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含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定(专题)

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定(专题)

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定(专题)

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定

确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结. 1 分离参数法

例 1：设()()()??

????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数

且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。

该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：

因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()

a n n x x x +-+++121 就必须也是正数。并容易看出，可以将a 分离出来。分析：当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有

()??????????? ??-++??? ??+??? ??->?>+-+++x x x x x

x n n n a a n n 11210121 令()???

???????? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?，只要对()x ?在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。

解：由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：

()0121>+-+++a n n x

x x ??????????? ??-++??? ??+??? ??->?x x x n n n a 1121 ，由指

数函数单调性知上式右边的函数()???

???????? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?的最大值是()?????????

??-++??? ??+??? ??-=n n n n 1211 ?＝()n -121 故 a>()n -12

1 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 ()0,≥λx f , （ D x ∈

λ为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤:

（1）将参数与变量分离，即化为()()()()()x f f x f f 2221≤≥λλ或的形式；

（2）求()x f 2在∈x D 时的最大（或最小）值；

（3）解不等式()()()()x f x f f min 2max 21≤≥或λ 得λ的取值范围。

思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。例 2：已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实

数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。

解： ∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，

∴ f(x)在()+∞∞-,上为增函数

又 ∵ ()()0c o s 2432c o s

>-+-θθm m f f ∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ

∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m

∵ 2－cos θ[]3,1∈，

∴ 2θ

θθθcos 2cos 24cos 22cos 32--=-->m ∴ m>θ

θθθcos 22cos 2cos 2cos 22--+=--

]cos 22cos 2[4θθ-+

--= 令2－[]3,1,cos ∈=t t θ

∴ m>4－??? ??+

t t 2 即4－m

t 2+在[]3,1∈t 上恒成立即求()t

t t g 2+=在[]3,1∈t 上的最小值 ∵ ()t t t g 2+=≥22等号成立条件t=t

2,即[]3,12∈=t 成立 ∴ ()22m i n =t g

∴ 4－m<22即m>4－22

∴ m 的取值范围为（4－22，＋∞）

例 3：设0

5≤,若满足不等式b a x <-的一切实数x ，亦满足不等式 2

12<-a x 求正实数b 的取值范围。简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A ＝}(){

b a b a b a x x +-=<-,|， B=???

? ??+-=???<-21,2121|222a a a x x 由题设知A ?B ，则：

12+≤+a b a 于是得不等式组： 212++-≤a a b 212+-≤a a b 又 =-+-212a a 43212

+??? ??--a ，最小值为163； ,41212122+??? ??-=+-a a a 最小值为41；

含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。（1）当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析：本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项系数进行分类讨论。 2 解：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式的符号分类，即 0, 0, 0 ；例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑与根的情况。解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ；解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a

当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ；当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析：此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解：原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ；； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为

高中数学恒成立问题

高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .

含参不等式恒成立问题学考压轴题(函数专题)

个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容函数专题:含参不等式恒成立问题个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2）0)(对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。类型2：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立? ??>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc

高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围．解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或（2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．

例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=，注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1

含参数不等式恒成立问题的解题策略

解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥?min （()M x f ≥有解?M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤?m a x （()M x f ≤有解?M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 例一定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2,0πθ时，有 () ()022s in 2c o s 2 >--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对?? ? ??∈2,0πθ 设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于( )1,0∈t 恒成立，在设函数()1222 ++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0

备战2018高考数学黄金解题模板含参不等式的存在性与恒成立问题

备战2018高考数学黄金解题模板含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】方法一判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论. 例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围 . ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-. 【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立 ????00a ；2）0)(

（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞. （2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴2 31m x x <-+在区间[]1,1-上有解，故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值，由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5, ∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题. 【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考

含参不等式恒成立问题

不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立 00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立???>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0)(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0 ?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|>?；例3 解不等式042 >++ax x 分析本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。解：∵162 -=?a ∴当()4,4-∈a 即0

