高考四川文科数学试卷及详解参考答案

２0１5年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷）

数学（文史类)

姓名 成绩

一、选择题：本题共10个小题,每小题５分，共50分，在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

１、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<,则A

B =（ )

()A {|13}x x -<< ()B {|11}x x -<< ()C {|12}x x << ()D {|23}x x <<

2、设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =（ )

()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 6

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ )

()A 抽签法 ()B 系统抽样法 ()C 分层抽样法 ()D 随机数法

4、设,a b 为正实数,则"1"a b >>是22log log 0"a b >>的( )

()A 充要条件 ()B 充分不必要条件 ()C 必要不充分条件 ()D 既不充分也不必要条件

5、下列函数中,最小正周期为π的奇函数是（ )

()A cos(2)2y x π=+ ()B sin(2)3

y x π

=+ ()C sin

2cos 2y x x =+ ()D sin cos y

x x =+

６、执行如图所示程序框图,输出S 的值为（ )

()A ()B ()C 12- ()D 1

2

7、过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点且与x

轴垂直的直线,,A B 两点，则||AB =（ ）

()

A ()

B ()

C 6 ()

D 8、某食品的保鲜时间y （单位：小时)与储藏温度x (单位：℃）满足函数关系kx b

y e

+=（ 2.718...e =为自然对数的底数,,k b 为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是

()A 16小时 ()B 20小时 ()C 24小时 ()D 28小时

9、设实数,x y 满足210,

214,6,x y x y x y +≤??+≤??+≥?

则xy 的最大值为( )

()

A 25

2 ()B 492

()C 12 ()D 16 10、设直线l 与抛物线2

4y x =相交于,A B 两点，与圆2

2

2

(5)(0)x y r r -+=>相切与点M ．且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是（ )

()A (1,3) ()B (1,4) ()C (2,3) ()D (2,4)

二、填空题:

１1、设i 是虚数单位,则1i i

-= 。 12、2lg 0.01log 16+的值是 。

13、已知sin 2cos 0αα+=,则22sin cos cos ααα-的值是 。

14、在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边为1的等腰直角三角形,设,,M N P 分别是棱11,,AB BC B C 中点,则三棱锥1P A MN -的体积是 。

１5、已知函数2

()2,()x f x g x x ax ==+（其中a R ∈),对于不相等的实数12,x x ，设

1212

()()f x f x m x x -=

-,1212()()g x g x n x x -=

-,则现有如下命题： ①对于任意不等的实数12,x x ,都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； ③对于任意的a ,存在不相等的实数12,x x ,使得m n =；④对于任意的a ,存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-。其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号） 三、解答题:

16、（本小题满分12分）

设数列{}(1,2,3...)n a n =的前n 项和12n n S a a =-,且113,1,a a a +成等差数列。（1）求数列{}n a 的通项公式;(２）设数列1

{}n

a 的前n 项和为n T ,求n T 。

17、(本小题满分１2分）

一辆小客车上有5各座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客12345,,,,P P P P P 的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客1P 因身体原因没有坐自己的１号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位,如果自己的座位已有乘客就坐,就在这５个座位的剩余空位中任意选择座位。(1)若乘客1P 坐到了3号座位,其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客1P 坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客5P 做到5号座位的概率。

18、(本小题满分１２分）

F G H标记在正方一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。(1）请将字母,,

体相应的顶点处(不需说明理由）;(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论;（３）证明：直线DF 平面BEG。

E

1９、(本小题满分12分）

已知,,A B C 为ABC Δ的内角，tan ,tan A B 是关于x 的方程210()x p p R +-+=∈的两

实根。(1)求C 的大小；(2）若3,AB AC ==p 的值。

20、(本小题满分１３分)

如图，椭圆E 1PC PD =-

（1)求椭圆E 的方程；

(2）设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A 、Ｂ两点。是否存在常数λ， OA OB PA PB λ+为定值?

