2003年全国统一高考数学试卷(辽宁卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. （2003?辽宁）与曲线1
1
y x =
-关于原点对称的曲线为 A.11y x =+ B.11y x =-+ C.1
1y x
=-
D.11y x
=-
- 2. （2003?辽宁）已知(2
x π
∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =
A.247
B.724
- C.724 D.247
-
3. （2003?辽宁）=+-2
)
3(31i i
A.
i 4
341+ B.i 4341--
C.i 2321+
D.i 2
321-- 4. （2003?辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、
C ），则AP =
A.()AB AD λ+，(0λ∈，1)
B.()AB BC λ+，(0λ∈
，
C.()AB AD λ-，(0λ∈，1)
D.()AB BC λ-，(0λ∈，
2
5. （2003?辽宁）设函数???
??>≤-=-)
0()0(12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是
A.1(-，)1
B.1(-，)∞+
C.-∞(，0()2 -，)∞+
D.-∞(，1()1 -，)∞+
6. （2003?辽宁）等差数列{}n a 中，已知11
3
a =，254a a +=，33n a =，则n 为
A.48
B.49
C.50
D.51
7. （2003?辽宁）函数1
ln
1
x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11x x e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11x x e y e +=-，0(∈x ，)∞+
C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0
D.11
x x e y e +=-，-∞∈(x ，)0
8. （2003?辽宁）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体
的体积为
A.33a
B.43a
C.63a
D.12
3a
9. （2003?辽宁）设0a >，2
()f x ax bx c =++，曲线)(x f y =在点0(x P ，))
(0x f 处的切线的倾斜角的取值范围为0[，]4
π
，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值
范围为
A.[0，1]a
B.[0，
1]2a
C.[0，|
|]2b a D.[0，1
||]2b a
-
10. （2003?辽宁）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与
其相交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为2
3
-，则此双曲线的方程是
A.14322=-y x
B.13422=-y x
C.12522=-y x
D.15
22
2=-y x 11. （2003?辽宁）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).
一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到
CD 、DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）
.设4P 的坐标为4(x ，0)，若412x <<，则θtan 的取值范围是
A.1(3，1)
B.1(3，23）
C.2(5，1)2
D.2(5，2)3
12. （2003?辽宁）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的
表面积为
A.3π
B.4π
C.
D.6π
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. （2003?辽宁）9
2)21(x
x -
展开式中9x 的系数是________________. 14. （2003?辽宁）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000
辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.
15. （2003?辽宁）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要
栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_________种．（以数字作答）
16. （2003?辽宁）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，
则BC AD ⊥；②若AB CD =，AC BD =，则BC AD ⊥；③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥；④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+14+12=74分）
17. （2003?辽宁）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，
1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.
⑴证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线； ⑵求点1D 到面BDE 的距离.
18. （2003?辽宁）已知函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，0)?π≤≤是R 上的偶函数，
其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2
π上是单调函数，求?和ω的值.
19. （2003?辽宁）设0a >，求函数()ln()f x x a +，(0x ∈，)+∞的单调区间. 20. （2003?辽宁）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是1A ，
2A ，3A ，B 队队员是1B ，2B ，3B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负
分分别为ξ、η.
⑴求ξ、η的概率分布； ⑵求E ξ，E η.
21. （2003?辽宁）设0a 为常数，且1*132()n n n a a n N --=-∈.
⑴证明对任意1n ≥，11[3(1)5
n
n n a -=
+-?2](1)n n +-?02n a ； ⑵假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.
22. （2003?辽宁）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c i
λ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E F 、，使得||||PE PF +为定值.若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由.
