层次分析法AHP(20210228080853)
层次分析法
一、层次分析法简介
美国运筹学家Saaty 于20世纪70年代初提出了菩名的层次分析法（Analytic
Hierarchy Process 简称AHP ）。层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准 则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法具有系 统、灵活、简洁的优点。
运用层次分析法建模來解决实际问题，可按如下五个步骤： 步骤1定义问题，确定目标
步骤2从最高层（目标层），通过中间层（准则层）到最低层（方案层）构成一个 层次结构模型
步骤3两两比较打分，确定下层对上层的分数
准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心 目中，它们齐占有一定的比例。引用数字及其倒数作为标度來定义判断矩阵 A=(a ij )nxn (见表 1)。
俎判断矩阵标度圧义
标度含义
含义
1 表示两个因素相比，具有相同觅要性 3 表示两个因素相比，前者比后者梢重要 5 表示两个因素相比，前者比后者明显巫要 7 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个因素相比，前者比后者极端重要 2, 4, 6, 8 表示上述相邻判断的中间值
倒数
若因素i 与因素j 的觅要性之比为％,那么因素j 与因素i 重要性之比为命
步骤4层次合成计算 步骤5 —致性检验
1）计算一致性指标CI （consmtency index ）
入max
其中，入nax 为判断矩阵的最大特征值。 2）查找一致性指标RI （见表2）
表2平均随机一致性指标
当CR<0.10时，认为通过了一次性检验，否则应作适当修正。
CR =
CI RI
二、层次分析法权重向量W 计算方法
层次分析法有四种计算方法求权重：算术半均法、儿何半均法、特征向量 法、最小二乘法。
1、算术平均法（求和法）
由于判断矩阵A 中的每一列都近似地反映了权值的分配情形，故可采用全部列向 量的算术平均值来估计权向量。即
i = l, 29 ??? 9 n
计算步骤:
① A 的元素按列归一化，即求存」； ② 将归一化后的各行相加：
③ 将相加后的向量除以n 即得权重向B ： o
2、几何平均法（方根法）
1
w
（H 社冋戸 ?
= ---------------- Y 9 1 = 2 * …，n
s?=i （rip=i a i ））n
计算步骤：
① A 的元素按行相乘得一新向量： ② 将新向量的每个分量开n 次方： ③ 将所得向量归一化即为权重向量。 3、 特征向量法
将权重向量W 右乘权重比矩阵A,有
AW =入 max W
同上，入max 为判断矩阵的最大特征值，存在且唯一，W 的分量均为正分量。最后, 将求得的权重向最作归一化处理即为所求。 4、 最小二乘法
用拟合方法确定权重向星，使残差平方和为最小.即求解如下模型：
s.t.*=]Wi = 1, Wj > 0, i = 1, 2, ..., n
三、层次分析法在选择旅游地分析中的应用
1＞国庆假期打算出去旅游，有3个旅游目的地：桂林、黄山、北戴河，按照景色、 费用、居住、饮食、旅途等因素选择。 2、
minZ =
3.
景色
费用 居住
饮食 旅途 景色 1 1/2 4 3 3 费用 2 1 — 5 5 居住 1/4 1/7 1
1/2 1/3 饮食 1/3 1/5 2
1 1 旅途
1/3 1/5
3
1
1
随机一致性指标RI = 1.12 （查表） CR = ^= 0.016 <0.1,通过一次性检验。 丄乙
/21 1
3 /A 1 1
2 /II
12 3
Z7/5/5 111 4 3 3 / / / 111
一
=0.018
5,073 -5 5-1
入 max = 5.073
第3层（方案）对第2层每一元素（准则）：
居住P1 P2 P3
P1 1 2 4
P2 1/2 1 2
P3 1/4 1/2 1
入max =3, CR=^=0<0.1,通过一次性检验。
饮食P1 P2 P3
P1 1 3 1/2
P2 1/3 1 1/5
P3 2 5 1 =3.0037, CR = = 0.0036 < 0.1,通过一次性检验。
旅途P1 P2 P3
P1125
P2 1/2 1 2
P3 1/5 1/2 1
4.层次合成计算
①算术平均法（求和法）
景色费用居住饮食旅途权重景色0.255323 0.24475 0.235294 0.285714 0.290324 0.262 费用0.510647 0.4895 0.411765 0.47619 0.483873 0.474 居住0.063831 0.06995 0.058824 0.047619 0.032255 0.054 饮食0.085099 0.0979 0.117647 0.095238 0.096775 0.099 旅途0.085099 0.0979 0.176471 0.095238 0.096775 0.110 求笫3层（方案）对第2层每?元素（准则）的权贡
景色费用居住饮食旅途总分
0.262 0.474 0.054 0.099 0.110
P1 0.595 0.082 0.571 0.309 0.595 0.322 P2 0.277 0.236 0.286 0.110 0.277 0.241 P3 0.129 0.682 0.143 0.581 0.129 0.436
②几何平均法（方根法）
景色费用居住饮食旅途权重
景色11/24330.264
费用21550.477
居住1/41/711/21/30.053
饮Cr1/31/52110.099
旅途1/31/53110.107
同样求第3层（方案）对第2层每一元素（准则）的权向量
③特征向量法
1/2 4
3 3 - 7 5 5 1 1/2 1/3 2 11 3 1 1 -
「0.4658]
01920」
0.331 =0.242 0.427.
P3> Pl> P2,最后的决策为去北戴河。 5、一致性检验
CR<0. 10,均通过了一次性检验。
四、结论
各种方法的权重排序均为：P3> Pl> P2?
P1,P2,P3分别表示桂林、黄山、北戴河，故最后的决策应为去北戴河。
通过比较可以发现，运用不同的确定权重的方法，并不影响决策结果。不同 的计算方法得出的结果差异很小。综合运用各种方法可以避免产生偏差，使得出 的结果更有效，更全而。
4 3 3 / / / 111
Z7/5/5 111 Q 8902 相应的特征向最为W3= 04132 0.1918 0.8729
0.4629 0.8902 0.4364 0.1640 0.4132 0.2182 0.8711
0.1918
0.8902 W = W3W2 = 0.4132 0.1918 0.1128
0.3255
0.9388
0.8729 0.4629 0.4364 0.1640 0.2182
0.8711
0.8902 0.4132 0.8409 0.0951 0.1918 J 0.1733
A 的最大特征值入max = 5.0721
相应的特征向量为 W2=(0. 4658, 0. 8409, 0. 0951, 0. 1733, 0. 1920)T 0.1128
0.3255
0.9388