高等数学试卷和答案
高等数学试卷和答案文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
高等数学（下）模拟试卷
一
一、填空题（每空3分，共15分）
（1）函数
11
z x y x y =
++-的定义域为 （2）已知函数arctan y z x =，则z
x ?=
?
（3）交换积分次序，2
220
(,)y y dy f x y dx
?
?
＝
（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=
?
（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为
二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=??
--+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交
（2）设
是由方程
222
2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy
+22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面
5z =所围成的闭区域，将
2
2()x
y dv
Ω
+???在柱面坐标系下化成三次积分为（）
225
30
d r dr dz
πθ?
??.24
530
00
d r dr dz
π
θ??? 22
5
350
2r
d r dr dz
πθ?
??.22
5
20
d r dr dz
π
θ???
（4）已知幂级数
，则其收敛半径（）
211
2
2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *
=（）
()x ax b xe +()x ax b ce ++()x
ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分）
1、求过直线1L :
123
101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z
+-==的平面方程
2、已知
22
(,)z f xy x y =，求z
x ??，z y ?? 3、设22
{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求
2
D
x dxdy
??
4、求函数22
(,)(2)x f x y e x y y =++的极值
得分
阅卷人
5、计算曲线积分2
(23sin )()y
L xy x dx x e dy ++-?，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点
(0,0)O 到(,2)A π的一段弧
6、求微分方程x
xy y xe '+=满足11x y ==的特解
四.解答题（共22分） 1、利用高斯公式计算
2
2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
+-??，其中∑由圆锥面22
z x y =+与上半
球面22
2z x y =--所围成的立体表面的外侧(10)'
2、（1）判别级数111
(1)3n n n n
∞
--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）
（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1n
n nx
∞
=∑的和函数（6'）
高等数学（下）模拟试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
（1）函数
2
4x y z -=
的定义域为； （2）已知函数xy
z e =，则在(2,1)处的全微分dz =；
（3）交换积分次序，ln 1
(,)e x dx f x y dy
?
?
＝；
（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则L yds =?；
（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为.
二．选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为300x y z x y z ++=??
--=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）； 02π3π4π（2）设是由方程33
3z xyz a -=确定，则z
x ?=?（）；
2yz xy z -2yz z xy -2xz xy z -2xy
z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=
（）；
2()x ax b e +2()x ax b xe +2()x ax b ce ++2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222
x y z a ++=所围成的闭区域,将dv
Ω???在球面坐标系下化成
三次积分为（）；
A 22
20
sin a
d d r dr
π
πθ???
?? B.220
0a
d d rdr
π
πθ??
??
20
a
d d rdr
ππθ??
??.220
sin a d d r dr
ππ
θ???
??
（5）已知幂级数1212n
n
n n x ∞
=-∑，则其收敛半径
（）.
2112
2
三．计算题（每题8分，共48分）
5、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线
方程.
6、已知
(sin cos ,)x y
z f x y e +=，求z
x ??，z y ??. 7、设22
{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctan
D
y
dxdy x ??.
8、求函数22
(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x L e y y dx e y dy
-+-?，其中L 为沿上半圆周222
(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.
8、求微分方程3
2
(1)1y y x x '-=++的通解.
四．解答题（共22分） 1、（1）（6'）判别级数1
1
(1)
2sin
3n n n n π
∞
-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是
条件收敛；
（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞
=∑的和函数.
2、(12)'利用高斯公式计算
2xdydz ydzdx zdxdy
∑
++??，∑为抛物面
22
z x y =+(01)z ≤≤的下侧
高等数学（下）模拟试卷三
一．填空题（每空3分，共15分）
1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为.
2、2
2
(2)lim 332n n n n →∞++-=.
3、已知2
ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy =.
4、定积分1
200621
(sin )x x x dx -+=
?.
5、求由方程5
7
230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dy dx =
.
二．选择题（每空3分，共15分）
1、2x =是函数
22
132x y x x -=-+的间断点 得分
阅卷人
得分
（A ）可去（B ）跳跃 （C ）无穷（D ）振荡
2
、积分10
?
=.
(A)∞(B)-∞
(C)0(D)1
3、函数
1x
y e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。 （A ）单调增加；（B ）单调减少；
（C ）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、1
sin x tdt
?的一阶导数为. （A ）sin x （B ）sin x -
（C ）cos x （D ）cos x -
5、向量{1,1,}a k =-与{2,2,1}b =--相互垂直则k =.