2003年辽宁省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2003?辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（）
A．B． C．D．
【分析】题目中：“曲线关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式．
【解答】解：∵曲线关于原点对称的曲线，
∴只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，
即可得到新曲线的函数解析式，
即﹣y=，整理，得．
故选A．
【点评】本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简捷．
2．（5分）（2003?全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．
【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），
∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．
∴tan2x===﹣×=﹣．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．
3．（5分）（2003?天津）=（）
A． B．C． D．
【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．
【解答】解：
=
故选B．
【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题．
4．（5分）（2003?辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=（）
A．B．
C．D．
【分析】先过P分别作AD、AB的平行线，可得，，运用向
量的加法运算可得=λ（+），λ∈（0，1）．
【解答】解：设P是对角线AC上的一点（不含A、C），过P分别作AD、AB的平行线，则可得．
设，则λ∈（0，1）且．于是=λ（+），λ∈（0，1）．
故选A．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量加法的几何意义．属基础题．
5．（5分）（2003?全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．
【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，
当x0＞0时，则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选D．
【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与
对数不等式的解法，属于常规题．
6．（5分）（2003?天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A．48 B．49 C．50 D．51
【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．
【解答】解：设{an}的公差为d，
∵，a2+a5=4，
∴+d++4d=4，即+5d=4，
解得d=．
∴an=+（n﹣1）=，
令an=33，
即=33，
解得n=50．
故选C．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．
7．（5分）（2003?天津）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）
C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）
【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；
将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．
【解答】解：由已知，解x得，
令，
当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），
则，
∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）
故选B．
【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答
时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．
8．（5分）（2003?天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．
【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，
所以八面体的体积为：．
故选C．
【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．
9．（5分）（2003?天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f
（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）
A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||]
【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．
【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，
∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，
∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+
∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．
故选：B．
【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．10．（5分）（2003?全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线
y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有
c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．
将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是．
故选D．
【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
11．（5分）（2003?全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）
A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）
【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tan θ=，用排除法解答．
【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，
此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，
则tanθ≠，排除A．B．D，
故选C．
【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．
12．（5分）（2003?全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．3πB．4πC．3D．6π
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对
角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．
【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：
（1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．
则球的半径R=，
∴球的表面积为3π，
故答案选A．
【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2003?全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）
【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于，
有Tr+1=C99﹣r?x9﹣r?（﹣）r=（﹣）r?C99﹣r?x9﹣2r，
令9﹣2r=3，可得r=3，
当r=3时，有T4=﹣x3，
故答案﹣．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
14．（4分）（2003?天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．
【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．
【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，
