1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立；
当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：
???
????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）a x f >)(恒成立min )(x f a
2）a x f <)(恒成立max )(x f a >?
1．已知两个函数2()816f x x x k =+-，
32()254g x x x x =++，其中k 为实数
.
(1)若对任意的[]33，
-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； (2)若对任意的[]3321，
、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.
【分析及解】 (1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23,
问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可
∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F ,
由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .
∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，,
∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .
(2)由题意可知当[]33，
-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x .
∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(,
∴120)(max +-=k x f .
由04106)(2'=++=x x x g 得3
21-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 27
28)32(-=-g , ∴21)(min -=x g .
则21120-≤-k , 解得141≥k .
(3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，
由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+，
32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，
于是，[][]8,12021,111k k ---+?-，即满足 821,120111.
k k --≥-??-+≤?解得913k ≤≤
2．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23，
则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立
令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或
而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=-
∴045)(max ≤-=a x F
∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。
3．函数),1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，
即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x
a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a
注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x
a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小4. 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.
解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2
)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2
37)2()(22m in a f x f a 或???
????≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--.
值。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >?
2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g
实际上，上题就可利用此法解决。
略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。
1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+- ???
，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x
+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()2
3924f x x ??=--+ ??
? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=
在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ????? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322
a ∴-<<
3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(解： 将问题转化为x
x x a 2
4-<对]4,0(∈x 恒成立。 令x
x x x g 2
4)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=x
x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g
∴0注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.
解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈?x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为
求函数的最值问题. 对于543],5,1[2
++->+-∈?x x k kx x 恒成立3542+++->?x x x k 对于]
5,1[-∈?x 恒成立,令]5,1[,3542-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1时2m ax =y , ∴k 的取值范围是k >2.
变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.
由题意得，对于54)3(],5,1[22++->+-∈?x x x k x 恒成立22)3(54+++->
?x x x k 对于]5,1[-∈?x 恒成立,令]5,1[,)3(5
422-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则
,169)454(1101622+--=-+-
=t t t y ]8,2[∈t ， 时即当51,454==∴x t ,169max =y , ∴k 的取值范围是k >169
.
4. 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且
f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n
m n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.
解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立?1212+-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，即022≤-t ta 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，令22)(t ta a g -=，只要??
?≤≤-0
)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或．
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.
解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种
情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则???>>-0
)1(0)1(g g ，得133133+-<<--x .
例2、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，
()()()()()()2221210202021210
x x f f x x ?----<--+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。
当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。
当2≠x 时，应有?
??>->0)1(0)1(f f 解之得31>注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为???>>0
)(0)(βαf f 。
四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）?>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；
2）?<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
例1、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ??∈ ???
内恒成立，求实数a 的取值范围。 解：由题意知：23log a x x <在10,3x ??∈ ???
内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数
23y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ??∈ ???
时，若1a >函数log a y x =的图象显然
在函数23y x =图象的下方，所以不
成立；
当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33?? ???
或在这个点的上方，则，11log 33a ≥ 127a ∴≥ 1127
a ∴>≥ 综上得：1127
a >≥
例2．设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13
4)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g
如图所示，)(x f 的图象是半圆
)2(22=++y x
)(x g 的图象是平行的直线系3334=-+-a y x 要使)()(x g x f ≤恒成立，
则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 满足 25
338≥-+-=a d 解得3
55≥-≤a a 或（舍去) 例3 .设函数x x a x f 4)(2+-+-=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,试求实数a 的取值范围.
解析 由题意得)()(x g x f ≤a ax x x 242+≤+-?,令x x y 421+-=①,a ax y 22+=②.
①可化为)0,40(4)2(1212≥≤≤=+-y x y x ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a 为斜率的直线，要使)()(x g x f ≤恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有
21|22|2=++a a a ，即3
3±=a ，由图可知，要使)()(x g x f ≤恒成立，实数a 的取值范围是33≥
a ．