（A ）3（B ）-1（C ）4（D ）2
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限1
23lim(
)
21x x x x +→∞+-
2、求极限3
0sin lim x x x x →-
3、已知ln cos x
y e =，求dy dx
四．计算题（4小题，每题6分，共24分）
1、已知221t x y t ?=
???=-?，求22
d y dx
2、计算积分2
cos x
xdx
?
3、计算积分1
0arctan xdx
? 4
、计算积分?
五．觧答题（3小题，共28分）
1、(8)'求函数
42
341y x x =-+的凹凸区间及拐点。 2、(8)'设11
01()101x x x
f x x e +?≥??+=?
?
3、（1）求由2y x =及2
y x =所围图形的面积；(6)'
（2）求所围图形绕x 轴旋转一周所得的体积。(6)'
高等数学（下）模拟试卷四
一．填空题（每空3分，共15分）
1
、函数1
y x =
.
2、0
,0
ax e dx a +∞
->?=.
3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy =.
4、定积分1
2
1sin 1x
dx x -+?=.
5、函数43
341y x x =-+的凸区间是. 二．选择题（每空3分，共15分）
1、1x =是函数
211x y x -=
-的间断点 （A ）可去（B ）跳跃 （C ）无穷（D ）振荡
2、若0()
0,(0)0,(0)1,lim x f ax a f f x →'≠==-=
=
(A)1(B)a
(C)-1(D)a -
3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是。
（A ）单调增加；（B ）单调减少；
（C ）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、已知向量{4,3,4}a =-与向量{2,2,1}b =则a b ?为. （A ）6（B ）-6 （C ）1（D ）-3
5、已知函数()f x 可导，且0()f x 为极值，()
f x y e =，则
x x dy dx
==
.
（A ）0()
f x e （B ）0()f x '（C ）0（D ）0()f x
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限10
lim(1-)
k x
x kx +→
2、求极限12cos 2
sin lim
sin x
x t dt
x x
→?
3、已知1lnsin x
y
e =，求dy dx
四．计算题（每题6分，共24分）
1、设10y
e xy --=所确定的隐函数()y
f x =的导数0
x dy
dx
=。
2、计算积分arcsin xdx
?
3
、计算积分0
π
?
4
、计算积分0
,0
a >?
五．觧答题（3小题，共28分）
1、(8)'已知2223131at x t at y t ?=??+??=?+?
，求在2t =处的切线方程和法线方程。 2、(8)'求证当0a b >>时，1ln ln 1a b a
a b b -<<
- 3、（1）求由3
y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'
（2）求所围图形绕y 轴旋转一周所得的体积。(6)'
高等数学（下）模拟试卷五
一．填空题（每空3分，共21分） 1．函数y y x z )ln(-=
的定义域为。
2．已知函数2
2y x e
z +=，则=dz 。
3．已知xy e z =，则=
??)
0,1(x
z
。
4．设L 为12
2=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=?ds L 2。
5．交换积分顺序?
?=
x e
dy y x f dx ln 0
1
),(。
6.级数∑∞
=-1)1(n n
n 是绝对收敛还是条件收敛。
7．微分方程x y sin ='的通解为。
二．选择题（每空3分，共15分）
1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（）条件。 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分，也非必要 2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（）。
A ．6π
B ．4π
C ．2π
D ．3π
3．幂级数∑∞
=-1)5(n n n
x 的收敛域为（）。
A ．[)6,4
B ．()6,4
C ．(]6,4
D ．[]6,4
4．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠)()
(21x y x y 常数，则下列
（）是其通解（21,c c 为任意常数）。
A ．)()(211x y x y c y +=
B ．)()(221x y c x y y +=
C ．)()(21x y x y y +=
D ．)()(2211x y c x y c y +=
5．
???Ω
zdv
在直角坐标系下化为三次积分为（），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，0,3z z ==所围的闭区域。
A ．0
33300dx dy zdz
???B ．3
33000dx dy zdz
???C ．3
03
3
dx dy zdz
???D ．3
30
3
dx dy zdz
???
