头至少需要多大的力”表面上看是不等关系，但用相等关系来解决更方便些.而（2)中的问题即可用F=400×1 2 = 200代入求动力臂的长度的最小值，也可利用不等关系，600 l ≤400×1 2 ,得l的范围是l≥3，而动力臂至少应加长1.5米才行. 【教学说明】在本例教学时，应仍由学生自主探究，构建适合题意的反比例函数关系式，让学生加深对反比例函数意义的理解，进一步增强分析问题和解决问题的能力.教师在学生练习过程中，巡视指导，帮助有困难同学形成正确认知，在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩固提高：（1 )用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？（2)你能再举一些应用杠杆原理做实际例子吗？

专题：二次函数中的动点问题

y x O 二次函数中的动点问题（二）平行四边形的存在性问题一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图象开口对称轴顶点坐标最值当x ＝时，y 有最值是当x ＝时，y 有最值是增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。

由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2; 4、二次函数中平行四边形的存在性问题：解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）（1）求抛物线的解析式；（2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

利用反比例函数解决实际问题

3.利用反比例函数解决实际问题第1题. （2007安徽课改，4分）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为x y ，，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（）答案：A 第2题. ．(2007安徽芜湖课改，5分)在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是米．答案：0．5 第3题. （2007广东梅州课改，3分）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为．答案：100 y x = 第4题. （2007甘肃陇南非课改，3分）你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度у（cm ）是面条粗细（横截面积）x （cm 2 ）的反比例函数，假设其图象如图所示，则у与x 的函数关系式为__________ ．答案：128 y x = ，x >0 第5题. （2007广东茂名课改，4分）已知某村今年的荔枝总产量是p 吨（p 是常数），设该村荔枝的人均产量为y （吨），人口总数为x （人），则y 与x 之间的函数图象是（） x A ． x B ． x C ． x D ． 12 12 A ． B ． C ．

答案：D 第6题. （2007广西南宁课改，3分）已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（）答案：C 第7题. （2007黑龙江佳木斯课改，3分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积v 时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与v 在一定范围内满足m v ρ= ，当7kg m =时，它的函数图象是（）答案：D 第8题. （2007湖北十堰课改，3分）根据物理学家波义耳 1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强()a p p 与它的体积3 ()v m 的乘积是一个常数k ，即pv k =（k 为常数，0k >），下列图象能正确反映p 与v 之间函数关系的是（）答案：Ｃ第9题. （2007吉林长春课改，7分）如图，在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，过 A 作x 轴的平行线，交函数2(0)y x x =-<的图象于 B ，交函数6 (0)y x x =>的图象于C ，过C 作y 轴的平行线交BD 的延长线于D ． A ． B ． C ． D ． A ． ) B ． ) C ． ) D ． ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

用二次函数解决问题优秀教案

用二次函数解决问题【教学目标】 1．会运用二次函数的有关知识求实际问题中的最大值或最小值； 2．能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题。【教学重点】运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。【教学难点】如何根据实际情况把现实生活中的相关问题转化为二次函数问题。【教学过程】一、温习旧知：二次函数图像与性质二、示标导学：

三、反馈练习：四、拓展练习 (2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）。（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于 1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完。在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润。【作业布置】 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

2． 3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间。市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？ 4．（2014?武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90 售价（元/件）x+4090

反比例函数与实际应用应用题

实际问题与反比例函数（1） 1．京沈高速公路全长658km，汽车沿路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）,（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？5．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天, （1）则y与x之间有怎样的函数关系（2）画函数图象（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？实际问题与反比例函数 (二) 达标练习： 1、某蓄水池的排水管每小时排水8米3，6小时可交将满池水全闻排空。（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果每小时排水量达到Q（米）3，那么将满池水排空所需时间为t(小时)，

写出t 与Q 之间的函数关系。 2、学校锅炉旁建有一个储煤为库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完。若每天耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天。（1） y 与x 之间有怎样的函数关系？（2）请画出函数图象；（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？巩固提高 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？实际问题与反比例函数（三）求反比例有关的面积 1、如图2，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x y 8 于点B ，连结BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，△BOD 面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1 S 2。（选填“>”“<”或“＝”）面积= 。 O x y 图2 A B D P C

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。共同点：

22.3实际问题与二次函数(1)教案

22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标： 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y ＝ax 2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式是教学的重点。难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2 (a ＜0) (1) 因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2 ＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22 所以a ＝－0.2 因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。二、引申拓展问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，拱高OC ＝0.8m ，所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。

