运筹学03-excel求解

第2章线性规划的计算机求解及应用举例

§1线性规划模型在电子表格中的布局

线性规划模型在电子表格中布局的好坏关系到问题可读性和求解方便性的高低。本节以第一章中的例1（资源分配问题）为例来说明一下如何在电子表格中描述线性规划模型，让我们回顾一下第一章中例1的数学模型：

Max 1243Z x x =+

. 1212126282318,0

x x x x x x ≤?

?≤??+≤??≥? （）

一般来说，在与问题相关的表格的基础上稍加调整就可以在电子表格中形成一个十分清

晰的模型描述。我们以表1-1为基础在Excel 电子表格中将上述问题描述如图2-1。

§2用Excel 规划求解工具求解线性规划模型

Excel 中有一个工具叫规划求解，可以方便地求解线性规划模型。“规划求解”加载宏是Excel 的一个可选加载模块，在安装Excel 时，只有在选择“定制安装”或完全安装时才可以选择装入这个模块。如果你现在的Excel 窗口菜单栏的“工具”菜单中没“规划求解”选项，可以通过“工具”菜单的“加载宏”选项打开“加载宏”对话框来添加“规划求解”（见图2-2）。

在应用规划求解工具以前，要首先确认在Excel 电子表格中包括决策变量、目标函数、约束函数三种信息的单元格或单元格区域。图2-1中的电子表格中就已经有了这部分内容：决策变

图2-1 资源分配问题的模型在Excel 电子表格的布局及公式

图2-2 加载宏对话框

量在C9和D9单元格中；目标函数的系数在第8行；约束函数在第5、6和7行。因为我们不知道决策变量的值是多少，所以就在决策变量所在的单元格中填上初始值“0”，当然也可以什么都不填，系统会默认它为0，在求解以后Excel会自动将它们替换成决策变量的最优解。下面我们接着上节的内容用Excel规划求解将第一章例1的资源分配问题解一遍。

首先将要求解模型的所有相关信息和公式像图2-1那样填入电子表格中后，再选取[工具] | [规划求解]命令后，弹出图2-3所示的“规划求解参数”对话框。

图2-3 规划求解参数对话框

“规划求解参数”对话框的作用就是让计算机知道模型的每个组成部分放在电子表格的什么地方，我们可以通过键入单元格（或单元格区域）的地址或用鼠标在电子表格相应的单元格（或单元格区域）点击或拖动的办法将有关信息加入到对话框相应的位置。下面我们分别对其中的选项略作解释：

1.设置目标单元格。在此文本框中应指定目标函数所在单元格的引用位置，此目标单元格，经求解后获得某一特定数值、最大值或最小值。由此可见，这个单元格必须包含公式。本例中由于目标函数在E8单元格，所以输入“E8”。输入后Excel会自动将其变为图2-3所示的美元符号来固定这个地址。

2.等于。在此指定是否需要对目标单元格求取最大值、最小值或某一指定数值。如果需要让目标函数为某一指定数值，则要在右侧编辑框中键入。本例是求目标函数最大化，所以选最大值。

3.可变单元格。可变单元格指定决策变量所在的各单元格、不含公式，可以有多个区域或单元格，求解时其中的数值不断调整，直到满足约束条件，并且“设置目标单元格”编辑框中指定的单元格达到目标值。可变单元格必须直接或间接与目标单元格相联系。本例的决策变量在C9和D9两个单元格中，所以在此键入“C9:D9”单元格引用区域。

4.推测。单击此按钮，自动定位“设置目标单元格”编辑框中公式引用的所有非公式单元格，并在“可变单元格”编辑框中输入其引用。

5.约束。在此列出了当前的所有约束条件。到此为止，我们还未添加模型的任何约束条件，所以图2-3中没有显示。

6.添加。显示“添加约束”对话框（见图2-4）。在添加约束对话框中有三个选项，其中

①单元格引用位置指定需要约束其中数据的单元格或单元格区域，一般在此处添加约束函数不等式左侧的函数表达式的单元格或单元格区域。本例输入“E5:E7”。

②约束值。在此指定对“单元格引用位置”编辑框中输入的内容的限制条件。即，对于单元格引用及其约束条件，选定相应的需要添加或修改的关系运算符（<=、=、>=、Int、或Bin），然后在右侧的编辑框中输入数字、单元格或区域引用及公式等约束条件。本例输入“G5:G7”。