三．计算下列各题（共21分，每题7分）
1、已知0ln =-+xy e z z
，求
y z x z ????,。 2、求过点)2,0,1(且平行直线3221
1z
y x =
-+=-的直线方程。 3、利用极坐标计算??+D
d y x
δ
)(22
，其中D 为由
422=+y x 、0=y 及x y =所围的在第一象限的区域。
四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）
1、利用格林公式计算曲线积分dy
y x xy dx e y x L
)sin 52()(22++++?
，其中L 为圆域
D ：
42
2≤+y x 的边界曲线，取逆时针方向。 2、判别下列级数的敛散性：
五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）
1、求函数1
3321
),(23++--=y x y x y x f 的极值。
2、求方程x
e y dx dy
-=+满足20==x y 的特解。
3、求方程282x
y y y e '''+-=的通解。
高等数学（下）模拟试卷六
一、填空题：（每题3分,共21分.） 1．函数arccos()z y x =-的定义域为。
2．已知函数ln()z xy =，则()2,1z
x ?=
?。 3．已知
()
22sin z x y =+，则=dz 。
4．设L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则2L
ds =
?。
5．将0
化为极坐标系下的二重积分。
6.级数∑∞
=-12
)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛。
7．微分方程2y x '=的通解为。
二、选择题：（每题3分,共15分.）
1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分存在的（）条件。
A ．必要非充分，
B ．充分，
C ．充分必要，
D ．既非充分，也非必要，
2．直线22:1
10x y z l -+==
与平面:23x y z π++=的夹角为（）。 A ．6πB ．3πC ．2πD ．4π
3．幂级数2
13n
n n x n ∞
=∑的收敛域为（）。
A ．(3,3)-
B ．[3,3]-
C ．(3,3]-
D ．[3,3)-
4.设*
()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，()y x 是方程
()y p x y '''+()q x y +
0=的通解，则下列（）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通解。
A ．()y x
B ．*()()y x y x -
C ．*()y x
D ．*
()()y x y x +
5．
2
z dv
Ω
???在柱面坐标系下化为三次积分为（），其中Ω为2222
x y z R ++≤的上半
球体。
A ．22
R R
d rdr z dz
πθ?
??B ．2200
R r
d rdr z dz
πθ?
?
?
C ．22
000R
d dr dz
π
θ?
?D ．220
R
d rdr z dz
π
θ??
三、计算下列各题（共18分，每题6分）
1、已知3
35z xyz -=，求
y z x z ????, 2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。
3、计算
22()D
x y dxdy +??
，其中D 为y x =、0y =及1x =所围的闭区域。
四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）
1、计算曲线积分2()(sin )L
x y dx x y dy
--+?
，其中L 为圆周2
2x x y -=上点)0,0(到
)1,1(的一段弧。
2、利用高斯公式计算曲面积分：
xdydz ydzdx zdxdy
∑
++??，其中∑是由
220,3,1z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：
五、求解下列各题（共21分,每题7分）
1、求函数
123163),(23
2++-
+=y y x x y x f 的极值。
2、求方程x
dy
y e dx -=满足0
1x y
==的特解。
3、求方程=+'-''y y y 65(1)x
x e +的通解。
高等数学（下）模拟试卷七
一．填空题（每空3分，共24分）
1
．二元函数z =
2．一阶差分方程
12135t t y y +-=
的通解为 3．y
z x =的全微分=dz _
4．0ydx xdy -=的通解为________________
5．设
x y z arctan
=，则z x ?=
?______________________ 6．微分方程250y y y '''-+=的通解为
7．若区域{}4|),(2
2
≤+=y x y x D ，则
??=
D
dxdy 2
8．级数01
2
n
n ∞
=∑的和s=
二．选择题：（每题3分，共15分）
1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的条件
（A ）充分而非必要（B ）必要而非充分 （C ）充分必要（D ）既非充分也非必要
2
．累次积分
1
00
(,)dx f x y dy
?改变积分次序为
(A)11
(,)dy f x y dx
?
?（B
）10
(,)dy f x y dx
?
（C ）210
(,)y dy f x y dx
?
?
（D ）211
(,)y
dy f x y dx
?
?
3．下列函数中，是微分方程356x
y y y xe '''-+=的特解形式(a 、b 为常数)
（A ）x e b ax y 3)(+=（B ）x
e b ax x y 3)(+= （C ）x e b ax x y 32)(+=（D ）x ae y 3=
4．下列级数中，收敛的级数是
（A ）∑∞
=+1121
n n （B ）121n n
n ∞
=+∑（C ）1(3)2n n
n ∞=-∑（D ）1(1)n n n
∞
=-∑
5．设222
4x y z z ++=，则z x ?=?