实际问题与反比例函数教学反思.doc

实际问题与反比例函数教学反思反思一：实际问题与反比例函数本节课通过四个例题讨论了反比例函数的某些应用，在这些实际应用中，备课时注意到与学生的实际生活相联系，切实发生在学生身边的某些实际情境，并且注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释，用以加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系。本节的主要目标是让学生逐步形成用函数的观点处理问题意识，体验数形结合的思想方法。教学时，能够达到三维目标的要求，突出重点，把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。用函数的观点处理实际问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，注意分析的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新理解（这是什么？可以看成什么？），让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。通过教师的逐步引导，通过常用基本的公式等使学生顺利的实现由实际情景转换成数学问题，完成思维的过渡。不足之处：本节课虽然能够达到三维目标的要求，突出重点，但由于本班学生两极分化现象严重，部分学困生在解决问题的过程中，还是不能够充分利用函数图象的规律来解决问题。反思二：实际问题与反比例函数教学反思

一、本节课的教学内容为反比例函数的图像与性质的新授课第三节课，在“数形结合"的主线下，使学生具有自我更新知识的能力，具有可持续发展的能力。二、首先简单复习反比例函数与一次函数的表达式、图像、图像象限和增减性，其次利用基础训练的五个题目求反比例函数表达式和图像及增减性，复习一下代入法和待定系数法；三、例题精讲，在例题的处理上我注重了学生解题步骤的培养；同时通过题目难度层次的推进；拓宽了学生的思路。在变式训练之后，又利用导学案补充了一个综合性题目的例题；达到在课堂中就能掌握比较大小这类题型。但在补充例题的处理上点拨不到位，导致这个问题的解决有点走弯路. 例题在本节既是知识的巩固又是知识的检测，通过这组题目的处理，发现学生对所学的一次函数坐标等方面可以有一点的复习?从整体来看，时间有点紧张，尤其是最后一个与一次函数相结合的综合性题讲解得太少，学生还不太能理解，导致小结很是仓促，而且是由老师代劳了，没有让学生来谈收获，在这点有些包办的趋势四、不足：虽然在题目的设计和教学设计上我注重了由浅入深的梯度，但有些问题的处理方式不是恰到好处，有的学生课堂表现不活跃，这也说明老师没有调动起所有学生的学习积极性，本节课的时间分配上还可以再调整；总之，我会在以后的教学中注意细节问题的. 反思三：实际问题与反比例函数教学反思

二次函数动点问题解答方法技巧分析

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 二、抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.

注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题(动点)

九年级数学上22.3实际问题与二次函数第二课时教案

22.3 实际问题与二次函数（第2课时）教学目标: 1.知识与技能：将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 2.过程与方法：通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 3.情感态度：感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 教学重点：利用二次函数解决有关拱桥问题. 教学难点：建立二次函数的数学模型. 教学过程：一、问题导入问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+. （2）P =()()()2 2402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =． ∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

实际问题与反比例函数说课稿

《实际问题与反比例函数》第一课时说课稿各位领导、各位评委：你们好，今天我说课的题目是《实际问题与反比例函数》。一．教材分析㈠．教材的地位与作用本节课是新人教版八年级下册第十七章第二大节的第一课时，是在前面学习了什么是反比例函数、反比例函数的图象和性质的基础上的一节应用课。这一课时的内容符合新课程理念和新课程要求即数学要面向实际生活和社会实践。反比例函数的知识在实际生活和生产中经常用到，掌握这些知识对学生参加实践活动、解决日常生活中的实际问题具有实际意义，进一步体验现实生活与函数密切联系。㈡．教材目标分析本节是将反比例函数知识应用到实际生活中的一个很好的例子，它是前面几节课的综合应用。由于函数知识在日常生活中有重要的实用意义，根据教学大纲的明确规定并结合素质教育要求，通过本节课的教学应达到以下目标： ①、知识目标反比例函数来源于生活又应用到实际生活中去，本节课的内容要使学生明确生活中有一类两个变量的乘积为定值的实际问题可转化为反比例函数问题来解决的思想方法，进一步体验现实生活与反比例函数的关系。即从实际问题中出发建立数学模型这一重要数学思想。 ②、能力目标培养学生自主学习与合作交流能力，将理论知识灵活应用到实际问题的能力，以及培养学生的应变能力。 ③、情感目标 ①通过本节知识的学习，使学生明白，利用反比例函数的知识可以解决生活中的许多问题，从而进一步提高学生学习数学的兴趣，激发他们探求数学知识奥秘的好奇心。 ②使学生明白事物是普遍联系的。㈢、教学重难点 ①重点我认为本节课的教学重点是用反比例函数知识解决实际生活问题的函数关系。现实生活中处处有数学，学以致用才是我们的最终目的。 ②难点如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，用数学知识解决实际问题和其他学科问题。二、教学分析 1、根据新课程标准，让学生面对实际问题时，能主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略。我采用的教学方法是让学生课前预习，课时学习，课后复习的三步骤。每上一节新课之前，我都会布置下节课的知识点，作为课前五分钟提问的内容，上课的时候引导小组讨论，交流意见，不仅加深了学生对反比例函数的理解与应用，还提高了学生发现问题和分析问题的能力，以及语言表达能力，更注重提高学生的综合应用能力。 2、采用引例举证的教学方式，利用生活中的实例，活跃课堂气氛，调动学生

