高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳
参数取值问题的题型与方法
一、若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1.已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立,求实数a 的取值范围。
解:原不等式即:4sinx+cos2x<4
5-a -a+5,要使上式恒成立,只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值,故上
述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2
x+4sinx+1=-2(sinx -1)2
+3≤3,∴45-a -a+5>3
即45-a >a+2,上式等价于??
???->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或???≥-<-04502a a ,解得
≤5
4
a<8. 另解:a+cos2x<5-4sinx+4
5-a 即a+1
-2sin 2
x<5-4sinx+4
5-a ,令sinx=t,则t ∈[
-1,1],整理得
2t
2
-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。设f(t)= 2t 2
-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,
∴
f(x)在[-1,1]内单调递减。∴
只需f(1)>0,即
45-a >a -2.(下同)
例3.设直线l 过点P (0,3),和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点,试求
AP
PB
的取值范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到:
AP PB =B
A
x x -,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事
实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
思路1: 从第一条想法入手,
AP PB =B
A x x -已经是一个关系式,但由于有两个变量
B A x x ,,同时这两个变量的范围不好控
制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y 得出关于x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.解1:当直线l 垂直于x 轴时,可求得5
1
-=PB AP ;当
l
与x 轴不垂直时,设
())
(,,2211y x B y x A ,,直线
l
的方程为:
3+=kx y ,代入椭圆方程,消去y
得
()
045544922
=+++kx x k
,解之得 .4
9596272
2
2,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称,点P 在y 轴上,所以只需考虑0>k 的
情形.当
>k 时,
4
95
9627221+-+-=
k k k x ,
4
959627222+---=
k k k x ,所以
21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2
5
929181k -+-.由 ()
049180)54(22≥+--=?k k , 解得
9
5
2≥
k ,所以
5
15
92918112
-
<-+-≤-k ,综上 5
1
1-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接
应用韦达定理,原因在于
2
1x x PB AP
-=不是关于21,x x 的对称关系式。我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2:设直线l 的
方程为:3+=kx y ,代入椭圆方程,消去
y 得()045544922=+++kx x k (*)则
???
???
?
+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=2
1
x x ,则,.
20
4532421
22+=++k k λλ在(*)中,由判别式,0≥?可得 952
≥
k ,从而有 536204532442
2≤+≤k k ,所以5
36214≤++≤λλ,解得55
1≤≤λ.结合10≤<λ得
15
1
≤≤λ. 综上,5
1
1-≤≤-PB AP . 二、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4.(江苏、天津)已知长方形四个顶点A (0,0),B (2,0),C (2,1)和D (0,1).一质点从AB 的中点P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4(入射角等于反射角).设P 4的坐标为(x 4,0).若1 (A))1,31( (B))32,31( (C))21,52( (D))3 2 ,52( 分析: 用特殊位置来解,不妨设4P 与AB 的中点P 重合(如图1所示),则P 1、P 2、P 3 分别是线段BC 、CD 、DA 的中点,所以1 tan 2 θ=.由于在四个选择支中只有C 含有 12, 故选C .当然,本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解 (如图2所示). 例6.函数y=(x -1)log 2 3a -6xlog 3a+x+1,其中在x ∈[0,1]时函数恒正,求a 的范围。 解:排除对数log 3a 的干扰,选x 为“主元”化函数为y=f(x)=(log 32 a -6 log 3a+1)x+1-log 32 a, x ∈[0,1].一次(或常数) 函数恒正,被线段端点“抬在”x 轴的上方。故有:. 31log 1,3310)1(0)0(0 3 3<<-∴<?? ???>>>a a f f a 例7.