二次根式 专项复习资料 配套练习

考点二十四：二次根式

聚焦考点☆温习理解

1、二次根式

式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a （2）==a a 2

(0)(

0)a a a a ≥≤??? （3）)0,0(≥≥?=

b a b a ab

（4）

)0,0(≥≥=b a b

a

b a 5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 名师点睛☆典例分类

考点典例一、二次根式概念与性质

【例1】（2015·湖北鄂州，11题，3分）有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥2．

考点：二次根式有意义的条件．

【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【举一反三】

(2015·湖北武汉，2题，3分）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ） A ．x ≥－2

B ．x ＞－2

C ．x ≥2

D ．x ≤2

【答案】C 【解析】

试题分析：二次根式的被开方数为非负数，则x －2≥0，解得：x ≥2. 考点：二次根式的性质. 考点典例二、二次根式的运算

【例2】如果ab ＞0，a+b ＜0，那么下面各式

=

1b b a =b =-其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

【答案】B. 【解析】

试题分析：由ab ＞0，a+b ＜0先求出a ＜0，b ＜0，再进行根号内的运算． 试题解析：∵ab ＞0，a+b ＜0， ∴a ＜0，b ＜0

=

，被开方数应≥0a ，b 不能做被开方数，（故①错误）， 1b

b a

=（故②正确）

，

b =-（故③正确）

．

故选：B ．

答案：二次根式的乘除法． 【点睛】二次根式化简依据：)0,0(≥≥?=

b a b a ab ，

)0,0(≥≥=b a b

a b a ，本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a ＜0，b ＜0． 【举一反三】

1.=

【答案】

考点：二次根式的加减法．

2.（山东淄博，第13题，4分）计算：= ．

【答案】3. 【解析】

试题分析：根据二次根式的乘法法则计算可得：：原式===3．

考点：二次根式的乘除法. 考点典例三、二次根式混合运算

【例3】（3分）（2015?聊城，第14题）计算：（+）2

﹣

= ．

【答案】5 【解析】

试题分析：在进行二次根式的混合运算时，掌握运算顺序，先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为

最简二次根式，合并同类项进行计算.如：原式﹣． 考点：二次根式的混合运算

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算依次计算后，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 【举一反三】

04(1

.

考点典例四、二次根式运算中的技巧

【例4】（2015攀枝花）若2y =，则y x = ．

【答案】9． 【解析】

试题分析：2y =

有意义，必须30x -≥，30x -≥，解得：x =3，代入得：y =0+0+2=2，

∴y

x =2

3=9．故答案为：9． 考点：二次根式有意义的条件．

【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【举一反三】

若（m-1），则m+n 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2

【答案】A ．

考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．

考点典例五、估算大小

【例5】a，b是两个连续整数，若a b，则a，b分别是（）

A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8

【答案】A．

【解析】

可得a=2，b=3．

故选：A．

考点：估算无理数的大小．

【举一反三】

若a b，且a，b为连续正整数，则b2-a2=

【答案】7.

【解析】

试题分析：因为32＜13＜42，所以34，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可．试题解析：∵32＜13＜42，

∴34，

即a=3，b=4，

考点：估算无理数的大小． 课时作业☆能力提升 一、选择题

1.（2015的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．1x > C ．1x ≥ D ．1x ≠ 【答案】C ． 【解析】

10x -≥，解得：1x ≥．故选C ． 考点：二次根式有意义的条件．

2. （2015 ）

A

【答案】C ． 【解析】

试题分析：A 3

=

，本选项不合题意；

B

=，本选项不合题意；

C 3

=

，本选项合题意；

D = 故选C ．

考点：同类二次根式．

3.（2015有意义，则x 的（ ） A ．最大值是

23 B ．最小值是23 C ．最大值是32 D ．最小值是3

2

【答案】A ．

有意义，∴230x -≥，解得2

3

x ≤．故选A ． 考点：二次根式有意义的条件．

4.按如图所示的程序计算，若开始输入的n ）

A ．14

B ．16

C ．．

【答案】C.

考点：实数的运算．

5.(2015·湖北孝感）已知32-=x ，则代数式3)32()347(2

++++x x 的值是( )

A ．0

B ．3

C ．32+

D ．32-

【答案】C. 【解析】

试题分析：((2

722(2+++-

+(771+-++2+故选：C. 考点：二次根式.

6.（2015.山东淄博，第4题，4分）已知x=，y=，则x 2+xy+y 2

的值为（ ） A ．2 B ．4

C ．5

D ．7

【答案】B.

试题分析：先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可．

即：原式=（x+y）2﹣xy=（+）2﹣×=（）2﹣=5﹣1=4．故答案选B. 考点：二次根式的化简求值．

7.(2015.山东日照，第2题，3分)的算术平方根是（）

A.2

B. ±2

C.

D. ±

【答案】C

【解析】

试题分析：解：∵=2，

而2的算术平方根是，

∴的算术平方根是，

故选：C．

考点：算术平方根．

二、填空题

8.有意义的x的取值范围是

【答案】x≥-3

【解析】

试题分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．

试题解析：根据二次根式的意义，得x+3≥0，

解得x≥-3．

考点：二次根式有意义的条件．

9.(2015·湖北衡阳，15题，3分)．

【解析】

试题分析：.

考点：二次根式的加减

10. (2015.山东日照，第13题，4分)若=3﹣x，则x的取值范围是．

【答案】x≤3