(A)x z (B)2x z -(C)2x z -(D)x
z -
三、求解下列各题（每题7分，共21分） 1.设
2ln ,,34x z u v u v x y y ==
=-而，求y z x z ????,
2.判断级数132n
n n n ∞
=∑的收敛性 3.计算2
2
x y D e dxdy +??，其中
D 为22
1x y +≤所围区域
四、计算下列各题（每题10分，共40分） 1.求微分方程
1
ln y y x x '-
=的通解.
2.计算二重积分
()D
I x y dxdy
=+??，其中D 是由直线,1y x x ==及x 轴围成的平面区域.
3.求函数32
(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值.
4.求幂级数214n
n
n x n ∞
=?∑的收敛域.
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、{(,)|0,0}x y x y x y +>->
2、2
2y
x y -+3
、4102(,)x dx f x y dy ??
4
、312x x
y C e C e -=+
二、选择题：（每空3分，共15分）1.C 2.D 3.C 4A 5.D 三、计算题（每题8分，共48分） 1、解：12(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}A s s →
→
=-=2'
∴平面方程为320x y z -++=8'
2、解：令
2
2u xy v x y ==2'
3、解：:0202D r θπ≤≤≤≤，3'
4．解：22
2(,)(2241)0(,)(22)0x x x y f x y e x y y f x y e y ?=+++=??=+=??得驻点
1(,1)2-4' 22
20,40A e AC B e =>-=>∴极小值为11(,1)22f e -=-8'5．解：
223sin ,y P xy x Q x e =+=-，有2,P Q x y x ??==∴
??
曲线积分与路径无关2'
积分路线选择：1:0,L y x =从0π→，2:,L x y π=从02→4' 6．解：
11
,x x y y e P Q e x x '+
=?==2'
∴通解为1
1
()()[()][]dx dx P x dx
P x dx
x x x y e Q x e dx C e e e dx C --????=+=+??4'
代入11x y ==，得1C =，∴特解为
1[(1)1]x y x e x =-+8' 四、解答题 1、解：
2
2(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv
∑
Ω
Ω
+-=+-=????????4'
方法一：原式＝234
cos sin 2d d dr π
ππ
θ???=
?
??
10'
方法二：原式＝
21
1
20
2(1)2r
d rdr r r dr ππ
θπ=-=
?
??10'
2、解：（1）令11(1)3n n n n u --=-1111131lim lim 1333n n n n n n n n u n n u n -∞
+-→∞→∞=+=?=<∴∑收敛，4'
11
1
(1)3n n n n
∞
--=∴-∑绝对收敛。6' （2）令
111
1
()()
n
n n n s x nx x nx xs x ∞∞
-=====∑∑2'
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、2
2
2
{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+<2、2
2
2e dx e dy +3、1
(,)y e
e
dy f x y dx
??
4
、1
1)125、12()x
y C C x e =+
二、选择题：（每空3分，共15分）1. A 2.B 3.B D .A
三、计算题（每题8分，共48分） 1、解：12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →
→
==-2'
∴直线方程为242
31x y z --==
-8' 2、解：令sin cos x y
u x y v e +==2'
3、解：
:001
4
D r π
θ≤≤
≤≤，3'
4．解：(,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=???
=+=?
?得驻点(3,1)-4' 220,200A AC B =>-=>∴极小值为(3,1)8f -=-8'
5．解：
sin 2,cos 2x
x P e y y Q e y =-=-，
有cos 2,cos ,x x P
Q
e y e y y
x ??=-=??2'
取(2,0),:0,A a OA y x =从02a →4'
∴原式＝2
a π－OA
Pdx Qdy
+?＝22
0a a ππ-=8'
6．解：
3
2
1
,(1)1P Q x x =-=++2' ∴通解为
11
3()()112
[()][(1)]dx dx P x dx
P x dx
x x y e Q x e dx C e x e dx C --++???
?