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2 +px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析:在不等式中出现了两个字母:x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将p 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。略解:不等式即(x -1)p+x 2 -2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x 2 -2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:???>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0 10 342 2 x x x 解得:???-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3. 三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。 例10.已知椭圆C:x y 2 228+=和点P (4,1),过P 作直线交椭圆于A 、B 两点,在线段AB 上取点Q ,使 AP PB AQ QB =-,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程及点Q 的横坐标的取值范围. 分析: 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的,自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数,如何将y x ,与k 联系起来一方 面利用点Q 在直线AB 上;另一方面就是运用题目条件: AP PB AQ QB =-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线,不难得到 ) (82)(4B A B A B A x x x x x x x +--+= ,要建立x 与k 的关系,只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程,利用韦达定理即可.解:设 ()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ,,则由QB AQ PB AP -=可得:x x x x x x --=--212144,解之得:) (82)(4212121x x x x x x x +--+= (1)设直线AB 的方程为: 1)4(+-=x k y ,代入椭圆C 的方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程:() 08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k (2) ∴ ??? ???? +--=+-=+.128)41(2,1 2)14(422 21221k k x x k k k x x 代入(1),化简得:.2 34++=k k x (3)与1)4(+-=x k y 联立,消去k 得:().0)4(42=--+x y x 在(2)中,由02464642>++-=? k k ,解得 4 10 24 102+<<-k ,结合(3)可求得 .9 10 216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为:042=-+y x (9 102169 10 2 16+< <-x ). 2.已知双曲线12 2:2 2=-x y C ,直线l 过点()0,2A ,斜率为k ,当10< 线l 的距离为2,试求k 的值及此时点B 的坐标。 分析1:过点B 作与l 平行的直线,必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=?. 由此出发,可设 计如下解题思路:1、()10) 2(: <<-=k x k y l ,直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2;2、把直线l ’的方程代 入双曲线方程,消去y ,令判别式0=? ;3、k k kx y l 2222:'-++=的值解得k 分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为 2”,相当于 化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:关于x 的方程 ()102 1 222 2<<=+-+-k k k x kx 有唯一解。解:设点 )2,(2 x x M +为双曲线C 上支上任一点,则点M 到直线l 的距离为: 21 222 2=+-+-k k x kx ()10< ()*,于是,问题 即可转化为如上关于x 的方程.由于10<< k ,所以 kx x x >>+22,从而有.222222k x kx k x kx +++-=-+- 于是关于x 的方程()*?)1(2222 2+=+++-k k x kx ?() ?????>+-++-+=+0 2)1(2, )2)1(2(22 2222kx k k kx k k x ? () ()()???? ?>+-+=--++ -++-. 02)1(2, 022)1(22)1(2212 2 2 222kx k k k k x k k k x k 由 1 0< () ()() 022)1(22)1(2212 2 222 =--++ -++-k k x k k k x k 的二根同正,故 02)1(22>+-+kx k k 恒成立,于是()*等价于 () ()() 022)1(22)1(2212 2222 =--++-++-k k x k k k x k .由如上关于x 的方程有唯一解,得其判别式0=? ,就可解得 5 5 2= k . 用导数求参数范围 7.已知函数 1 ()x ax f x e -= . (Ⅰ)当1a =时,求 ()f x 的单调区间; (Ⅱ)若对任意1,22t ?? ∈???? , ()f t t >恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(I )当1a =时,1()x x f x e -= 2 ()x x f x e -+'∴=,由()0f x '>得2,x <()0f x '<得2x >()f x ∴的单调递增区间为(,2)-∞,单调递减区间为(2,)+∞,(II )若对任意1,22t ??