数值分析课程设计_多项式插值的振荡现象matlab

数值分析课程设计多项式插值的振荡现象

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提交日期2012年6月

一、 问题的提出

考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式增加时，L n (x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上的函数

2

1

()125f x x =+

考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为

21,0,1,2,,i i

x i n n

=-+=

则拉格朗日插值多项式为

201

()()125n

n i

i i

L x a x x ==+∑

其中的a i (x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。

二、 实验内容

研究以下三个函数在各自区间上运用不同的划分

1、2

1

(),[1,1]125f x x x =

∈-+ 2、4

(),[5,5]1x

h x x x

=∈-+ 3、()arctan ,[5,5]g x x x =∈-

运用在区间[-p,p]上等距划分（p>0）,节点为

2,0,1,2,,i i

x p i n n

=-+=

以x 0,x 1,…,x n 为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式。 运用区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为

(21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b a

k x k n n π??

+--=

+=+ ?+??

以x 1,x 2,…,x n+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式，比较其结果。

并分别比较两种划分方法，增加节点数，最大误差的变化。

三、 实验结果及分析

（一） 等距划分

对于函数2

1

(),[1,1]125f x x x =

∈-+来说，使用等距划分

其中绿色点线代表误差，红色划线代表Lagrange插值多项式，蓝色实线代表原函数。

可见对于等距划分来说节点数越多，最大误差越大，可是越靠近中间的误差越少。越接近两个端点的误差越大。当节点数很大时，最大误差的来源只与靠近两个端点的误差有关。

例如：n=20时

对于4

(),[5,5]1x

h x x x =

∈-+，使用等距划分

当n=25时

对于()arctan,[5,5]

g x x x

=∈-，使用等距划分

当n=30时，

从以上三个函数图像来看，可见节点越多，靠近端点处取得最大误差，并且最大误差越大。这就是龙格现象。

（二） 切比雪夫(Chebychev)点

首先研究2

1

(),[1,1]125f x x x

=∈-+

当n=20时

可是当n=30

同样的n=40，50也出现了两端误差增大现象。

然后研究4

(),[5,5]1x

h x x x =

∈-+

当n=25时

同样的n=30，50也会出现龙格现象。最后研究()arctan,[5,5]

g x x x

=∈-

当n=25时

此函数也不例外。

由以上三个函数，通过不断改变n的值，可得运用切比雪夫点来划分，要使最大误差小于0.1，n一般取12到20间的数。

（三）综述

对于Lagrange插值多项式，运用等距划分取节点时，n要不能取得太大，一般n=8或8左右。若要使n取得更大，那么需要使代入到函数的点尽量在区间的中间，这样才能使真值与计算出来的值的误差尽可能的小。

运用切比雪夫点来划分取节点时，n一般取12到20间的数。无论要代入到函数的点在区间的那个位置，都能使误差尽可能的小。若要使n取得更大，那么需要使代入到函数的点尽量在区间的中间，这样才能使真值与计算出来的值的误差尽可能的小。若n取的较小，同样误差也是很大的。

对于以上两种取节点的方法，都不能避免龙格现象的出现。对于不同的选取节点的方法，只要n取得合适，同时代人函数的点适合，那么就可以使误差尽可能的减少。

四、关于本设计的体会

为了完成本设计，接触了一个数学软件matlab，并能初步运用本软件，编写程序，方便了以后对数学的研究。

并且对于编写过程中遇到的错误，显示不正确等，通过网络搜索查询，能解决这些问题。例如运用fminbnd函数时，显示的并不是正确的答案，后来百度了一下，明白了此函数的运作原理，并最终能显示我想得到的结果。

当然对于我所编写的程序，我也就只能做到这一步，也是碍于时间关系，和对matlab不熟悉，并不能更好的完善下去。有时取值很大时，运行起来，运行得很慢，这是一大缺陷。主要是循环次数太多，和找不到更好的函数代替所造成的。其他的缺点也就不一一的列举了。

学习一个软件需要耐心，细心。多寻找，多发现，多创作才能深入了解一个软件。同样的道理，这也是做任何事所需要的素质。

五、参考文献

数值分析（第三版）——北京理工大学出版社

六、附录

所的运用软件及编号MATLAB 7.0

（图略）

所用电脑的版本、型号与系统

（图略）

用户界面设计

文件名：kcsjx.fig

用户界面程序，运行kcsjx.m来调用主要程序

文件名：kcsjx.m

function varargout = kcsjx(varargin)

% KCSJX M-file for kcsjx.fig

% KCSJX, by itself, creates a new KCSJX or raises the existing

% singleton*.

%

% H = KCSJX returns the handle to a new KCSJX or the handle to

% the existing singleton*.

%

% KCSJX('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local

% function named CALLBACK in KCSJX.M with the given input arguments. %

% KCSJX('Property','Value',...) creates a new KCSJX or raises the

% existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are

% applied to the GUI before kcsjx_OpeningFunction gets called. An

% unrecognized property name or invalid value makes property application

% stop. All inputs are passed to kcsjx_OpeningFcn via varargin.

%

% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one

% instance to run (singleton)".

%

% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Copyright 2002-2003 The MathWorks, Inc.

% Edit the above text to modify the response to help kcsjx

% Last Modified by GUIDE v2.5 04-Jun-2012 16:03:46

% Begin initialization code - DO NOT EDIT

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...

'gui_Singleton', gui_Singleton, ...

'gui_OpeningFcn', @kcsjx_OpeningFcn, ...

