平面的基本性质

A

C

B

R

P

Q

α

平面的基本性质

要点：

(1)3个公理及公理3的3个推论． (2)3个公理的应用．

例题讲解：

例1：如图，已知ABC ?的各顶点在平面α外，直线,,AB BC AC 分别交平面α于,,P Q R ，求证：,,P Q R 三点共线．

证明：

,P AB AB ∈?平面ABC ，P ∴∈平面ABC ， ,R AC AC ∈?平面ABC ，R ∴∈平面ABC ， 又,P R αα∈∈

由公理2得，平面ABC PR α=，

,Q BC BC ∈?平面ABC ，Q ∴∈平面ABC ，

又Q α∈，∴点Q 在平面ABC 与平面α的交线上，即Q PR ∈，

,,P Q R ∴三点共线．

例2：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行. 求证：l 1、l 2、l 3相交于一点

证明：如图，α∩β＝l 1，β∩γ＝l 2，α∩γ＝l 3，

∵l 1?β，l 2?β，且l 1、l 2不平行 ∴l 1与l 2必相交，设l 1∩l 2=P ， ① 则P ∈l 1?α,P ∈l 2?γ ∴P ∈α∩γ= l 3 ② ∴l 1、l 2、l 3相交于一点P .

例3：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知：直线a ∥b ∥c ，直线l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C. 求证：l 与a 、b 、c 共面. 证明：∵a ∥b

∴a 、b 确定一个平面，设为α

又l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ∴A ∈α，B ∈α 又A ∈l ，B ∈l ∴AB ?α，即l ?α 同理b 、c 确定一个平面β，l ?β. ∴平面α与β都过两相交直线b 与l . 由推论2，两条相交直线确定一个平面. ∴α与β重合.

故l 与a 、b 、c 共面.

平面的基本性质练习题

一、基础训练：

1、给出出下列命题，正确的个数是（ ）

○

1梯形的四个顶点在同一平面内。○2三条平行直线必共面。○3 有三个公共点的两个平面必重合。○4每两条都相交且交点各不相同和四条直线一定共面。

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 解析：○2错，如三棱镜的三条侧棱。○3错，如三点共线时两平面相交。 答案：B 2、平面,,,,,,l A B l C AC l R α

βαβα=∈∈?∈=平面点点且B 点又过A 、B 、C 三

点确定的平面为γ，则βγ=（ ）

A 、直线A

B B 、直线B

C C 、直线BR

D 、直线CR 解析：

,,,,B B R R BR γβγββγ∈∈∈∈∴=且又

答案：C 3、“直线a 和b 相交于平面α内的一点M ”，用符号可表示为（ ） A 、,,a b M a b αα=?? B 、,a M b M αα== C 、,a

b M M α=∈ D 、,a M M b α=∈

答案：C

4、在空间四点中，无三点共线是无四点共面的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件 答案：B

5（选）、如图，在长方体ABC D —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，直线1A C 交平面1AB D 于点M ，则下列结论错误的是（ ）

A 、A 、M 、O 三点共线

B 、A 、M 、O 、A 1四点共面

C 、A 、O 、C 、M 四点共面

D 、B 、B 1、O 、M 四点共面 解析：设平面BB 1D 1D 与直线A 1C 交点为M ，则OM 1//BB 1

1,,,B B O M ∴共面，显然M 1BB O ?平面

答案：D

6、空间首尾相连的四条线段，它们可确定 个平面。 答案：1或4

7、平面α与平面β相交于直线l ，直线,a b 分别在平面,αβ内，且a b 与相交于点D ，上

述语句用数学符号语言表示为 。 答案：,,,l a b a b O α

βαβ=??=

8（选）、若空间三个平面两两相交，则交线条数为 。 答案：1条或3条

9、如图，在正方体ABC D —1111A B C D 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线。

画法：在平面11AA D D 内，延长D 1F

11,D F DA D F DA 与不平行因此与必相交于

一点,设为P ，则1,P D F P DA ∈∈

又

11,D F BED F AD ABCD

??平面平面

P ABCD ∴∈平面

又B 为ABCD 平面和1BED F 平面的公共点

∴连接PB ，PB 即为1BED F 平面与ABCD 平面的交线。

10、三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即,,c a b αββγγα===，若直

线a 和b 不平行。

求证：,,a b c 三条直线必过同一点。

证明：,b a αββγ==

,a b γγ∴??

由于直线a b 与不平行，

,.a b ∴必相交

设,,a

b P P a P b =∈∈则

,a b βα??

A

B

C

D

A 1

B 1

1

D 1

F

E A

B C

D

A 1

B 1

1

D 1

F

E P

,,,,,.

P P c

P c c a b c βαα

β∴∈∈=∴∈∴又即交线经过点P 三条直线必过同一点

12（选）、已知a 、b 、c 、d 是两两相交且不共点的四条直线。 求证：a 、b 、c 、d 共面。

证明：○1无三线共点情况，如图（1），设

,,,a d M b d N c d P === ,,a b Q a c R b c S ===

a d M =

,a d ∴可确定一个平面α

,,,N d Q a N Q NQ b αααα

∈∈∴∈∈∴??即

同理,c α?∴,,,.a b c d 共面

○

2有三线共点的情况，如图（2），设a 、c 、d 三线相交于点K ，与a 分别

交于N 、P 、M 且K a ?

,K a ?∴K 和a 确定一个平面，设为β

,,N a a N ββ∈?∴∈

,NK b ββ∴??即

同理,, c d ββ??∴a 、b 、c 、d 共面

由（2）可知a 、b 、c 、d 共面。