函数的有关概念

函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈

A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都

有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域: 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为

纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A →B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）→B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

2．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

3、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

4．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

[基础训练A 组] 一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

⑴3

)

5)(3(1+-+=

x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；

⑶x x f =)(，2)(x x g =；

⑷()f x =

()F x =

⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸

2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2

3．已知集合{}{}

42

1,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈

使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5

4．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??

=-<

，若()3f x =，则x 的值是（ ）

A ．1

B ．1或32

C ．1，3

2

或

5．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，

这个平移是（ ）

A ．沿x 轴向右平移1个单位

B ．沿x 轴向右平移1

2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1

2

个单位 6．设??

?<+≥-=)

10()],6([)

10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

二、填空题

1．设函数.)().0(1),0(12

1

)(a a f x x

x x x f >??????

?<≥-=若则实数a 的取值范围是 。 2．函数4

2

2--=

x x y 的定义域 。

3．若二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，

则这个二次函数的表达式是 。

4．函数0y

=

定义域是_____________________。

5．函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________。 三、解答题

1．求函数()1

f x x =+的定义域。

2．求函数12++=x x y 的值域。

3．12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，

求()y f m =的解析式及此函数的定义域。

4．已知函数2

()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。

[综合训练B 组]

一、选择题

1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）

A ．21x +

B ．21x -

C ．23x -

D ．27x + 2．函数)2

3

(,32)(-≠+=

x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．33-或 D ．35-或

3．已知)0(1)]([,21)(2

2≠-=-=x x

x x g f x x g ，那么)21

(f 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．30

4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）

A ．[]05

2

， B. []-14， C. []-55， D. []-37，

5．函数2y =的值域是（ ）

A ．[2,2]-

B ．[1,2]

C ．[0,2]

D ．[

6．已知2

2

11()11x x f x x

--=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．

21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．2

1x

x

+- 二、填空题

1．若函数234(0)

()(0)0(0)x x f x x x π?->?

==??

，则((0))f f = ．

2．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 3

．函数()f x =

的值域是 。

4．已知???<-≥=0

,10

,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++?+≤的解集是 。

5．设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。

三、解答题

1．设,αβ是方程2

4420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时,

22αβ+有最小值?求出这个最小值.

2．求下列函数的定义域 （1

）y =（2）1

112

2--+-=

x x x y

（3）x

x y --

-=

11111

3．求下列函数的值域 （1）x x y -+=43 （2）3

425

2+-=x x y （3）x x y --=21

4．作出函数(]6,3,762

∈+-=x x x y 的图象。

函数的基本性质

一、选择题

1．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，

则m 的值是（ ）

A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

A ．)2()1()23(f f f <-<-

B ．)2()2

3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-

3()2(-<-

3．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5-

4．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。 5．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -=3 C ．x

y 1= D ．42

+-=x y 6．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）

A ．是奇函数又是减函数

B ．是奇函数但不是减函数

C ．是减函数但不是奇函数

D ．不是奇函数也不是减函数

二、填空题

1．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是

2．函数2y x =________________。

3．已知[0,1]x ∈，则函数y 的值域是 . 4．若函数2

()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 .

5．下列四个命题

（1）()f x ; （2）函数是其定义域到值域的映射;

（3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0

,0

x x y x x ?≥?=?-

其中正确的命题个数是____________。

三、解答题

1．判断一次函数,b kx y +=反比例函数x

k

y =，二次函数c bx ax y ++=2的 单调性。

2．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。

3．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域；

4．已知函数[]2

()22,5,5f x x ax x =++∈-.

① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；

② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。

一、选择题

1．下列判断正确的是（ ）

A ．函数22)(2--=x x

x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-

C ．函数()f x x =

D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞

3．函数y ）

A ．(]2,∞-

B ．(]2,0

C ．

[)+∞,2 D ．[)+∞,0

4．已知函数()()2

212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）

A ．3a ≤-

B ．3a ≥-

C ．5a ≤

D ．3a ≥ 5．下列四个命题：

(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；

(2)若函数2

()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2

80b a -<且0a >；

(3) 2

23y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+和y =

其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）

二、填空题

1．函数x x x f -=2

)(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，

那么0x <时，()f x = . 3．若函数2

()1

x a

f x x bx +=

++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，

最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。

5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。

三、解答题

1．判断下列函数的奇偶性

（1

）()f x =（2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--

2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，

()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；

（2）函数()y f x =是奇函数。

3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1

f x

g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.