∈????, 使得()f t t >恒成立, 则1,22x ??∈????时, 1 x ax x e ->恒成立,即1,22x ??∈???? 时,1x a e x >+ 恒成立,设1()x g x e x =+,1[,2]2x ∈,则 21()x g x e x '=-,1[,2] 2 x ∈, 设2 1()x h x e x =-, 3 2()0 x h x e x '=+ >在1[,2]2x ∈上恒成立,∴()h x 在1[,2]2x ∈上单调递增,即2 1 ()x g x e x '=- 在1 [ ,2]2 x ∈上单调递增, 1 21 ()402 g e '=-<, 21 (2)04g e '=- >, ∴2 1()x g x e x '=-在1[ ,2]2有零点m ,∴21 ()x g x e x '=-在 1[,]2m 上单调递减,在(,2]m 上单调递增,∴1()2(2) a g a g ?>???>?,即2212 a a e ???>+ ? ? ,∴212a e >+ 8.已知函数()ln ,f x ax x a R =+∈ (Ⅰ)求函数 ()f x 的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数a ,使不等式2()f x ax <对(1,)x ∈+∞恒成立。 【解】(Ⅰ) 1 '(),0f x a x x =+>, ①当0a ≥时,'()0f x >,函数()f x 在(0,)+∞内是增函数,即函数的单调增区间为 (0,)+∞,②当0a <时,令'()0,f x =得10x a =- >,且1 (0,)x a ∈-时,'()0,f x >又1(,)x a ∈-+∞时,'()0,f x < 所以函数 ()f x 递增区间为1(0,)a -,递减区间为1 (,) a -+∞.(Ⅱ)假设存在这样的实数a ,使不等式 2()f x ax <对 (1,)x ∈+∞恒成立, 即2ln 0(1)ax ax x x -->>恒成立.令2 ()ln (1)h x ax ax x x =--≥,则(1)0h =,且()0(1)h x x >>恒成立2121()2ax ax h x ax a x x --'=--=①当0a =时,1 ()0h x x '=-<,则函数()h x 在[1,)+∞上单调递减,于是 ()(1)0h x h ≤=与()0(1)h x x >>矛盾,故舍去.②当0a <时,21 ()ln (1)ln ()h x ax ax x ax x x x =--=-+≥1, 而当1 x >时,由函数 2y ax ax =-和ln y x =-都单调递减.且由图象可知,x 趋向正无穷大时,1 ()(1)ln h x ax x x =-+趋向于负无穷大. 这与()0(1)h x x >>恒成立矛盾,故舍去.③当0a >时,221 ()0ax ax h x x --'==等价于 2210ax ax --=(280a a ?=+>) 记其两根为120x x <<(这是因为121 02x x a -= <),易知12(,)x x x ∈时,()0h x '<,而2(,)x x ∈+∞时,()0h x '>,(i)若21x >时,则函数()h x 在2(1,)x 上递减,于是()(1)0h x h <=矛盾,舍去; (ii)若21x ≤时, 则函数()h x 在(1,)+∞上递增,于是()(1)0h x h >=恒成立.所以201x <≤,即2281(0)a a a x a ++= ≤>,解得1a ≥,综上①②③可知,存在这样的实数1a ≥,使不等式2()f x ax <对(1,)x ∈+∞恒成立 9.设函数 2 1()ln ().2 a f x x ax x a R -= +-∈ (Ⅰ) 当1a =时,求函数 ()f x 的极值; (Ⅱ)当1a >时,讨论函数()f x 的单调性. (Ⅲ)若对任意(2,3)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈,恒有12ln 2()() ma f x f x +>- 成立,求实数m 的取值范围. 解:(Ⅰ)函数的定义域为 (0,)+∞.当1a =时,'11 ()ln ,()1.x f x x x f x x x -=-=- =令'()0,f x =得1x =.当01x <<时,'()0;f x <当1x >时,'()0.f x >()=(1)1,f x f ∴=极小值无极大值.(Ⅱ)'1 ()(1)f x a x a x =-+- 2(1)1a x ax x -+-= [(1)1](1)a x x x -+-= 1(1)()(1)1a x x a x ----= ; 当111a =-,即2a =时,2'(1)()0,x f x x -=-≤ ()f x 在(0,)+∞上是减函数;当111a <-,即2a >时,令'()0,f x <得101x a <<-或1;x >令'()0,f x >得1 1.1 x a <<-当111a >-,即12a <<时,令'()0,f x <得01x <<或1;1x a >-令'()0,f x >得11.1 x a <<- 综上,当2a =时,()f x 在定义域上是减函数;当2a >时,()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递减,在1 (,1)1 a -上单调递增;当12a <<时, ()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-单调递减,在1(1,)1 a -上单调递增(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当(2,3)a ∈时,()f x 在[1,2]上单调递减,当1x =时, ()f x 有最大值,当2x =时,()f x 有最小值.123()()(1)(2)ln 222 a f x f x f f ∴-≤-=-+∴ln 2ma +>3ln 222a -+而0a >经整理得1322m a >- 由23a <<得113 0422a -<- <,所以0.m ≥ 27. 