③添加。单击此按钮可以在不返回“规划求解参数”对话框的情况下继续添加其它约束条件。由于我们已经把所有的约束都一次添加上了，所以只需按“确定”键，回到“规划求

解参数对话框（见图2-5），我们发现“约束”一栏中已经显示了我们刚刚添加的约束。

7.更改。单击后显示“改变约束”对话框（见图2-6）。从本质上说，“改变约束”对话框与“添加约束”对话框没有区别，它们的各个选项都是一样的。

8.删除。删除选定的约束条件。

9.选项。显示“规划求解选项”对话框（见图2-7）。在其中装入或保存规划求解模型，并对求解运算的高级属性进行设定。本例中的模型是线性的，而且所有变量都是非负的，所以在选中“采用线性模型”和“假定非负”两个复选框，本对话框的其它选项采用默认值对于求解大多数线性规划问题就足够了，本例也不例外。设置完选项后，单击“确定”按钮返回到图2-5的“规划求解参数”对话框。

10.关闭。关闭对话框，不进行规划求解。但保留通过“选项”、“添加”、“更改”或“删

图2-4 添加约束对话框

图2-5 添加了约束后的规划求解参数对话框图2-6 改变约束对话框

图2-7“规划求解选项”对话框

除”按钮所做的修改。

11. 全部重设。清除规划求解中的当前设置，将所有的设置恢复为初始值。

12. 求解。对定义好的问题进行求解。单击“求解”键后，经过几秒钟的计算（小型问题），弹出“规划求解结果”对话框（图2-8）。

本例中，像图

2-8告诉我们“规划求解”找到一个最优解，可以满足所有的约束及目标的最大化要求，选中“保存规划求解结果”单选框，然后单击确定键，可以得到求解的结果（见图2-9）。

我们看到图2-10中的C6和D6单元格中的“0”已经被图2-9中相应的单元格内的最优解“6”和“2”替代，根据这个最优解，E8单元格中的最优值“30”也计算了出来。这些信息告诉我们，工厂应该安排生产甲产品6件，乙产品2件，能够在有限的资源限制下获得最大的利润30（百元）。

§3线性规划问题的建模与应用举例

第一章和本章的前面部分围绕三个例子讲解了线性规划问题的图解法和计算机求解方法，为使读者进一步了解线性规划问题的建模与求解，我们举例如下：

例1. 农场灌溉问题

某公司有四个农场，每个农场的耕地作物需要用水灌溉，因灌溉条件限制，农场的最大水资源供应量有一定限制，各农场的总耕地面积与最大水资源供应量如表2-1所示。该地区适合种植的农作物有棉花、玉米和高粱，三种农作物每种作物每单位种植面积的净收入和耗水量以及每种作物最大允许种植面积如表2-2所示。由于水资源短，公司统一调配水资源，为了保持公正，规定每个农场受灌溉面积占农场总耕地面积的比例相同，公司管理层面临的决策问题还是如何确定各农场种植各种作物的面积，使得在满足以上各种限制的条件下，公司总收入最大。

图2-8 “规划求解结果”对话框

图2-9资源分配问题的Excel 求解结果

解：我们首先建立此问题的线性规划模型。由于此问题是决定四个农场中每个农场种植

三种农作物的面积，我们引入决策变量x ij （i = 1，2，3，4；j = 1，2，3）表示第i 个农场种植第j 种作物的面积，目标是使总收入

Z = 800( x 11 + x 21 + x 31 + x 41) + 600(x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ) + 450(x 13 + x 23 + x 33 + x 43)

最大化，且满足下列约束条件：

1. 农场的耕地面积约束

x 11 + x 12 + x 13 ≤4000 (农场1) x 21 + x 22 + x 23 ≤6000 (农场2) x 31 + x 32 + x 33 ≤5000 (农场3) x 41 + x 42 + x 43 ≤4500 (农场4)