=+=++??4'
四、解答题
1、解：（1）令
1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin
23lim lim 1
32sin 3n n n n n n n n
u u π
π+++→∞→∞==<4'
1
2sin 3n
n n π∞=∴∑收敛，11(1)2sin 3n n n
n π∞
-=∴-∑绝对收敛6' （2）令
1()n n x s x n ∞
==∑
111
1
()1n n n n x s x x n x ∞
∞
-=='??'===
?-??∑∑，2' 2、解：构造曲面1:1,z ∑=上侧
高等数学（下）模拟试卷三参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.10X x ≤≠且；
2.1a ；
3.2dx ；；5.20,3??????或20,3?? ???
二．选择题：（每空3分，共15分）1.;2.;3.;4.;5..A D A A C
三．计算题：
1.()
()
1
()420lim 11k k
k
kx
x kx kx e ?-'
'
--→=-?-=
2.
122222cos 3
2
0sin (sin cos )(sin )
lim
lim 3x
x x t dt x x x x '
'
'
→→---===∞
?
3.
1
1lnsin lnsin 422211111
cos cot
1sin x x dy e e dx x x x x
x '
'
??=-=- ?
??
四．计算题：
1.
2130
0;0,0;
0y x y x dy y e y y xy x y dx
e x
'''
==''--=====-；
2.
原式
222sin sin (1)
xarc x xarc x x ''
=-=+-??
3.原式
33323122
2
2
2
4(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x ππ
π
π'
''==-=
???
4.
原式
223210
'
'
'
?===?。
五．解答题:
1．
2111224612,2,,,,:43120,1355t a a y t k x y x y a t '
'
'
''
'===-==+-=-1切线法线：3x-4y+6a=0
[]2221
1ln ln 1
()ln ,,,0,ln ln (),,a b f x x x b a a b a b a b b a a a b b ζζ'
'
'
-=∈>>-=-<<<<
-设.（1）
2
42
32220
4
4x S x dx '
'
'
??=== ?
???
（2）、
8
25
8
2
2233003644455y V y dy y y πππ
'''
????=-=-= ? ??????
高等数学（下）模拟试卷四参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.24x ≤≤；
2.13；
3.dx ；
4.2
3；5.6
4
12125x y ++。
二．选择题：（每空3分，共15分）
1.C ；
2.D ；
3.B ；
4.B ；
5.C 。
三．1.
23
332
5322(2)333111222lim lim 111111222x x
x x x x x x e x x x ?'
'
-?-→∞→∞??????+++ ? ? ???=== ? ??? ? ?
--- ???
????
2.2
22222002sin 1cos 12
lim
lim 336x x x x x
x ''
'
→→-===
3.331(sin )cot cos x x x x
x
dy e e e e dx e
''
=?-?=-
四．
1.
222
2
3
221
1,d y t y t t dx t '
''
-'=-=
=；
2.
42
2
22
sin sin sin 2sin 2cos 2sin x d x x x x xdx
x x x x x c
'
'
==-?=+-+??
3.
21
21
2120
0201ln(1)ln 2
arctan 1424
2
x x x x dx x ππ
'
''
+=-?=-=
-
+?
4.
2212
10
sin 2,22t x t t tdt t π
π'
''
'
??===+=
????。 五．解答题
1.()3222121212,3624,20,3220033y x x y x x x x '
'
''''=-=-==????-∞+∞ ? ?????24为拐点，
，、，为凹区间，， 为
凸区间
2.121
12
01011
,111(1),(2)(2)ln ln(1)ln (2)
11,11x
x x
x
x x f x dx dx e e x e x x e ?≥??'''-==+=-++?+?
3.（1
）、)
1
3
31
24222
021
3
33
x x dx x ''
'
??==-=
?
???
（2）、
()1
25144220
32510
x x x V x x dx
πππ'
'
'
??=-=-= ?
???
高等数学（下）模拟试卷五参考答案
一、填空题：（每空3分，共21分）
1、{}0,),(≠>y y x y x ，
2、
dy ye dx xe y x y x 2
2
2
2
22+++，3、0,4、2π， 5、?