已知函数b a R x x bx ax x f ,,()(2 3∈-+=是常数),且当1=x 和2=x 时,函数)(x f 取得极值 (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式; (Ⅱ)若曲线 )(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点,求实数m 的取值范围 解:(Ⅰ) 1 23)(2-+='bx ax x f ,依题意 )2()1(='='f f ,即 ?? ?=-+=-+, 01412,0123b a b a 解得 43 ,61=-=b a ∴x x x x f -+-=234361)(, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 )(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同 的交点,即02436123=---m x x x 在 []0,2-上有两个不同的实数解,设=)(x ?m x x x --- 24 36 12 3 , 则22321)(2--='x x x ?,由=') (x ?0 的 4=x 或1-=x ,当)1,2(--∈x 时0)(>'x ?,于是) (x ?在 []1,2--上递增;当)0,1(-∈x 时 0)(<'x ?,于是)(x ?在[] 0,1-上递减.依题意有1213001213310)0(0)1(0)2(<≤????? ? ???? ≥<-≥??????≤>-≤-m m m m ???.∴实数m 的取值范围是12 13 0< ≤m . 31.已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数). (1)若2-=a ,求证:函数)(x f 在(1,+.∞)上是增函数; (2)求函数)(x f 在[1,e]上的最小值及相应的x 值; (3)若存在],1[e x ∈,使得 x a x f )2()(+≤成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)当2-=a 时,x x x f ln 2)(2-=,当),1(+∞∈x ,0)1(2)(2 >-='x x x f ,故函数 )(x f 在),1(+∞上是增函数. (2))0(2)(2>+='x x a x x f ,当],1[e x ∈,]2,2[222e a a a x ++∈+.若2-≥a ,)(x f '在],1[e 上非负(仅当2-=a ,x=1时, 0)(='x f ) ,故函数)(x f 在],1[e 上是增函数,此时=min )]([x f 1)1(=f 。若222-<<-a e ,当2 a x -= 时,0)(='x f ;当2 1a x -< ≤时,0)(<'x f ,此时)(x f 是减函数; 当e x a ≤<-2 时,0)(>'x f ,此时)(x f 是增函数.故=min )]([x f )2( a f -2 )2ln(2a a a --=.若22e a -≤,)(x f '在],1[e 上非正(仅当2e 2-=a ,x=e 时,0)(='x f ),故函数) (x f 在],1[e 上是减函数,此时==)()]([min e f x f 2e a +.综上可知,当2-≥a 时,)(x f 的最小值为1,相应的x 值为1;当 222-<<-a e 时,)(x f 的最小值为2 )2ln(2a a a --,相应的x 值为2a -;当22e a -≤时,)(x f 的最小值为2 e a +, 相应的x 值为e .(3)不等式 x a x f )2()(+≤,可化为x x x x a 2)ln (2-≥-.∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时 取,所以x x x x g ln 2)(2--=(],1[e x ∈),又 2 ) ln () ln 22)(1()(x x x x x x g --+-= ',当],1[e x ∈时,1ln ,01≤≥-x x ,0ln 22>-+x x ,从而0)(≥'x g (仅当x=1时取等号),所以)(x g 在],1[e 上为增函数,故)(x g 的最小值为1)1(-=g ,所以a 的取值范围是),1[+∞-. 导数的综合应用 例10、(山东卷)已知函数 1()ln(1)(1) n f x a x x = +--,其中* x ∈N ,a 为常数. (Ⅰ)当2n =时,求函数 ()f x 的极值;(Ⅱ)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2n ≥时,有()1f x x -≤. 【解析】:(Ⅰ)解:由已知得函数 ()f x 的定义域为{}|1x x >,当2n =时,2 1 ()ln(1)(1) f x a x x = +--,所以23 2(1)()(1) a x f x x --'= -.(1)当0a >时,由 ()0f x '= 得111x => ,211x =<,此时123 ()()()(1) a x x x x f x x ---'=-.当1(1)x x ∈,时,()0f x '<,()f x 单调递减;当1()x x ∈+∞,时,()0f x '>,()f x 单调递增.(2)当0a ≤时,()0 f x '< 恒成立,所以 ()f x 无极值.综上所述,2n =时,当0a >时,() f x 在1x =处取得极小值,极小值 为211ln 2a f a ???=+ ? ??? .当0a ≤时,()f x 无极值. (Ⅱ)证法一:因为1a =,所以1 ()ln(1)(1) n f x x x =+--. 当n 为偶数时,令1()1ln(1)(1) n g x x x x =-----,则1112()10(1)11(1)n n n x n g x x x x x ++-'=+-=+>----(2x ≥).所以当[)2x ∈ +∞, 时,()g x 单调递增,又(2)0g =, 因此1 ()1ln(1)(2)0(1) n g x x x g x =-- --=-≥恒成立,所以()1f x x -≤成立.当n 为奇数时,要证()1f x x -≤,由于 10(1)n x <-,所以只需证ln(1)1x x --≤,令()1ln(1) h x x x =---,则12 ()1011 x h x x x -'=-=--≥(2x ≥),所以当[)2x ∈+∞, 时,()1ln(1)h x x x =---单调递增,又(2)10h =>,所以当2x ≥时,恒有()0h x >,即ln(1)1x x -< -命题成立.