2. 农场最大供水量约束

2x 11 + + x 13 ≤6000 (农场1) 2x 21 + + x 23 ≤9000 (农场2) 2x 31 + + x 33 ≤5500 (农场3) 2x 41 + + x 43 ≤5000 (农场4)

3.农作物的种植面积约束

x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤6000 （农作物1，棉花） x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤5500 （农作物2，玉米） x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤5000 （农作物3，高粱）

即各农作物种植面积不超过最大允许种植面积。

4. 种植作物面积占总耕地面积比例约束

111213212223

40006000x x x x x x ++++=

212223313233

60005000x x x x x x ++++=

313233414243

50004500

x x x x x x ++++=

表2-1

表2-2

即各农场种植作物面积（灌溉面积）占总耕地面积的比例相同。

5. 决策变量的非负约束

x ij≥0，i = 1，2，3，4；j = 1，2，3。

现在我们用Excel电子表格求解以上问题，具体过程如下：

将表2-1和表2-2的数据录入到Excel 电子表格中（见图2-12），在D5：F8单元格区域放置决策变量，目标单元格是G13。应用“规划求解”后，我们得到一个最优解，由图中阴影部分的数据可知，农场1种植棉花亩、玉米亩，不种高粱；农场2种植棉花亩、高粱亩，不种玉米；农场3种植玉米亩、高粱亩，不种棉花；农场4种植棉花亩、玉米亩、高粱亩。可获总收入1035万元。

例2. 证券投资问题

一证券投资者将1000万元资金用于证券投资，已知各种证券（A、B、C、D、E、F）的评级、到期年限、每年税后收益如表2-3所示。

图2-12 农场灌溉问题的Excel规划求解

管理层对该投资者提出下列要求：

1. 国债投资额不能少于300万元；

2. 投资证券的平均评级不超过；

3. 投资证券的平均到期年限不超过5年。问：每种证券投资多少可以使得税后收益最大

解：引入决策变量x A 、x B 、x C 、x D 、x E 、x F 分别表示证券A 、B 、C 、D 、E 、F 的投资金额（单位：万元），相应的目标函数（税后收益）为：

Z = 9× + 12× + 5× + 4× + 3× + 4× 约束条件为：

1. 资金总额约束：

x A + x B + x C + x D + x E + x F ≤ 1000 2. 国债投资额约束：

x C + x D ≥ 300 3. 证券平均评级约束：

A B C D E F

2245 1.5x x x x x x x x x x x x +++++≤+++++

这是一个非线性约束，很容易转化为以下线性约束： + – – + + ≤ 0 4. 证券平均到期年限约束：

A B C D E F

91254345x x x x x x x x x x x x +++++≤+++++

它等价于线性约束：

4x A + 7x B – x D – 2x E – x F ≤ 0 5. 非负约束：

x A ≥0， x B ≥0， x C ≥0， x D ≥0， x E ≥0， x F ≥0

用Excel 电子表格求解以上问题过程如下：将表2-3中的数据录入电子表格中（见图2-13），在D5：D10单元格区域放置决策变量，目标单元格是G11。应用“规划求解”后，我们得到一个最优解，由图中阴影部分的数据可知，x A = 200、x B = 0、x C = 0、x D = 725、x E = 0、x F = 75，也就是说该投资者只选择A 、D 和F 证券进行投资，投资额分别是200、725和75万元，可获得最大的税后收益万元。

因为有两个非线性约束变为线性约束，使得在电子表格中相关的数据不够直观，请仔细

表2-3

体会电子表格中公式和约束的意义，想想它们与上文总结的各约束之间的关系。

例3. 话务员排班问题

某寻呼公司雇用了多名话务员工作，他们每天工作3节，每节3小时，每节开始时间为午夜、凌晨3点钟、凌晨6点钟，上午9点、中午12点、下午3点、6点、9点，为方便话务员上下班，管理层安排每位话务员每天边连续工作3节，根据调查，对于不同的时间，由于业务量不同，需要的话务员的人数也不相同，公司付的薪水也不相同，有关数据见表2-4。