而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，
故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．
故答案为：6，30，10．
【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．
15．（4分）（2003?天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120 种．（以数字作答）
【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，
又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，
所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，
所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种．
∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种．
故答案为：120
【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，
不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，
由以下树状图清晰可见．
根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A43×5=120．
16．（4分）（2003?辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是①④．（写出所有真命题的序号）
【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC ⊥面AHD．④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．
【解答】证明：如图
对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；
对于②条件不足备，证明不出结论；
对于③条件不足备，证明不出结论；
对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．
综上知①④正确，故应填①④．
【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2003?天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．
（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．
【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM=D1D．
又EC CC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1=2，AB=1．
∴，，
∴．
∴
故点D1到平面DBE的距离为．
【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．
18．（12分）（2003?天津）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是
R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
【分析】由f（x）是偶函数可得?的值，图象关于点对称可得函数关
系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），
即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ=，
由f（x）的图象关于点M对称，
得，
取x=0，得f（）=sin（）=cos，
∴f（）=sin（）=cos，
∴cos=0，
又w＞0，得=+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得ω=或2．
【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．
19．（12分）（2003?天津）设a＞0，求函数f（x）=﹣ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．
【分析】由题意函数f（x）=﹣ln（x+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论．
【解答】解：由题意得，
令f′（x）=0，
即x2+（2a﹣4）x+a2=0，
其中△=4（a﹣2）2﹣4a2=8﹣8a，
（i）当a＞1时，△＜0成立，
对所有x＞0，有x2+（2a﹣4）+a2＞0．
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（ii）当a=1时，△=0成立，
对x≠1，有x2+（2a﹣4）x+a2＞0，
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，
又知函数f（x）在x=1处连续，
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（iii）当0＜a＜1时，△＞0成立，
令f′（x）＞0，
即x2+（2a﹣4）x+a2＞0，
解得x＜2﹣a﹣2或x＞2﹣a+2，
因此，函数f（x）在区间，内也单调递增．令f′（x）＜0，
即x2+（2a﹣4）x+a2＜0，
解得，
因此，函数f（x）在区间内单调递减．
【点评】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．
20．（12分）（2003?天津）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员
分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη．
【分析】（1）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，根据相互独立事件同时发生的概率做出变量ξ的分布列，根据两者之间和为3，得到另一个变量的分布列．（2）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，两个变量的期望之间也有这种关系，两个变量的期望的和是3，解出一个，另一个用做差来解．
【解答】解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．
，
，
．
根据题意知ξ+η=3，
∴P（η=0）=P（ξ=3）=，
P（η=1）=P（ξ=2）=，
P（η=2）=P（ξ=1）=，
P（η=3）=P（ξ=0）=．
（2），
∵ξ+η=3，
∴．
【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．
21．（14分）（2003?天津）设an为常数，且an=3n﹣1﹣2an﹣1（n∈N*）．
（1）证明对任意n≥1，有；
（2）假设对任意n≥1有an＞an﹣1，求a0的取值范围．
【分析】（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形，利用归纳假设，注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pn+1或者是构造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），
（2）由（1）的结论可作差an﹣an﹣1＞0并代入运算，由于含有（﹣1）n的形式要注意对n=2k﹣1和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a0的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到a0的范围，然后分n=2k﹣1和n=2k进行证明an﹣an﹣1＞0．具体解法参见参考答案．
【解答】解：（1）证法一：
（i）当n=1时，由已知a1=1﹣2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，
则，
那么
=．
也就是说，当n=k+1时，等式也成立．
根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立．
证法二：如果设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），
用an=3n﹣1﹣2an﹣1代入，可解出．
所以是公比为﹣2，
首项为的等比数列．
∴．
即．
（2）解法一：由an通项公式
．
∴an＞an﹣1（n∈N）等价于．①
（i）当n=2k﹣1，k=1，2，时，
①式即为
即为．
②式对k=1，2，都成立，
有．
（ii）当n=2k，k=1，2时，
①式即为．
即为．
③式对k=1，2都成立，有．
综上，①式对任意n∈N*，成立，有．
故a0的取值范围为．
解法二：如果an＞an﹣1（n∈N*）成立，
特别取n=1，2有a1﹣a0=1﹣3a0＞0．a2﹣a1=6a0＞0．
因此．下面证明当．时，
对任意n∈N*，an﹣an﹣1＞0．
由an的通项公式5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+（﹣1）n﹣13×2n﹣1+（﹣1）n5×3×2n﹣1a0．
（i）当n=2k﹣1，k=1，2时，
