数学建模课后答案

数学建模课后答案 Revised by Jack on December 14,2020

第一章

4.在节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：

已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f

证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则，

由g f 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，

必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f

因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f

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第二章

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)(

(1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，

销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2)

收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3)

利润)()()(x q x f x r -= (4)

将（1）（2）（3）代入（4）求出

当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为

6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线

性关系0,,>-=b a bp a x .

利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销

售价格为2p 。

前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12/011--=?

后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=?

总利润 )()(21p u p u U += 由0,02

1=??=??p U p U 可得到最优价格: 前期销售量 dt bp a T )201?-、（

后期销售量 dt p a T

T )(2/2?-

总销售量 0Q =)(221p p bT aT +- 在销售量约束条件下U 的最大值点为

8~01T bT Q b a p β--= ,8

~02T bT Q b a P β+-= 7.

(1)雨水淋遍全身，22.2)2.0*5.12.0*5.05.0*5.1(*2)(2m ac bc ab s =++=++= 以最大速度跑步，所需时间s v d t m 2005/1000/min ===

(2)顶部淋雨量v bcdw Q /cos 1θ=

雨速水平分量 θsin u ,水平方向合速度 v u +θsin

迎面淋雨量 uv v u abdw Q /)sin (2+=θ

总淋雨量 21Q Q Q +=

当m v v =时，Q 最小，15.10≈=Q ，θL;L 55.1Q 30≈=，。

θ (3)合速度为|sin |v u -α总淋雨量

???????>+-=-+≤-+=-+=ααααααααααsin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos u v v av a c u u bdw v u v a cu u

bdw u v v av a c u u bdw v v u u cu u bdw Q 若0sin cos <-ααa c ,即a c /tan >α,则αsin u v =时Q 最小，

否则m v v =时Q 最小，当。30=α，L Q s m v 24.0,/2,15/2tan ≈=>α最小

（4）雨从背面吹来，满足）。6.7,2.0,5.1(/tan >==>ααm c m a a c ，αsin u v =,Q 最小，

人体背面不淋雨，顶部淋雨。

（5）侧面淋雨，本质没有变化

第四章

1.（1）设证券A B C D E 的金额分别为 54321,,,,x x x x x

(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加百万元，大于以%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A ，C ，E 分别投资百万元，百万元，百万元，最大税后收益为百万元。

(3)由（1）可知，证券A 的税前收益可增加%，若证券A 的税前收益增加为%，投资不应改变。证券C 的税前收益可减少%，故若证券C 的税前收益减少为%，投资应该改变。

6.设1,1z y 分别是产品A 是来自混合池和原料丙的吨数，22,z y 分别是产品B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为421,,x x x ,优化目标是总利润最大，

7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量，设第i 种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为,,,,4321r r r r 该模式使用i x 次，即使用该模式切割i x 根原料钢管（i=1,2,3,4)且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。

第五章

1、（1）SIR 模型???????=-==-=00)0(,)0(,s s si dt

ds i i i si dt di λμλ,s(t)曲线单调递减。 若σ1

0>s ,当01

s s <<σ时，

0>dt di ,i(t)增加； 当σ1=s 时，

0=dt

di ,i(t)达到最大值； 当σ1

di ,i(t)减少，且0=∞i (2)若)(,0,10t i dt di s <<σ单调递减至0 9.（1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率1)=t （β;（2）提倡晚婚晚育：生育模式111,)()()(1r r e r r r h r r >Γ-=---αθαθα取2

,2n ==αθ，得21-+=n r r c ，1r 意味着晚婚，n 增加意味着晚育，这里的c r r ,1增大（3）生育第二胎的规定：1)(>t β,生育模式)(r h 曲线更加扁平。