问：如何安排话务员才能保证服务人数，又使总成本最低

解：这个问题实际上是一个成本效益平衡问题。管理层在向客户提供满意服务水平的同时要控制成本，因此必须寻找成本与效益的平衡。由于每节工作时间为3小时，一天被分为表2-4

工作时间0-3点3-6点6-9点9-12点12-15点15-18点18-21点21-0点最低需求

人数（人）

86152025231810

薪水（元）2630282220202224

图2-13证券投资问题的Excel规划求解

8班，每人连续工作3节，各班时间安排如下（见表2-5）：

为了建立数学模型，对应于一般成本效益平衡问题，我们首先必须明确包含的活动数目，活动一个单位是对应于分派一个话务员到该班次收，效益的水平对应于时段。收益水平就是该时段里上下班的话务员数目，各活动的单位效益贡献就是在该时间内增加的在岗位话务员数目。我们给出下列成本效益平衡问题参数表（见表2-6）：

决策变量i x 表示分派到第i 班的话务员人数（i = 1，2，3，4，5，6，7，8），约束条件为：

0-3时间段： 1788x x x ++≥ （最低可接受水平） 3-6时间段： 1286x x x ++≥ 6-9时间段： 12315x x x ++≥ 9-12时间段： 23420x x x ++≥ 12-15时间段： 34525x x x ++≥

表2-5

表2-6

15-18时间段： 45623x x x ++≥ 18-21时间段： 56718x x x ++≥ 21-0时间段： 67810x x x +++≥

非负约束： 0i x ≥ i = 1，2，3，4，5，6，7，8

目标函数为最小化成本：123456788480706262667280Z x x x x x x x x =+++++++ 根据以上模型，建立相应的Excel 电子表格线性规划模型，并用“规划求解”得到一个最优解（见图2-14），第一班安排4人上班，第二班安排2人上班，第三、四、五、六、七班分别安排9、9、8、6、4人，第八班不安排人，在满足各时段的最低人数需求的同时花费最少的薪金支出（2864元）。

例4.多阶段生产安排问题

南方机电制造公司为全国各地生产一种大型机电设备，按照公司的订单合同，不久要交付使用一定数量的机电设备，所以有必要制定为期6个月的设备生产计划。根据合同，公司必须在未来6个月中每个月底交付一定数量的机电设备，由于原料价格、生产条件、保修和维修工作等安排不同，每月的生产能力和生产成本也不同，当然，可以在成本较低的月份多

图2-14 话务员排班问题的Excel 规划求解

生产一些设备，但在供给客户之前必须存放，需要付一定的存贮费用。管理层需要制定出一个逐月生产计划，使生产和存贮的总成本达到最小。管理科学小组通过调查收集到每单位生产成本、每月单位存贮费、每月需求量、最大生产能力等数据（见表2-7）。

解：管理层需要作出的决策是每个月生产多少台设备，因此我们引入决策变量i x 表示第i 个月生产机电设备的台数（i = 1，2，3，4，5，6）。为了建立此问题的一般数学模型，我们用i d 表示第i 月的需求量；用i l 表示第i 月的最大生产能力；用i c 表示第i 月的单位生产成本；用i h 表示第i 月的单位存贮成本；用i f 表示第i 月的最大存贮量。

由最大生产能力限制，我们容易得到约束：

i x ≤i

i = 1，2，3，4，5，6

用i I 表示第i 月底的库存量（i = 1，2，3，4，5，6），由最大存贮量约束，我们有：

i I ≤i

i = 1，2，3，4，5，6

各个月份之间生产量、需求量和存贮量之间的关系可由下图（图2-15）表示：

容易得到下列约束：

1i i i i I x d I -+-= i = 1，2，3，4，5，6

00I = （公司开始无存货）

即第i 个月初的库存量1i I -（上月底的库存量）+ 第i 月的生产量－第i 月的需求量等

表2-7

x x x x x x 123456

图2-15 各个月份之间生产量、需求量和存贮量之间的关系

于第i 月的存贮量。

另外有非负约束：0i x ≥，0i I ≥ i = 1，2，3，4，5，6 目标为总成本66

i i i i

i i Z c x h I

===

+∑∑ 最小化

为此，我们建立了Excel 电子表格线性规划模型（见图2-16），注意电子表格中的约束与线性规划模型中约束及目标函数之间对应的关系。另外，由于i I 不是变量，“规划求解选项”对话框中的“假定非负”选项并不能使它们为非负，所以一定要在添加约束时将“0i I ≥”添加进去。也可以在表中再加一列，令其等于i I ，并将其设为变量（“规划求解”时把这一区域设为可变单元格），就不需要在“添加约束”对话框去中添加了。