'gui_OutputFcn', @kcsjx_OutputFcn, ...

'gui_LayoutFcn', [] , ...

'gui_Callback', []);

if nargin && ischar(varargin{1})

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

end

if nargout

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else

gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

end

% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before kcsjx is made visible.

function kcsjx_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)

% This function has no output args, see OutputFcn.

% hObject handle to figure

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to kcsjx (see V ARARGIN)

% Choose default command line output for kcsjx

handles.output = hObject;

% Update handles structure

guidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes kcsjx wait for user response (see UIRESUME)

% uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line.

function varargout = kcsjx_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)

% varargout cell array for returning output args (see V ARARGOUT);

% hObject handle to figure

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure

varargout{1} = handles.output;

function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to edit1 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit1 as text

% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit1 as a double input = str2num(get(hObject,'String'));

if (isempty(input))

set(hObject,'String','0')

end

guidata(hObject, handles);

% --- Executes during object creation, after setting all properties.

function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to edit1 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.

% See ISPC and COMPUTER.

if ispc

set(hObject,'BackgroundColor','white');

else

set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')); end

function edit2_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to edit2 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit2 as text

% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit2 as a double input = str2num(get(hObject,'String'));

if (isempty(input))

set(hObject,'String','0')

end

guidata(hObject, handles);

% --- Executes during object creation, after setting all properties.

function edit2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to edit2 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.

% See ISPC and COMPUTER.

if ispc

set(hObject,'BackgroundColor','white');

else

set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')); end

function edit3_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to edit3 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit3 as text

% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit3 as a double input = str2num(get(hObject,'String'));

if (isempty(input))

set(hObject,'String','0')

end

guidata(hObject, handles);

% --- Executes during object creation, after setting all properties.

function edit3_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to edit3 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.

% See ISPC and COMPUTER.

if ispc

set(hObject,'BackgroundColor','white');

else

set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')); end

% --- Executes on button press in pushbutton1.

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to pushbutton1 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

tic;

v=get(handles.edit1,'String');

t=get(handles.edit2,'String');

n=get(handles.edit3,'String');

kcsj(str2num(t),str2num(v),str2num(n));

toc;

clear;

% --- Executes on button press in pushbutton2.

function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to pushbutton2 (see GCBO)

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

tic;

v=get(handles.edit1,'String');

t=get(handles.edit2,'String');

kcsj(str2num(t),str2num(v));

toc;

clear;

以下为主要程序。并且可以直接在命令框调用例如：在命令框输入

>> kcsj(1,1,3) %代表选择等距划分，选择f(x)=1/(1+25*x^2)

输出结果为：

以下有具体说明。

主程序

文件名：kcsj.m

function kcsj(t,v,n)

%%t为对不同x选择的判断，t=0时为等距划分，t=1时为Chebychev划分%%v=1是选择f(x)=1/(1+25*x^2);v=2是f(x)=x/(1+x^4);v=3是f(x)=atan(x) %%%%%%%%函数的选取%%%%%%%%

if v==1 %题目要求不同函数,x有不同的取值范围

p=1; %x取值范围为[-1,1]

f='1/(1+25*x^2)';

else if v==2

p=5; %x取值范围为[-5,5]

f='x/(1+x^4)';

else if v==3

p=5;

f='atan(x)';

end

end

end

if t==0

P='等距划分';

else

P='Chebychev';

end

F=inline(f); %inline为将用字符串表示的函数表达式化为函数表达式%%%%%%%%%%%以下为不输入n值得情况%%%%%%%%

if nargin==2

for n=2:3:17 %%节点数由2至11进行循环操作

X=zeros(n+1,1); %有n+1个节点

Y=zeros(n+1,1); %对应有n+1个插值

%%%%%%% 选择节点选取方式%%%%%%%

if t==0

for i=0:n

X(i+1,1)=-p+2*p*i/n; %等距划分

end %

else %

for i=1:n+1 %

X(i,1)=p*cos((2*i-1)*pi/(2*(n+1)));%Chebychev划分

end

end

%%%%%%% 计算差值%%%%%%%

for i=0:n

Y(i+1,1)=F(X(i+1,1));

end

%%%%%%% 通过差值与节点得出Lagrange公式%%%%%%% Pn=Lagrange3(X,Y); %调用拉格朗日函数进行

Ln=inline(Pn);

%%%%%%% 计算原函数与Ln两个函数间的最大误差%%%%%%% maxe=['-abs(',char(Pn),'-',f,')'];

max=inline(['abs(',char(Pn),'-',f,')']);

maxe=fmin(maxe,X); %调用fmin.m查找函数最小值

maxe=abs(maxe); %得出最大误差

%%%%%%% 画出函数图像%%%%%%% figure(v+t*3); %图像窗口的编号

subplot(2,3,(n+1)/3); %%subplot用于在同一窗口什么位置显示图像

fplot(f,[-p,p],'c.-'); %画出原函数

if ((n+1)/3)==2 %添加适当的标题

title([f,P]);

end

hold on %多个函数在同一个图像表达

fplot(Ln,[-p,p]); %画出拉格朗日图像

xlabel(['n=',num2str(n),'最大误差=',num2str(maxe)]);

%在x轴标注n节点的取值与最大误差fplot(max,[-p,p],'r:'); %画出误差图像

hold off

end

%%%%%%%%%%%%%%%以下为输入n值得情况%%%%%%%%%%%%% else if nargin==3