综上所述,结论成立.证法二:当1a =时,1 ()ln(1)(1) n f x x x = +--.当2x ≥时,对任意的正整数n ,恒有 11(1) n x -≤,故只需证明1ln(1)1x x +--≤.令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---,[)2x ∈+∞,, 则1 2()11 1 x h x x x -'=-= --,当2x ≥时,()0h x '≥,故()h x 在[)2+∞, 上单调递增,因此当2x ≥时,()(2)0h x h =≥,即1ln(1)1x x +--≤成立.故当2x ≥时,有 1 ln(1)1(1)n x x x +---≤.即()1f x x -≤. (四川)设F 1 、F 2 分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点. (1)若P 是该椭圆上的一个动点,求12PF PF 的最大值和最小值. (2)设过定点M(0, 2)的直线与椭圆交于不同的两点A 、B , 且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围. [解析](1)设P(x, y) ,12(F F 22212 1(3,)(3,)3(38)4 PF PF x y x y x y x =-----=+-=-,又[2,2]x ∈- ∴ x=0时,即点P 为椭圆短轴端点时,12PF PF 有最小值-2。2x =±时,即点P 为椭圆长轴端点时,12PF PF 有最大值1. (2) 直线x=0不满足条件,可设直线1122:2,(,)(,)l y kx A x y B x y =+、,由22 214 y kx x y =+?? ?+=??221 ()4304k x kx +++= ,12122 243,11 4 4 k x x x x k k +=-= + + , 令22 21(4)4()34304k k k ?=-+=->,得k k <> 。 又 090AOB ?<∠,故cos<∠AOB>0,∴0OA OB > . 即1212 0OA OB x x y y =+>,又2 2 12121212 21(2)(2)2()41 4 k y y kx kx k x x k x x k -+=++=+++=+ ,∴ 2223 10 1144k k k -++>++ ∴k 2>4,即-2 k k -<<- <<. 数列 2. (安徽21)数列{}n x 满足:2 *110,()n n n x x x x c n N +==-++∈ (I )证明:数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <(II )求c 的取值范围,使数列{}n x 是单调递增数列。 【解析】(I )必要条件:当0c <时,2 1n n n n x x x c x +=-++ 递减数列22121110 x x x x c c x ?>=-++?<=, 得:数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <,(II )由(I ) 得:0C ≥,①当0c =时,10n a a ==,不合题意,②当0c >时,22132,201x c x x c c x c c =>=-+>=?<< 22 11010n n n n n x x c x x c x x +-=->?<=≤,22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-, 当14c ≤ 时,1211 102 n n n n n x x x x x +++<≤?+--与1n n x x +-同号,由212100n n n n x x c x x x x ++-=>?->?> 21lim lim()lim n n n n n n n x x x c x +→∞ →∞→∞ =-++?=当14c > 时,存在N ,使121112 N N N N N x x x x x +++>?+>?-与1N N x x +-异号,与数列{}n x 是单调递减数列矛盾,得:当1 04 c <≤ 时,数列{}n x 是单调递增数列。 9.(广东)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈,且123,5,a a a +成等差数列。 (1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式。(3)证明:对一切正整数n ,有 1211132 n a a a +++< 【解】(1)12112221,221n n n n n n S a S a +++++=-+=-+ 相减得:12132n n n a a +++=+, 12213212323,34613S a a a a a a =-?=+=+=+ 123,5,a a a +成等差数列13212(5)1a a a a ?+=+?=, (2)121,5a a ==得132n n n a a +=+对* n N ?∈均成立 1113223(2)n n n n n n n a a a a +++=+?+=+得:122112123(2)3(2)3(2)32n n n n n n n n n n a a a a a -----+=+=+= =+?=- (3)当1n =时, 11312a =<,当2n ≥时,23311()()23222222 n n n n n n n a a ≥>?>??>?< 2312 11 111111*********n n n a a a +++ <++++ =+-<,由上式得:对一切正整数n ,有12 11 132 n a a a +++ < 1.( 浙江)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且 1 1a , 2 1a , 4 1a 成等比数列 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及n S (Ⅱ)记1231111 ...n n A S S S S = ++++,212221111 ...n n B a a a a = ++++,当2n ≥时, 试比较 n A 与n B 的大小. 