从计算结果来看，公司按照1-6月份分别生产10、28、8、14、30、18台设备的计划生产（G5：G10单元格区域）将会使总成本最低，为千元（G11单元格）。

图2-16多阶段生产安排问题的Excel 规划求解

运筹学课设 doc(1)

西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书一、本次课程设计应达到的目的 1. 掌握运筹学知识在管理问题中应用的基本方法与步骤； 2. 巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握； 3. 培养与锻炼学生从管理实践中提炼问题、分析问题、构建模型求解问题的综合应用能力； 4. 上机练习，了解与掌握几种常用的运筹学计算软件及其使用与操作方法； 5. 锻炼并初步掌握运筹学模型求解程序的编写方法与技术。 6. 初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通过设计报告的撰写，了解学术报告的写作方法。二、本次课程设计任务的主要内容和要求 1. 结合专业知识，对某一实际管理问题进行分析，调查收集相关数据，并整理出符合问题特征的数据，包括目标因素、约束因素以及必须的参数与系数等等； 2. 在上一步分析基础上，按照运筹学建模的基本方法与要求，通过抽象处理，建立所研究问题的运筹学模型，判断模型的类型并选择求解方法； 3. 上机练习，学习常用运筹学计算软件的使用与基本操作方法，并选择其中一种对所建运筹学模型进行求解，得出最优解、灵敏度计算等相关计算结果； 4. 结合理论课以及计算机程序设计课程所学的基本知识，编写线性规划单纯形法的计算程序，别用所编写程序和已学习的某种运筹学计算软件，并分求解相关课后习题，对所编写的算程序进行验证； 5. 总结设计过程，整理与记录设计中的关键工作与成果，撰写设计报告。三、应收集的资料及主要参考文献： 1. 应收集的资料：［1］研究对象的现状数据材料［2］与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 2. 主要参考文献：［1］杨茂盛.运筹学(第三版).陕西科学技术出版社，2006 ［2］运筹学编写组. 运筹学(第三版).清华大学出版社，2005 ［3］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［4］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［5］陈汝栋，于延荣. 数学模型与数学建模(第2版).国防工业出版社，2009 ［6］刘建永.运筹学算法与编程实践：Delphi实现.清华大学出版社，2004 ［7］谢金星，薛毅.建优化建模LINDO/LINGO软件.清华大学出版社，2005

数学建模运筹学模型(一)

运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为 3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而∑∑===m i n j j i b a 11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为 4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1 工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标. 问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条： p 1：检验和销售费每月不超过4600元； p 2：每月售出产品I 不少于50件；