4．设a 为实数，函数1||)(2

+-+=a x x x f ，R x ∈

（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。

一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D 5.D 6. B

二、填空题 1. (),1-∞- 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 3. (2)(4)y x x =-+- 4. (),0-∞ 5. 5

4

- 三、解答题 1.解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-

2.解： ∵221331(),244x x x ++=++

≥

∴y ≥

，∴值域为)+∞

3.解：24(1)4(1)0,30m m m m ?=--+≥≥≤得或，

222121212()2y x x x x x x =+=+-

22

4(1)2(1)

4102

m m m m =--+=-+

∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或。

4. 解：对称轴1x =，[]

1,3是()f x 的递增区间，

max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即 min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即

∴3231,.1

44a b a b a b -=?==?--=-?得

一、选择题 1. B 2. B 3. A 4. A 5. C 6. C

二、填空题 1. 2

34π- (0)f π=;

2. 1- 令2213,1,(3)(21)21x x f f x x x +===+=-=-；

3.

2223(1)2x x x -+=-+≥≥

0()22

f x <

≤

<≤

4． 3(,]2

-∞ 当3

20,2,(2)1,25,2,2

x x f x x x x +≥≥-+=++≤-≤≤

即则 当20,2,(2)1,25,2x x f x x x x +<<-+=---≤<-即则恒成立，即∴32

x <

； 5. 1(1,)3

-- (),(1)31,(1)1,(1)(1)(31)(1)0y f x f a f a f f a a ==+-=+?-=++<令则 得113

a -<<- 三、解答题

1. 解：2

1616(2)0,21,m m m m ?=-+≥≥≤-或

222222min 1()21

2

11,()2

m m m αβαβαβαβ+=+-=--=-+=

当时

2. 解：（1）∵80

83,30x x x +≥?-≤≤?

-≥?

得∴定义域为[]8,3-

（2）∵222

101011,110x x x x x x ?-≥?-≥=≠=-??-≠?

得且即∴定义域为{}1-

（3）∵0

01110211

0101x x x x x x x x x x ??

??

?-≠?

??-≠≠-

??-????≠-

≠??-??-?-?

得∴定义域为11,,022?

???-∞-- ? ????? 3.解：（1）∵343

,43,,141

x y y y xy x x y x y +-=

-=+=≠--+得，∴值域为{}|1y y ≠- （2）∵222432(1)11,x x x -+=-+≥ ∴21

01,05243

y x x <≤<≤-+∴值域为(]0,5

（3）1120,,2x x y x -≥≤

且是的减函数， 当min 11,22x y ==-时，∴值域为1

[,)2

-+∞ （数学1必修）第一章下 [基础训练A 组]

一、选择题1. B 2. D 3. A 4. A 5． A 6. A

二、填空题1． (](2,0)2,5- 2. [2,)-+∞ 3．

4． [)0,+∞ 5． 1

三、解答题

1．解：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数；

当0k >，k

y x

=在(,0),(0,)-∞+∞是减函数， 当0k <，k

y x

=

在(,0),(0,)-∞+∞是增函数； 当0a >，2

y ax bx c =++在(,]2b a -∞-

是减函数，在[,)2b

a -+∞是增函数， 当0a <，2

y ax bx c =++在(,]2b a -∞-

是增函数，在[,)2b

a

-+∞是减函数。 2．解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2

211111111a a a a -<--?

,∴01a <<

3．解：1210,2x x +≥≥-，显然y 是x 的增函数，12x =-，min 1,2y =- 1

[,)2

y ∴∈-+∞

4．解：2(1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f =====

∴max m ()37,()1in f x f x ==

（2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x 在[]5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-。

（数学1必修）第一章（下） [综合训练B 组] 一、选择题1. C 2. C 3. B 4. A 5.A 6. B

二、填空题1． 11(,],[0,]22

-∞- 2. 2

1x x --+ 3. 2()1

x

f x x =

+ 4. 15- 5. (1,2)

三、解答题1．解：（1）定义域为[)(]1,00,1- ，则22x x +-=，()f x =

∵()()f x f x -=-∴()f x =为奇函数。

（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数。 2．证明：(1)设12x x >，则120x x ->，而()()()f a b f a f b +=+

∴11221222()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+< ∴函数()y f x =是R 上的减函数; (2)由()()()f a b f a f b +=+得()()()f x x f x f x -=+-

即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f = ∴()()f x f x -=-，即函数()y f x =是奇函数。 3．解：∵()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，∴()()f x f x -=，且()()g x g x -=-

而1()()1f x g x x +=-,得1()()1f x g x x -+-=--, 即11

()()11

f x

g x x x -==---+， ∴21()1f x x =

-，2()1

x g x x =-。

4．解：（1）当0a =时，2

()||1f x x x =++为偶函数， 当0a ≠时，2

()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数；

（2）当x a <时，22

13()1(),24

f x x x a x a =-++=-++

当12a >时，min 13()()24f x f a ==+， 当1

2

a ≤

时，min ()f x 不存在； 当x a ≥时，22

13()1(),2

4

f x x x a x a =+-+=+-+

当1

2

a >-时，2min ()()1f x f a a ==+， 当12a ≤-

时，min 13()()24

f x f a =-=-+。