人教版第2套人教初中数学九上 22.3 实际问题与二次函数教案

22.3 实际问题与二次函数教学目标知识和能力 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。过程和方法让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。情感态度价值观教学重点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式教学难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式教学准备教师多媒体课件学生“五个一” 课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高 AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y 轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB 2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

人教版初三数学上册二次函数与动点问题

（2）过点P作PF垂直AB，垂足为F 因为AQ=t，所以QB=8-t，PB=t 由图可知，PF//CE,所以PF CE = PB BC ，即PF 4 = t 5 , PF= 4 5 t, 所以S=1 2 QB?PF= 1 2 ? 4 5 t（8-t）=- 2 5 t2+ 16 5 t =-2 5 （t-4)2+ 32 5 故，当t=4时，S取得最大值，最大值为32 5 . （1）解：过点C作CE垂直AB，垂足为E 求得CE=4，BE=3，BC=5，所以，当t=5时，P、Q两点停止运动。（3）当PQ=PB时，过P作PF垂直AB，垂足直为F，则有BF=1 2 BQ, 由PF//CE可得，BF BE = BP BC ,即 BF 3 = t 5 ，BF= 3 5 t, 所以3 5 t= 1 2 （8-t），t= 40 11 . 当BQ=BP时，有8-t=t，t=4.

当QB=QP 时，过Q 作QG 垂直BC ，垂足为G ，则BG=12BP=12 t.此时，ΔBGQ~ΔBEC ，所以BG BE =BQ BC ,即，12t 3=8-t 4，t=245 .所以，当t=4011或4或245 时，ΔPQB 为等腰三角形. （2）1.当 EFG 在梯形内部，重叠部分面积就是ΔEFG 的面积， ∴y=12x 2. 2.当2

实际问题与反比例函数习题精选

1．下列函数表达式中，x 均表示自变量：①y=-25x ，②y=2x ，③y=-x -1 ，④xy=2， ⑤y=11x +， ⑥y= 0.4 x ，其中反比例函数有（）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2．点(13)P ，在反比例函数k y x = （0k ≠）的图象上，则k 的值是（）． A ．13 B ．3 C ．1 3 - D ．3- 3．体积、密度、质量之间的关系为：质量=密度?体积．所以在以下结论中，正确的为（）． A ．当体积一定时，质量与密度成反比例． B ．当密度一定时，质量与体积成反比例． C ．当质量一定时，密度与体积成反比例． D ．在体积、密度及质量中的任何两个量均成反比例． 4．若反比例函数y ＝x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（）． A ．（2，－1） B ．（－ 21，2） C ．（－2，－1） D ．（2 1 ，2） 5．已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（）． 6．当x<0时，反比例函数y=－ x 21 的图像（）． A ．在第二象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而减大 C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小 D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小 7．若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（）． A ．成正比例 B ．成反比例 C ．不成正比例也不成反比例 D ．无法确定 8．如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线 y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（）． A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．保持不变 D ．无法确定 9．函数y=k （x-1）与y=- k x 在同一直角坐标系内的图象大致是（）． v /(km/h) O v /(km/h) O v /(km/h) O A ． B ． C ． D ．

中考二次函数与几何图形动点问题--答案

二次函数与几何图形模式1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.

2、如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第一课时教案

22.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（1） ※教学目标※ 【知识与技能】 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值. 【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究||，让学生经历数学建模的基本过程||，体会建立数学模型的思想. 【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型||，感受数学的应用价值||，增强数学的应用意识. 【教学重点】通过解决问题||，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题. 【教学难点】分析现实问题中数量关系||，从中构建出二次函数模型||，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※ 一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球||，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时||，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习||，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地||，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时||，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式||，再求出使S 最大的l 值. 矩形场地的周长是60m||，一边长为l m||，则另一边长为 ||，场地的面积S= .化简得S= .当l= 时||，S 有最大值 . 探究2 某商品现在的售价为每件60元||，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格||，每涨价1元||，每星期要少卖出10件；每降价1元||，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元||，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元||，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时||，每星期少卖10x 件||，实际卖出()30010x -件||，销售额为()60x +· ()30010x -元||，买进商品需付()4030010x -元.因此||，所得利润 ()()()60300104030010y x x x =+---||，即2101006000y x x =-++||，其中||，0≤x ≤30.

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形的边长．（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．（3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个．（抛物线ABCD的顶点坐标是． [解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD． ABCD ，即 ABCD ． ABCD ．ABCD ．ABCD，

ABCD ．即 ABCD ． ABCD ，且 ABCD ， ABCD当 ABCD 时，ABCD有最大值．此时 ABCD ， ABCD点ABCD的坐标为 ABCD ．（8分）方法二：当ABCD时， ABCD ．设所求函数关系式为．抛物线过点，．，且，当时，有最大值．此时，点的坐标为．（4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。． 2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求的度数．（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由．解: （1）ABCD．

2020届二轮复习 利用函数解决实际问题 学案(全国通用)