运筹学模型

第5章运筹学模型 5.2 图论模型图论是运筹学的一个重要分支，它是建立和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法难于解决的问题。图论的发展可以追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方法直观形象，富有启发性和趣味性，深受人们的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使用了图论模型方法。本章将在介绍图的一些基本概念的基础上，着重介绍最小生成树、最短路、最大流及最小费用最大流问题。 5.2.1 图的基本概念城市之间的交通关系，家族成员之间的关系，工厂、企业、事业单位内部，部门之间的上下关系，工程中各个工序之间的先后关系等等，用图形来描述往往是很有益的。图论是研究某种特定关系的一门学问。 1.图图 (graph) 由若干个点 (称作顶点，vertex) 和若干条连接两两顶点的线段（称edge ）组成。通常，顶点可用来表示某一事物，边用来表示这些事之间的某种关系。如图5-1中的五个顶点可以代表五个城市。如果两个顶点之间有一条边连接，就表示这两个城市之间有一条铁路。同样，它也可以代表五个人。如果两个人认识，则用一条边把这两个顶点连接起来。图5-1 由于图是用来表示某些事物之间的联系，因而在画图时，顶点位置，边的长短、曲直是无关紧要的。只要两个图的顶点可以一一对应，并且使得对应的顶点之间是否有边相连完全相同，就可以认为是同一个图。例如：图5-1也可以画成图5-2的形式。图 5-2 设图的顶点集合V ={n v v v ,...,, 21}, 边的集合 E ={m e e e , ... ,,21} 把图记作 ) , (E V G =。这里大括号 { } 内的元素是没有顺序的，而小括号（）内的元素是有顺序的。如果边e 连接顶点u 和v ，则记作e = {v u ,}。u 和v 称作e 的端点，e 称作u 和v 的关联边。如果u 和v 之间有一条边，即{v u ,}∈E ，则称u 和v 相邻。如果两条边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。没有关联边的顶点称作孤立点。两个顶点之间可以有不止一条

运筹学实验_动态规划

实验二用MATLAB解决动态规划问题问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物,如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利润最解: 1)将问题按售货店分为四个阶段 2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数, x k设为决策变量,表示为分配给第k个售货店的货物数, 状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。 P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。 f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。 3)递推关系式: f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1 边界条件:f5(s5)＝0 4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。第四阶段: 设将s4箱货物(s4＝0,1,2,3,4,5,6)全部分配给4售货店时,最大盈利值为: f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表示使得f4(s4)为最大值时的最优决策。第三阶段:

设将s3箱货物(s3＝0,1,2,3,4,5,6)分配给3售货店与4售货店时,对每一个s3值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ,x3＝第二阶段: 设将s2箱货物(s2＝0,1,2,3,4,5,6)分配给2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ] 第一阶段: 设将s2箱货物(s1＝0,1,2,3,4,5,6)分配给1售货店、2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ] 按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有6个: 1） x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。 2） x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。 3） x1*＝1,x2*＝3,x3*=1,x4*=1。

生产管理运筹学软件实例分析

序言本实验指导书紧密配合《运筹学》课程的理论教案，系统地介绍了教案应用软件WINQSB (Quantitation Systems for Business Plus)和最新的建模与求解方法( Excel Spreadsheet方法)。WINQSB是运筹学上机实验软件，它技术成熟稳定，内容齐全，使用方便，对于加深理解课程内容，提高初学者学习掌握本课程的兴趣具有良好的补充作用。Excel Spreadsheet建模与求解方法是近年来国际上在经管科学教案与应用方面流行而有效的方法。它为经管科学提供了一种问题描述、数据处理、模型建立与求解的有效工具，是在Excel(或其它)背景下就所需求解的问题进行描述与展开，然后建立数学模型，并使用Excel的命令与功能进行预测、模拟、决策、优化等运算与分析。指导书分为两部分，第一部分是WINQSB的使用，通过五个实验来完成，每个实验主要包括三个方面内容：①内容简介；②操作步骤；③实例分析与操作，另外对WINQSB进行了简要说明。第二部分是Spreadsheet建模与求解方法介绍，以实例的形式说明其中的重点和常用部分，实验内容基本同winQSB，对其余内容感兴趣的同学可参考相关资料自学。五个实验分别为：①线性规划；②灵敏度分析；③运输问题；④整数规划；⑤图与网络分析。目录第一部分 WinQSB软件操作指南2

1. WinQSB软件简介2 2. WinQSB的一般操作3 3. WinQSB的求解模块3 第二部分 WINQSB实验内容5 1.实验教案目的和要求5 2.实验工程名称和学时分配6 3.单项实验的内容和要求6 实验1：线性规划的WinQSB应用6 实验1作业11 实验2：对偶线性规划的WinQSB应用12 实验2作业14 实验3：运输问题的WINQSB应用16 实验4：整数规划的WinQSB应用26 实验4作业27 实验5：指派问题的WINQSB应用27 实验5作业29 实验6：网络问题的WINQSB应用30 实验6作业39 第三部分 Spreadsheet建模与求解41 第一章Spreadsheet建模41 第一节模型的概念与建立41 第二节Spreadsheet方法的应用41 第二章应用Spreadsheet方法建立运筹学模型与求解45 第一节线性规划问题建模和求解45 第二节运输问题49 第四节最大流问题54 第一部分WinQSB软件操作指南 1.WinQSB软件简介 QSB是Quantitative Systems for Business的缩写，早期的版本是在DOS操作系统下运行的，后来发展成为在Windows操作系统下运行的WinQSB软件，目前已经有2.0版。该软件是由美