21、（本小题满分14分)

已知函数2

2

()2ln 2f x x x ax a =-+-+，其中0a >。(1）设()g x 是()f x 的导函数,讨论()g x 的单调性；（2)证明:存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立,且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解。

2０1５年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题

1、设集合A=｛ｘ｜-1<ｘ＜２｝,集合B＝｛ｘ|1

（A）{ｘ|－１

【答案】A【解析】集合Ａ＝(－1,2),Ｂ＝(1，3），故Ａ∪B=(-１,3）,选A

２、设向量ａ=（2，４)与向量b＝(ｘ,6)共线，则实数x＝（）(A)2 (B）３(Ｃ）4(D)6

【答案】B【解析】由向量平行的性质,有2:4=ｘ:6，解得ｘ＝3,选Ｂ

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是

(A ）抽签法 （Ｂ)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D ）随机数法 【答案】Ｃ【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知,应使用分层抽样。选C 4、设a,b 为正实数，则“a ＞b>1”是“ｌｏg ２ａ>log 2b>０”的

(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C ）必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】a>ｂ＞1时，有log 2ａ＞ｌog 2ｂ＞0成立，反之也正确。选A 5、下列函数中,最小正周期为π的奇函数是（ ）

(A)y=si ｎ(2x ＋2π) （B)y=cos(２ｘ+2

π

) （Ｃ）y=ｓin2ｘ＋c ｏs2x (D)y=si ｎx+ｃosx 【答案】B

６、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）(A)-3 （B)3

(Ｃ)－12

（D)

1

2

【答案】D 【解析】第四次循环后，k=5，输出S ＝sin 56

π=

1

2

，选Ｄ 7、过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、Ｂ两点,则｜AB|＝( ）(A)43 (B)23 (C)6 (D ）43 【答案】D

8、某食品的保鲜时间y (单位:小时）与储藏温度x （单位:℃)满足函数关系kx b

y e +=（ 2.718...

e =为自然对数的底数，,k b 为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48

小时，则该食品在33℃的保鲜时间是

(A)１6小时 (B)20小时 (C ）24小时 （D)21小时 【答案】C

【解析】由题意，2219248b

k b e e +?=??=??得1119212

b k

e e

?=??=??于是当ｘ＝３3时,y ＝e ３３k+b =(e 1１k )3·e b ＝31()2×１92＝24（小时)

9、设实数x,y 满足210

2146

x y x y x y +≤??

+≤??+≥?

,则xy 的最大值为( ）(A)252 (B)492 (C)１2 (D ）14

【答案】C

【解析】画出可行域如图 在△ABC 区域中

经试验可得，在A(２,4)点处时

xy取得最大值,为12

选Ｃ

10、设直线l与抛物线y2=4ｘ相较于A,B两点,与圆C：（ｘ－5)２+y2＝ｒ2(ｒ>0）相切于点M，且M 为线段AＢ中点,若这样的直线l恰有４条,则r的取值范围是

(A)(1,３) (B)(1，4)（C)(２,3) (D）（2，4）【答案】D

二、填空题

11、设ｉ是虚数单位，则复数

1

i

i

-=__＿_＿＿__＿____.【答案】２ｉ【解析】

1

2

i i i i

i

-=+=

12、lg０.01＋lｏg216=_＿_____＿_＿___.【答案】２【解析】lｇ０.０1+lｏg2１6＝-2+4＝2

1３、已知sｉnα＋２ｃosα＝０，则2sinαcｏsα-cos2α的值是_＿＿.【答案】

3

5

-【解析】由已知可得

ｔaｎα=－2

2sinαcosα－cos2α=

2

222

2sin cos cos tan1213 sin cos tan1415αααα

ααα

----

===-+++

１４、在三棱住AＢC-Ａ1B1C1中,∠BＡC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,Ｐ分别是AB,BC，Ｂ1Ｃ１的中点,则三棱锥P-A１MN的体积是＿_____．

【答案】1 24

【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为１的

等腰直角三角形,高为１的直三棱柱,底面积为1

2

如图，三棱锥Ｐ－Ａ1MN底面积是三棱锥底面积的1

4

，高为1

故三棱锥Ｐ-A1MN的体积为1111

32424

??=

15、已知函数f(ｘ）＝２x，g（ｘ)＝x2+aｘ（其中a∈Ｒ）．对于不相等的实数ｘ1，x２,设m＝

12

12

()()

f x f x

x x

-

-

,n=12

12

()()

g x g x

x x

-

-

,现有如下命题:(１）对于任意不相等的实数x1,ｘ2，都有m>0；(２）对于任意的a及任意不相等的实数ｘ1,x２,都有ｎ>0;（３)对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2，使得m ＝n；

(4）对于任意的a,存在不相等的实数x1,x２,使得m=-n。

其中真命题有＿__________＿______＿(写出所有真命题的序号）。【答案】①④【解析】