5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1a0＞2×2n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1=0
（ii）当n=2k，k=1，2时，
5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1﹣3×2n﹣1+5×3×2n﹣1a0＞2×3n﹣1﹣3×2n﹣1≥0．故a0的取值范围为．
【点评】本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式
的考查是一个难点，同时除以pn+1得到，然后用累加法得到
的等式可得结果，或者是构造一个等比数列an+1+kf（n）=p（an+kf（n））（不具有普适性）．
22．（12分）（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点
O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看
当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．
【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），
∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．
整理得．①
因为a＞0，所以得：
（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和
为合乎题意的两个定点；
（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和
为合乎题意的两个定点．
【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；zhwsd；qiss；wsj1012；minqi5；jj2008；liuerq；rxl；wzj123；geyanli；danbo7801；gongjy；涨停；xintrl；zhiyuan；于其才（排名不分先后）
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2017年5月28日
2014-2015年安徽省高考理科数学试题及答案
绝密 ★ 启用前 2014-2015年安徽卷高考理科数学试题及答案 数学（理工类） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．． 书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．． 规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B ）= P （A ）·P （B ） 第I 卷（选择题共50分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。若,1i z +=则 z i z i +?=（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i 2．“0 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。 2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学（文史类） 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=? l c c S )(21 +'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(2 1 sin cos βαβαβα--+=? 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=? 球体的体积公式：334 R V π=球 ，其中R )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+-=? 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12 y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x = 2．已知,02x π??∈- ??? ，54 cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）7 24 （D ）724 - 3．抛物线2 y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ） （A ） 18 （B ）1 8 - （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251 ,4,33,3 n a a a a n =+==则为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=?，则双曲线的离心率为（ ） （A （B （C （D 2014年安徽省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共本大题10小题,每小题5分,共50分） 1．（5分）设i是虚数单位,复数i3+=（） A．﹣i B．i C．﹣1 D．1 2．（5分）命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是（） A．?x∈R,|x|+x2＜0 B．?x∈R,|x|+x2≤0 C．?x0∈R,|x0|+x02＜0 D．?x0∈R,|x0|+x02≥0 3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（） A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2 4．（5分）如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是（） A．34 B．55 C．78 D．89 5．（5分）设a=log37,b=23.3,c=0.81.1,则（） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（5分）过点P（﹣,﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是（） A．（0,]B．（0,]C．[0,]D．[0,] 7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是（） A．B．C． D． 8．（5分）一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为（） A．B．C．6 D．7 9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8 10．（5分）设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为（） A． B．C．D．0 二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分） 11．（5分）（）+log3+log3=． 12．（5分）如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2,过点A2作A1C的垂线,垂足为A3…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=． 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2 全国卷高考数学模拟题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1． (){},|0,,A x y x y x y R = +=∈,(){},|20,,B x y x y x y R =--=∈，则集合 A B I =( ) A ．(1,1)- B ．{}{}11x y ==-U C ．{}1,1- D ．(){ } 1,1- 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( ) A .1)(2 ++-=x x x f B ． x x f 1 )(= C ． 13 ()log f x x = D . ()ln f x x = 3．已知函数(1),0 ()(1),0x x x f x x x x +, 4()4,f x x a x =-+则()f x 为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与a 有关 6．已知向量(12)a =r ， ，(4)b x =r ，，若向量a b //v v ，则x =( ) A ．2 B ． 2- C ． 8 D ．8- 7.设数列{}n a 是等差数列,且5,8152=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A.109S S < B.109S S = C.1011S S < D.1011S S = 8．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中： ①．若βα//，α?l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则l β⊥ ③．若α//l ，α?m ,则m l // ④．若βα⊥，l =?βα, l m ⊥,则β⊥m . 其中，真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9．