运筹学模型在运输问题中的应用

《数值分析》课程设计非线性方程求根公式的集成与菜单调用院（系）名称信息工程学院专业班级12普本信计学号1201110054 学生姓名孟浩指导教师孔繁民 2015年6月16日

课程设计任务书 2014—2015学年第二学期专业班级：12 普本信计学号：1201110054 姓名：孟浩课程设计名称：运筹学设计题目：运筹学模型在运输问题中的应用完成期限：自2015年 5 月24 日至2015 年05 月30 日共 1 周一、设计目的运筹帷幄之中，决胜千里之外。运筹学是多种学科的综合性学科，是最早形成的一门软科学。他把科学的方法、技术和工具应用到包括一个系统管理在内的各种问题上，以便为那些掌握系统的人们提供最佳的解决问题的办法。他用科学的方法研究与某一系统的最优管理有关问题。因此运筹学是一门有重要应用价值的学科，特别在现代科学管理中是处处离不开运筹学。为了更好的理解运筹学，我们运用运筹学知识建立数学模型来解决运输问题中的应用的问题。二、设计要求 1、运用LINGO等工具。 2、运筹学模型在运输问题中的应用。 3、按照格式要求写出3000字文档。三、参考文献 [1]谢金星薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件[M]，北京：清华大学出版社. [2]吴祈宗，运筹学[M] ，北京：机械工业出版社. [3]朱德通，最优化模型与实验/应用数学系列丛书[M] ，上海：同济大学出版社 [4]谷歌地图 https://www.360docs.net/doc/cd11137948.html,/maps?q=%E4%BB%CB%AE+%BB%AF%B7%CA&ie=gbk. 工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月日

运筹学--第七章动态规划

１８９习题七7.1计算如图所示的从A 到E 的最短路线及其长度（单位：km ）：（1）用逆推解法；2用标号法。 7.2 用动态规划方法求解下列问题（1） max z ＝x 12x 2 x 33 x 1＋x 2＋x 3 ≤6 x j ≥0 （j ＝1,2,3）（2）min z ＝ 3x 12＋4x 22 ＋x 32 x 1x 2 x 3 ≥ 9 x j ≥0 （j ＝1,2,3） 7.3 利用动态规划方法证明平均值不等式： n n n x x x n x x x 12121)()( ≥+++ 设x i ≥0，i ＝1，2，…，n 。 7.4 考虑一个有m 个产地和n 个销地的运输问题。设a i （i ＝1，2，…，m ）为产地i 可发运的物资数，b j （j ＝1，2，…，n ）为销地j 所需要的物资数。又从产地i 到销地j 发运x ij 单位物资所需的费用为h ij （x ij ），试将此问题建立动态规划的模型。 7.5 某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入A 或B 项工程，年末的回收及其概率如下表所示。每年至多做一项投资，每次只能投入1000万元。求出三年后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。投资回收概率 A 0 0.4 2000 0.6 B 1000 0.9 2000 0.1 7.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。每个工厂都有若干种方案可供选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示(单位：千万元)。现公司有资金5千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大?