【解】(Ⅰ)222141112 2 14 111()(3)a a a a d a a d a a a =??=?+=+1d a a ?==, 则 1111(1)(1)n a a n d a n a na na =+-=+-==, 1(1)(1)(1)222n n n n n n n S a n d an a a --+=+ =+=(Ⅱ)1231111...n n A S S S S =++++ 1111...122334(1) 2222 n n a a a a =++++???+ 2121 1223 a a = + ??2134 a + ?2121 (1) (1)1 a n n a n ++ =-++因为 22n n a a =,所以 2112221111...n n B a a a a -=++++1 1()12 112 n a -=?-21(1)2n a =- 当7. (广东)设0,b >数列{}n a 满足1 11=,(2)22 n n n nba a b a n a n --= ≥+-, (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,1 112 n n n b a ++≤+ 【 解 析 】( 1 ) 由 1111 121 0,0,. 22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>= >=++-知令 11 ,n n n A A a b = =,当 112 2,n n n A A b b -≥=+时2112 111222n n n n A b b b b ----= ++++21 211222.n n n n b b b b ---=++ ++ ①当 2 b ≠时,12(1)2,2(2)1n n n n n b b b A b b b ?? - ?-??==--②当2,.2n n b A ==时(2),222,2n n n n nb b b a b b ?-≠?=-??=? (2)当2 b ≠时,(欲证 1111(2)21,(1)2222 n n n n n n n n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证)11111212(2)(2)(22)2n n n n n n n n n b b b b b b ++++----+=++++- 112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++ 2 1212222()2 22 n n n n n n n n b b b b b b b --=++ +++++12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=?=?, 11(2) 1.22n n n n n n nb b b a b ++-∴=<+-当112,2 1.2 n n n b b a ++===+时综上所述1 1 1.2n n n b a ++≤+ 2n ≥时, 2012 21n n n n n C C C C n =+++ +>+即111112 n n -<-+;当0a >时,n n A B <;当0a <时,n n A B > . 9.(重庆) 设实数数列 {}n a 的前n 项和n S 满足()*11n n n S a S n N ++=∈ (Ⅰ)若122,,2a S a -成等比数列,求2S 和3a (Ⅱ)求证:对3k ≥有14 03 n n a a +≤≤≤ 。 解析:(Ⅰ)由题意2 212 22112 2S a a S a S a a ?=-? ==?,得 2222S S =-,由2S 是等比中项知20S ≠,因此22S =-,由23332S a S a S +==, 解得,23 22 13 S a S = =-(Ⅱ)证明:有题设条件有1 1n n n n a S a S ++=+,故11,1n n S a +≠≠,且111,11 n n n n n n S a a S S a +++= =-- 从而对3k ≥有1 111211 1121 11111 k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a S a S a a ------------+ +-===-+-+- ①因22111131024k k k a a a ---??-+=-+> ???,且210k a -≥,要证43k a ≤,由①,只要证 212 11413 k k k a a a ---≤-+,即证() 22111341k k k a a a ---≤-+,即()2120k a --≥,此式明显成立,因此()433k a k ≤≥。最后证,1 k k a a +≤,若不然,212 1 k k k k k a a a a a +=>-+,又因0k a ≥,故2211k k k a a a >-+,即()210k a -<。矛盾, 4.已知数列{}n a 中,()12a a a =>,对一切* n N ∈,0n a >,() 2121n n n a a a +=-。 (I )求证:2n a >且1n n a a +<;(II )证明:()1222n a a a n a ++ +<+-。 解:证明:(1)∵() 21 021n n n a a a += >-,∴1n a >,∴() () () 2 211 1122202121n n n n n a a a a a ------= -= ≥--,∴2n a ≥,若存在2k a =, 则12k a -=,由此可推出212,,2k a a -==,此与12a a =>矛盾,故2n a >。∵() () 12021n n n n n a a a a a +--= <-,∴ 1n n a a +<。(2)由(1)得111122222 1 2 n n n n n a a a a a --------=?< -,∴ ()1212 1 22 2 22222n n n n a a a a n -------<<<< ≥, ∴()()()()12111 12222124 2n n a a a a -??-+-+ +-≤-+++ + ???()()()11122221221212 n n a a a - ??=-?=--<- ???-, ∴ ()1222n a a a n a ++ +<+-。 