已知离心率为e 的曲线22 217 -=x y a ，其右焦点 2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学 一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．暂缺 2． 已知== -∈x x x 2tan ,54 cos ),0,2 (则π （ ） A ． 24 7 B ．－247 C ．7 24 D ．－7 24 3．圆锥曲线的准线方程是θ θ ρ2 cos sin 8= （ ） A ．2cos -=θρ B ．2cos =θρ C ．2sin -=θρ D ．2sin =θρ 4．等差数列}{n a 中，已知33,4,3 1 521==+=n a a a a ，则n 为 （ ） A ．48 B ．49 C ．50 D ．51 5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3 B ． 2 6 C ． 3 6 D ． 3 3 5．设函数??? ??>≤-=-0,0,12)(,21x x x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是 （ ） A ．（－1，1） B ．（－1，+∞） C ．（－∞，－2）∪（0，+∞） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ．2 8．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:2 2=+->=-+-的弦长为32时，则 a = （ ） A ．2 B ．22- C ．12- D ．12+ 9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A ．2 2R π B ．2 49R π C ．2 3 8R π D ．2 2 3r π 10．函数=∈=-)(]2 3, 2[,sin )(1x f x x x f 的反函数π π （ ） A ．]1,1[,arcsin -∈-x x B ．]1,1[,arcsin -∈--x x π C ．]1,1[,arcsin -∈+-x x π D ．]1,1[,arcsin -∈-x x π 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射 2018年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 第I 卷（选择题 共50分） 一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数=++ i i i 123（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 2． 命题“0||,2≥+∈?x x R x ”的否定是（ ） A.0||,2<+∈?x x R x B. 0||,2≤+∈?x x R x C. 0||,2000<+∈?x x R x D. 0||,2000≥+∈?x x R x 3.抛物线24 1x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55 C.78 D.89 5.设 ,8.0,2,7log 3 .33===c b a 则（ ） A.c a b << B.b a c << C.a b c << D.b c a << 6. 过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]6 0π，（ B.]3 0π，（ C.]6 0[π， D.]3 0[π ， 7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移?个单位，所得图像关于y 轴对称，则?的最小正值是（ ） A.8 π B.4 π C. 83π D.4 3π 8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ） A. 23 3 B.476 C.6 D.7 9.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或5 C. 1-或4- D.4-或8 10.设,a b 为非零向量，2b a = ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ?+?+?+? 所有可能取值中的最小值为2 4a ，则a 与b 的夹角为（ ） A.23π B.3π C.6 π D.0 第I I 卷（非选择题 共100分） 二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.3 4 331654 +log log 8145-??+= ? ?? ________. 12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷（理科）及答案 本试卷分第I 卷（选择题）和第I Ｉ卷(非选择题)两部分． 第I 卷１至2页.第II 卷3至9页.共15０分.考试时间１2０分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页．第I Ｉ卷３至9页.共15０分．考试时间１20分钟. （1）圆1)1(2 2 =+-y x 的圆心到直线y x = 的距离是 (A ） 2 1 (B)23 (C)1 (D)3 (2）复数3 )2 32 1(i + 的值是 (Ａ)i - (B ）i （C ）1- (Ｄ)1 (3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 （A ）}10|{<≤x x (Ｂ)0|{ (A ）0 （B ）１ （Ｃ)2 (D ）2 (７)一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （Ａ) 43 (B)54 （C ）53 (D ）5 3- （８)正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是 (A ）?90 (B)?60 (Ｃ）?45 (D ）?30 （９)函数c bx x y ++=2 (),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是 （Ａ)0≥b （B)0≤b （C ）0>b (D)0 2014年安徽省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i?=（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i 2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（） A．34B．55C．78D．89 4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t 为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（） A．B．2C．D．2 5．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不 唯一，则实数a的值为（） A．或﹣1B．2或 C．2或﹣1D．2或1 6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（） A．B．C．0D．﹣ 7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） A．21+B．18+C．21D．18 8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（） A．24对B．30对C．48对D．60对 9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8B．﹣1或5C．﹣1或﹣4D．﹣4或8 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，?=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R 高考试题 （理工农医类） 一、选择题:在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后括号内. 【】 【】 (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S, 那么圆柱的体积等于 【】 (4)方程sin2x=sinx在区间(0, 2π)内的解的个数 是 (A)1(B)2(C)3(D)4【】 (5)【】 【】 (A){-2, 4}(B){-2, 0, 4} (C){-2, 0, 2, 4}(D){-4, -2, 0, 4} (7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称, 那么【】 (C)a=3, b=-2(D)a=3, b=6 【】 (A)圆(B)椭圆 (C)双曲线的一支(D)抛物线 【】 (B){(2, 3)} (C)(2, 3)(D){(x, y)│y=x+1} 【】 (11)如图, 正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等, 如果E、F分别为SC、AB的中点, 那么异面直线EF 与SA所成的角等于【】 (A)90°(B)60°(C)45°(D)30° (12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a, b满足│a－b │<2h;命题乙为:两个实数a, b满足│a－1│ 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设i i i z 211++-=，则=z A.0 B. 2 1 C.1 D.2 2. 