?e
e y
dx
y x f dy ),(1
，6、条件收敛，7、c x y +-=cos （c 为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、A ，2、D ，3、A ，4、D ，5、B
三、解：1、令
xy e z z y x F z
-+=ln ),,(1' 2、所求直线方程的方向向量可取为{
}3,2,1-2' 则直线方程为：32
21
1-=-=-z y x 7' 3、原式
??=2
340
dr
r d π
θ4'
四、解：1、令52,2,
sin 52),(,),(22+=??=??++=+=y x Q
y y P y x xy y x Q e y y x P x 3'
原式
dxdy y P
x Q D
)(
??-??=??6'
2、)1(此级数为交错级数1' 因01lim =∞→n n ，111+>
n n
),2,1( =n 4' 故原级数收敛6' (2)此级数为正项级数1'
因
13133)1(lim 212
<=++∞→n n n n n 4' 故原级数收敛6' 五、解：1、由
033),(2
=-=x y x f x ，03),(=-=y y x f y 得驻点)3,1(),3,1(-2' 在)3,1(处1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-======yy xy xx f C f B f A 因,02
<-B AC ，所以在此处无极值5' 在)3,1(-处1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-=-==-=-=-=yy xy xx f C f B f A
因0,02
<>-A B AC ，所以有极大值
215
)3,1(=
-f 8'
2、通解
?
+?=--?dx
dx
x e c dx e e y 1][3'
特解为
x
e x y -+=)2(8' 3、1)其对应的齐次方程的特征方程为0822=-+r r
有两不相等的实根4,221-==r r
所以对应的齐次方程的通解为x
x e c e c y 4221-+=（21,c c 为?常数）
3'
)2设其特解*()x y x ae =
将其代入原方程得
252,5x x ae e a -==-
故特解
*2
()5x
y x e =-6' )3原方程的通解为2412x
x
y c e c e
-=+2
5
x e -7'
高等数学（下）模拟试卷六参考答案
一、 填空题：（每空3分，共21分）
1、{}11),(+≤≤-x y x y x ，
2、21
，3、dy y x y dx y x x )cos(2)cos(22
222+++,
4、22，
5、1
220
()d f r rdr
π
θ?
?，6、绝对收敛，7、c x y +=2
（c 为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、B ，2、B ，3、B ，4、D ，5、D
三、解：
1、令53),,(3
--=xyz z z y x F 2'
2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'
则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6' 3、原式
dy
y x dx x
??+=0
2210
)(4'
四、解：1、令
2(,),(,)(sin ),
1P Q P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'
原式
1
1
2
(0)(1sin )x dx y dy
=--+??6'
2、令z R y Q x P ===,,2'
原式()P Q R dv
x y z
Ω???=++??????5' 3、)1(此级数为交错级数1'
因0
ln 1lim =∞→n n ，)1ln(1ln 1+>n n )3,2( =n 4'
故原级数收敛5'
(2)此级数为正项级数1'
因
13
43sin 43sin
4lim 11>=++∞→n
n n n n ππ
4' 故原级数发散5' 五、解：1、由066),(=+=x y x f x ，
04),(2
=-=y y y x f y 得驻点)4,1(),0,1(--3' 在)0,1(-处4)0,1(,0)0,1(,6)0,1(=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因0,02
>>-A B AC ，所以有极小值2)0,1(-=-f 5'
在)4,1(-处4)4,1(,0)4,1(,6)4,1(-=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因
,02
<-B AC ，所以在此处无极值7' 2、通解
1[]dx
dx
x y e e dx c e -?
?=+?3'
特解为(1)x
y x e =+7'
3、)1对应的齐次方程的特征方程为0652=+-r r ,有两不相等的实根3,221==r r
所以对应的齐次方程的通解为x
x e c e c y 3221+=（21,c c 为?常数）
3' )2设其特解x e b ax x y )()(*+=
将其代入原方程得
15
2321,,24ax a b x a b -+=+==
故特解
*15
()()24x
y x x e =+6' )3原方程的通解为x x e c e c y 3221+=15()24
x x e
++7'
高等数学（下）模拟试卷七参考答案
一．填空题：（每空3分，共24分）
{}2
2
(,)|025x y x y <+<23
()35t t
y C =?+1ln y y yx dx x xdy -+y Cx =22
1y x y
+12(cos 2sin 2)x y e C x C x =+8π二．选择题：（每题3分，共15分）
三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）
1.解：
2
22
23
ln(34)
(34)
z z u z v x x
x y
x u x v x y x y y
?????
=+=-+
?????-………(4分)
22
32
24
ln(34)
(34)
z z u z v x x
x y
y u y v y y x y y
?????-
=+=--
?????-………(7分)
四．计算下列各题（每题10分，共40分）