最新中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学中的折叠问题专题复习
一、教学目标
1、基础知识目标：
使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标：
提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：
鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点
重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法
讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想
1、巧设情景，设疑引入
观察与发现：小明将纸片ABC
（AB>AC）沿过A的直线折叠，使
得AC落在AB边上，折痕为AD,
展开纸片；再次折叠该三角形纸片，
使点A和点D重合，折痕为EF,展
开纸片后得到AEF（如图1）。小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数
典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B
重合，点C落在点C'处，折痕为EF，如果∠ABE＝20°，
则∠EFC'＝（）
A. 125°
B. 80°
C. 75°
D. 无法确定
评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的
两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？
（∠BAF＝55°）
利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些
角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未
知角的关系，从而求的未知角的度数。若条件中没
有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？
2、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，沿过点D的折痕，将A角翻折，使A落在BC边上的A1处，则∠E A1B=
（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角
的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，
然后求得未知角的度数。在难度上有所加深，其目的
在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能
力。）
利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还
可以求线段的长度引出。
归类二：求线段的长度
例2、如图在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,经折叠，A点落在BC边的F点处，折痕DE与AB的交点是E，求EF
的长。
解：
连接DF，设AE＝X
根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD＝BC
＝10
所以根据勾股定理得CF＝6
所以BF＝10－6＝4
因为BE＝8－X
所以根据勾股定理得：
(8－X)2＋42＝X2
所以
64－16X＋16＝0
解得
X＝5
所以EF的长是5
（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。）
本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段
体验感悟：
1、将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC = 8，CD = 9，则EF = .
2、已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，求DE的长；
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。
（图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF 的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角
边DE. 图②中，连结对应点A 、E ，则折痕FG 垂直平分AE ，取AD 的中点M ，连结MO ，则MO=DE ，且MO ∥CD ，又AE 为Rt △AED 的外接圆的直径，则O 为圆心，延长MO 交BC 于N ，则ON ⊥BC ，MN=AB,又Rt △AED 的外接圆与直线BC 相切，所以ON 是Rt △AED 的外接圆的半径，即ON=AE ，根据勾股定理可求出DE= ，OE= . 通过Rt △FEO ∽Rt △AED ，求得FO= ，从而求出EF 的长。）
对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。
归类三：综合运用
1、将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在X 轴和Y 轴上。在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处。
图① 图② 图③ (1)如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；
(2)如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交
OC 于点G 。
求证：EO=DT ；
(3)在(2)的条件下，设()
T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 ；
(4)如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交
OC 于点G ，求出这时的 坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范围）。 (1)5
(2)证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2．
()T x y ，
又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴DE =DT ． ∵DE =EO ，∴EO =DT ． (3)416
12
+-
=x y ． (4)解：连接OT ， 由折叠性质可得OT =DT ． ∵DG =8，TG =y ，∴OT =DT =8-y ． ∵DG ∥y 轴，∴DG ⊥x 轴．
在Rt △OTG 中，∵222TG OG OT +=,∴222)8(y x y +=-． ∴416
12
+-
=x y ． 根据轴对称的性质：折叠部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，对称线段所在的夹角相等，在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形锐角三角函数解折叠题，可以使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。
体验感悟：将平行四边形纸片ABCD ，按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落在D′处，折痕为EF ，
（1）求证：∠BAE=∠D′AF （2）求证：△ABE≌△AD′F
（3）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形，证明你的结论。 （通过写出分析过程，整理解题思路，根据分析过程，写出证明过程。整个解题过程可以简单概括为：读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程五步。使学生有章可循，从而避免学生手足无措，无处下手的现象发生。）
五、课堂小结
解决折叠问题，要认真审题，弄清那些是翻折部分，哪些是翻折后重叠部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系，充分挖掘图形中的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，并迅速求解。
六、板书设计
课后检测： 一、 折叠后求角度
1、把一张矩形纸片ABCD 沿EF 对折，使C 、D 点分别落在C1、D1的位置上， EC1交AD 于G ，已知∠EFG=58°，那么∠BEG= ＿＿ 。
2、把一张长方形纸片ABCD 按如图方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的B 点、C 点落在B′M 或B′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）。
A 85°
B 90°
C 95°
D 100° 3、如图Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，AC=5cm ， 将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，得折痕D
E ，则△ABE 的周长为＿＿ 。
二、 折叠后求点的坐标
4、 如图，在直角坐标系中放入一边长OC 为6的矩
形纸片ABCO ，将纸翻折后，使点B 恰好落在x 轴上，记为B′，折痕为CE ，已知tan ∠OB′C=34。
（1）求出B′点的坐标；
（2）求折痕CE 所在直线的解析式。
（3）作B′G ∥AB 交CE 于G ，已知抛物线y= 通过G 点，以O 为圆心OG 的长为半径的圆与抛
物线是否还有除G 点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标。 《如何上
好一堂课》心得体会
（一）折叠的性质：
折叠图形中折叠部分在折叠前后 1、对应角相等 2、对应线段相等 （二）运用： 1、求角的度数； 2、求线段的长度 3、综合运用
上次听了《课堂天下事，得失才心知》的课后我觉得收获很多，现将我的我的心得体会总结如下：
首先上好课，教师应该有三慧：课堂智慧、教学智慧、管理智慧
一、课堂智慧
如何才有课堂智慧，课前做好准备。查阅和搜集资料，进行教材分析，精心处理教材，设计独具匠心。一堂好课要显现个人特色的教学设计。
1、进行学情分析从而来确定课堂教学目标学校和教师必须根据教学环境、学生实际，结合自身对教材的透彻理解，加以灵活的处理，设计出独具匠心的教案，才能保证教学活动的有效性和生动性。
2、构建问题式教学模式。教师备课要备师生合作发现问题，合作学习问题，合作解决问题的步骤和方法。做到如何将问题呈现，和谐对话，情境多样化。
二、教学智慧
写好教学设计
1、注重创设问题情境，激发学生的求知欲