已知集合{ } 02|2 >--=x x x A ，则=A C R A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>- 线方程为 A.x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y = 6.在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB A.AC AB 4143- B.AC AB 43 41- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4 341+ 7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A.172 B.52 C.3 D.2 8.设抛物线x y C 4:2 =的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为 3 2 的直线与C 交于N M ,两点，则=?FN FM A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=?? ?>≤=,0 ,ln 0 ,，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[)0,1- B.[)+∞,0 C.[)+∞-,1 D.[)+∞,1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,，ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为321,,p p p ，则 A B 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学（理科） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分钟，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．． 。 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： 如果事件A 与B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B = 如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ≠，那么 ()()()|P AB P A P B A = 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、i = A 、 14- B 、 14+ C 、 12 D 、 12 2、若集合121log 2A x x ???? =≥ ????? ? ，则A =R e A 、(,0]? -∞+∞???? B 、? +∞???? 历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 2003年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2003?全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣ 2．（5分）（2003?全国）圆锥曲线的准线方程是（） A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2 3．（5分）（2003?全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值 范围是（） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 4．（5分）（2003?全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2 5．（5分）（2003?全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（） A．B．C． D． 6．（5分）（2003?全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（） A．2πR2B．C．D． 7．（5分）（2003?全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（） A．1 B．C．D． 8．（5分）（2003?全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 9．（5分）（2003?全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（） A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] 10．（5分）（2003?全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（） A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，） 11．（5分）（2003?全国）等于（） A．3 B．C．D．6 12．（5分）（2003?全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A．3πB．4πC．3D．6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分） 13．（4分）（2003?全国）在的展开式中，x3的系数是（用数字作答） 14．（4分）（2003?全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是．15．（4分）（2003?全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答） 2011年安徽省高考数学试卷(理科)及解析 一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分) 1、(2011?安徽)设i 是虚数单位，复数12ai i +﹣为纯虚数，则实数a 为( ) A 、2 B 、﹣2 C 、 1 2﹣ D 、 12 考点：复数代数形式的混合运算。 专题：计算题。 分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a 的值． 解答：解：复数12ai i +﹣=(1)(2)(2)(2) ai i i i +++﹣=225a ai i ++﹣，它是纯虚数，所以a =2， 故选A 点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型． 2、(2011?安徽)双曲线2x 2﹣y 2=8的实轴长是( ) A 、2 B 、22 C 、4 D 、42 考点：双曲线的标准方程。 专题：计算题。 分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长． 解答：解：2x 2﹣y 2=8即为 22 148 x y =﹣ ∴a 2=4 ∴a =2 故实轴长为4 故选C 点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值． 3、(2011?安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ，则f (1)=( ) A 、﹣3 B 、﹣1 C 、1 D 、3 考点：函数奇偶性的性质。 专题：计算题。 分析：要计算f (1)的值，根据f (x )是定义在R 上的奇函娄和，我们可以先计算f (﹣1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ，代入即可得到答案． 解答：解：∵当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ， ∴f (﹣1)=2(﹣1)2﹣(﹣1)=3， 又∵f (x )是定义在R 上的奇函数 ∴f (1)=﹣f (﹣1)=﹣3 故选A 点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键． 4、(2011?安徽)设变量x ，y 满足|x |+|y |≤1，则x +2y 的最大值和最小值分别为( ) A 、1，﹣1 B 、2，﹣2 C 、1，﹣2 D 、2，﹣1 考点：简单线性规划。 专题：计算题。 分析：根据零点分段法，我们易得满足|x |+|y |≤1表示的平面区域是以(﹣1，0)，(0，﹣1)，(1，0)，(0，1)为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x +2y 然后进行比较，易求出其最值． 解答：解：约束条件|x |+|y |≤1可化为： 100 100 100100x y x y x y x y x y x y x y x y +=≥≥??=≥?? +=≥??=?，，﹣，，＜﹣，＜，﹣﹣ ，＜，＜ 其表示的平面区域如下图所示： 由图可知当x =0，y =1时x +2y 取最大值2 当x =0，y =﹣1时x +2y 取最小值﹣2 故选B全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
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