排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
种不同的方法,
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.
例4. (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法 种.
解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有3种,而其余学生的排法有 种,所以共有 =72种不同的排法.
例5.(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 种.
解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有 种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,有 种 排法,所以不同的出场安排共有 =252种. 五、多元问题--分类讨论法
对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。
例6.(2003年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( )
A .42
B .30
C .20
D .12
解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有 种;2.相临:共有
种。故不同插法的种数为:26A + 22A 1
6A =42 ,故选A 。
例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答)
解:由题意,选用3种颜色时,C 43种颜色,必须是②④同色,③⑤同色,与①进行全排列,涂色方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法:是②④同色或③⑤同色,有2种情况,涂色方法有C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种;故答案为72 六、混合问题--先选后排法
对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略.
例8.(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( )种
A. B.3种 C. 种 D.
解:本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有:
种,故选A。
例9.(2003年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有()
A.24种B.18种C.12种 D.6种
解:黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C32种,在不同土质的三块土地上种植的方法是A33,∴种法共有C32A33=18,故选B.
七.相同元素分配--档板分隔法
例10.把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况?本题考查组合问题。
解一:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔
C种插法,即有15种分法。
板”)共有2
6
2、解二:由于书相同,故可先按阅览室的编号分出6本,此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号,剩下的4本书有以下四种分配方案:①某一阅览室独得4本,有种分法;②某两个阅览室分别得1本和3本,有种分法;③某两个阅览室各得2本,有种分法;④某一阅览室得2本,其余两阅览室各得1本,有种分法.由加法原理,共有不同的分法3+=15种.
八.转化法:
对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问
题来求解
。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多
少种?
分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比
较清楚,方法简单,结果容易理解.
解:此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白
球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然
有种不同的放法,所以名额分配方案有种.
九.剩余法:
在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为
求剩法.
例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?
分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.
解把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有2种取法.
十.对等法:
在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.
例13 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?
分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.
解不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有种.
十一.平均分组问题:
例14.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;
(2)分为三份,每份2本;
(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本。
解:1.C2/6xC2/4=90;
2.(C2/6xC2/4)/A3/3=15;
3.C1/6xC2/5=60;
4.C1/6xC2/5xA3/3=360;
5.【(C2/6xC2/4)/A3/3+C1/6xC2/5+C1/6xC1/5/A2/2】xA3/3=540.
总之,排列、组合应用题的解题思路可总结为:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类为加,分步为乘。