8.已知函数 y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得()()1212 f x f x L x x -≤-都成立. (1)若 ()f x =,求L 的取值范围;(2)当01L < <时,数列{}n a 满足()1n n a f a +=,1,2, n =. ① 证明: 112 1 1 1n k k k a a a a L +=-≤ --∑ ; ② 令() 121,2,3,k k a a a A k k ++ = =,证明: 112 1 1 1n k k k A A a a L +=-≤ --∑ . 解答:(1)证明:对任意12 ,x x ∈R ,有:()( ) 12f x f x -== 2122x x += 由 ()()1212 f x f x L x x -≤-,122x x +12L x x ≤-.当12x x ≠时, 得L ≥ . 21121,x x x +>1212 x x x x +≥+且,∴ 1212 1x x x x +< ≤+。∴要使 ()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥,当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立. ∴ L 的取值范围是 [) 1,+∞。(2) 证明:①∵ () 1n n a f a +=, 1,2, n =,故当 2 n ≥时,()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112 n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤ ≤-。 ∴ 112233411 n k k n n k a a a a a a a a a a ++=-=-+-+-+ +-∑( )2 1 121n L L L a a -≤+++ +-1211n L a a L -= -- ∵ 01L <<,∴ 1121 1 1n k k k a a a a L +=-≤ --∑ (当 1n =时,不等式也成立) 。②∵ 12k k a a a A k ++ = ,∴ 1212111 k k k k a a a a a a A A k k ++++ ++++-= - + ()()12111k k a a a ka k k += ++ +-+ () ()()()() 12233411 231k k a a a a a a k a a k k += -+-+-+ +-+() ()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+.∴ 112231 1 n k k n n k A A A A A A A A ++=-=-+-++-∑ ()()1223111111 21223123341a a a a n n n n ????≤-++++-+++ ? ? ? ? ??+??+????()()3411111 3344511n n a a n a a n n n n +??+-+++++-? ? ???++?? 1223112111111n n n a a a a a a n n n +????? ?=--+--++-- ? ? ?+++?????? ≤12231n n a a a a a a +-+-+ +- 12 1 1a a L ≤ --. 15. 设数列 {}{}n n b a ,满足3,4,63322 11======b a b a b a ,且数列{}()++∈-N n a a n n 1是等差数列,数列 {}()+∈-N n b n 2是等比数列。 16. (I )求数列 {}n a 和{}n b 的通项公式;(II )是否存在+ ∈N k ,使?? ? ??∈-21,0k k b a ,若存在,求出k 。 解(1)由已知212 -=-a a ,123-=-a a ∴公差()121=---=d 31)1()(121-=?-+-=-∴+n n a a a a n n ) ()()(113121--++-+-+=∴n n n a a a a a a a a )4(0)1()2(6-+++-+-+=n []2 )1()4()2(6--+-+=n n = 2 18 72+-n n 由已知22,4221=-=-b b ,所以公比21=q ()111 2142122--?? ? ???=??? ??-=-∴n n n b b n n b ??? ???+=∴2182(2)设k k b a k f -=)(k 2171928222k k ??????=-+-+??? ? ?????????2k 1749187 2242k ??????=---?+?? ? ?? ???????,所以当4≥k 时,)(k f 是 增函数。又21)4(= f ,所以当2≥k 时21)(≥k f ,又0)3()2()1(===f f f ,所以不存在k ,使?? ? ??∈21,0)(k f 。 16. 数列}{n a 的首项11=a ,前n 项和S n 与a n 之间满足).2(1 222 ≥-=n S S a n n n (1)求证:数列{ n S 1 }的通项公式;(2)设 存在正数k ,使12)1()1)(1(21+≥+++n k S S S n 对一切*N n ∈都成立,求k 的最大值. 解:(1)证明:∵ 12--=≥n n n S S a n 时,,∴ 1 222 1 -= --n n n n S S S S ,∴ 2 12)12)((n n n n S S S S =---,∴ 112--=-n n n n S S S S ,∴ )2(2111≥=--n S S n n ,数列11}1{1 =S S n 是以为首项,以2为公差的等差数列。(2)由(1) 知 122)1(11 -=?-+=n n S n ,∴ ,1 21 -= n S n ∴ .1 21 1+= +n S n 设1 2)1()1)(1()(21++++=n S S S n F n ,则 3212)1()()1(1+++=++n n S n F n F n .13844 84) 32)(12(222 2>++++=+++=n n n n n n n ∴*)(N n n F ∈在上递增,要使k n F ≥)(恒成立,只需k n F ≥min )]([∵332)1()]([min = =F n F ∴.33 2