7.7 某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。 7.8 设有一辆载重卡车，现有4种货物均可用此车运输。已知这4种货物的重量、容积及价值关系如下表所示。货物代号重量（吨）容积（立方米）价值（千元） 1 2 2 3 2 3 2 4 3 4 2 5 4 5 3 6 若该卡车的最大载重为15吨，最大允许装载容积为10立方米，在许可的条件下，每车装载每一种货物的件数不限。问应如何搭配这四种货物，才能使每车装载货物的价值最大。 7.9 某警卫部门有12支巡逻队负责4个仓库的巡逻。按规定对每个仓库可分别派2－4支队伍巡逻。由于所派队伍数量上的差别，各仓库一年内预期发生事故的次数如下表所示。试应用动态规划的方法确定派往各仓库的巡逻队数，使预期事故的总次数为最少。巡逻队数预期事故次数仓库 1 2 3 4 2 18 38 14 34 3 16 36 12 31 4 12 30 11 25 7.10 （生产计划问题）根据合同，某厂明年每个季度末应向销售公司提供产品，有关信息见下表。若产品过多，季末有积压，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费0.2万元。现需找出明年的最优生产方案，使该厂能在完成合同的情况下使全年的生产费用最低。季度j生产能力a j（吨）生产成本d j（万元/吨）需求量b j（吨） 1 30 15.6 20 2 40 14.0 25 3 25 15.3 30 4 10 14.8 15 （1）请建立此问题的线性规划模型。（提示：设第j季度工厂生产产品x j吨，第j季度初存贮的产品为y j吨，显然y1＝0）（2）请建立此问题的动态规划模型。（均不用求解）１９０

运筹学建模论文

摘要运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集和统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。此题研究的主要内容是根据早餐供应点早餐进货带来的一系列问题进行合理规划。目的是依据各种食物的成本、标准要求规划各种食品的总利润，考虑每种早餐如何进货才能达到基准，如何进货才能使预期总利润最高，这完全符合运筹学线性规划的理论。按照目标规划，添加整数约束，加入存储成本，求解计算出既科学又合理的最优进货方案：在使预期销量达到基准的情况下，用食品单价乘以餐配量计算出总花费，根据各种限定性因素得出目标函数和各个约束条件，运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的运筹学模型。所以对基本情况的分析，经过抽象和延伸，建立起了食品搭配研究的线性规划模型。结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论和分析，将模型应用于案例的背景问题，得出相应的最优解决方案，就可以对问题一一进行解答。关键词：目标规划存储问题整数规划 lingo软件

目录一、问题的提出 1.1、意义 (2) 1.2、背景 (2) 1.3、问题的提出 (2) 二、问题的实现 2.1、问题思路总概 (2) 2.2、基于问题的调查 (3) 2.3、问题的实现 (4) 三、问题的解决 3.1、问题的分析 (6) 3.2、问题的假设 (6) 3.3、建模 (7) 3.4、lingo软件求解 (8) 四、结果分析及拓展 4.1、结果分析 (14) 4.2、联系实际分析 (15) 4.3、建议方案 (15) 五、心得体会 (16) 六、附录 (17)

运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表下面重点介绍运筹学模型的数学规划。二、数学规划的一般形式 ))(m ax ()(m in x f or x f ?? ? ??≤≤=≤==ub x lb m j x g l i x h t s j i ,,2,1, 0)(,,2,1,0)(. . 线性规划：整数规划：非线性规划：三、数学规划问题举例 1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？

解：先设计几个裁剪方案记 A---------40×40 注：还有别的方案吗？显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。共用原材料f 件。则根据题意，可用如下数学式子表示： ??? ??=≥≥++≥+++=)3,2,1(0305325 2. .min 321213 21j x x x x x x t s x x x f j ，整数这是一个整数线性规划模型。 2 运输问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）方案1 方案2 方案3

解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设ij x 表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费.则运输模型为： ?????? ????? ??==≥? ?? ??=+=+=+??? ≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 32121025154030504223223 1322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为 ????? ??????==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1 1 11 n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij m i j ij n j i ij m i n j ij ij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。特别当 ∑∑===m i n j j i b a 1 1 时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的 ∑=≤n j i ij a x 1 可改为等式： ),...2,1(1 m i a x i n j ij ==∑= 3 选址问题某地区有m 座煤矿，i # 矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。现规划新建一个发电厂，m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有n 个备选的厂址。若在j #备选厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #备选厂址的运费为c ij 元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。每吨原煤从i # 矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。试问： [1] 应把新电厂厂址选在何处？ [2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小？