含参数不等式问题

含参数不等式问题在一定条件下，给出的一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最值，在数学竞赛中比较活跃的题型之一。步骤：(1)估计参数上、下界 (2) 求出参数上、下界 (3) 证明不等式对上、下界恒成立例1、求a 的范围，使得对任意 x 和€ [0 ,-]恒有 2 2 、2 (x 3 2sin ? cos ) (x asin a 丿 cos 111 M M ，使一一 —> a b c a b c 例3、求最大的常数c ，使得对满足x >o, y >0, x 2 y 2 cxy 例2 ?设awbvc 是Rt △二边长‘求最大常数 6 1 的实数X, y 恒有X

方法：比较法、放编法、反射法、归纲法、算术、几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式例4、设a、b、c是Rt△三边长，且a w bv c, 求：最大常数k，使a2(b c) b2(c a) c2(a b) > kabc对任何Rt△恒成立. 例5、求最小的实数a，使得对任意非负x、y、z，且x + y+z=i,有a(x2 y2 z2) xyz> —. 3 27

多元函数的条件最（极）值求解求函数最值问题是数学中一类重要问题，其中又以求多元函数的条件最（极）值为各竞赛的热点，解答此类问题，常常要应用到二次函数、三次函数的性质以及一般函数的各种基本性质，特别是凹凸性，以及几个重要不等式，如平均值不等式、柯西不等式等，除此之外，还要具有灵活变更问题的能力和较强的解题技巧?例如，对于某些多元函数的极值，常常要将某些变量固定而考虑少数几个变量的变化规律?因此，求解多元函数的条件最（极）值问题常采用函数法、不等式法、不变量法、冻结变量（先固定某些变量）法等. 1、函数法例1、设X、y€ R，求函数f（x,y） x2 6y2 2xy 14x 6y 72的最小值，并求出取得最小值时的x、y的值. 例2、设x€ R,试求函数f(x) (x2 4x 5)(x2 4x 2) 2x2 8x 1 的最小值. 例3、求三位数（十进制表示）与其各位数字之和的比的最小值.

证明含参数的不等式恒成立解题模板

如何证明含参数的不等式恒成立题型：已知含参数的函数()f x ，证明在某区间上()()()(x)f x g x f x g ><或恒成立（()g x 不含参数）解题步骤：第一步：构造函数()()()F x f x g x =-，将问题转化为()0()0F x F x ><或恒成立的问题，如果这里的()g x 不明显，我们先对含参函数进行讨论，找到合适的()g x 。第二步：求出'()F x ，令'()0F x =，求出()F x 在区间上的最小值或最大值。第三步：证明最小值大于0，或最大值小于0。【例题】 1、（浙江高考）已知a R ∈，函数3()42f x x ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间. （2）证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->. 思路分析：()20f x a +->中含有绝对值，不方便求导，因此可考虑寻找函数()g x ，使 ()2()0f x a g x +-≥>. 解（1）由题意的' 2 ()122f x x a =- ①当0a ≤时，' ()0f x ≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞. ②当0a >时，' ()12()()f x x x =，此时函数()f x 的单调递增区间为 (,)-∞+∞和，单调递减区间为???. （2）证明：由于01x ≤≤，当2a ≤时，33 ()2=4x 224x 42f x a ax x +--+≥-+. 当2a >时，333 ()2=4x 2(1)24x 4(1)24x 42f x a a x x x +-+--≥+--=-+.

设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则()2()f x g x ≥，要证()20f x a +->，只要证明 ()0g x >即可。 '2()626(g x x x x =-=- +则有所以min ()10g x g ==>, 当01x ≤≤时，32210x x -+>，故3 ()24420f x a x x +-≥-+>，即证。【练习】 1、已知函数21()2 x f x ae x =- . （1）若()f x 在R 上为增，求a 的取值范围；（2）若1a =，求证0x >时，()1f x x >+。 2、已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-= （1）求函数()f x 的最大值；（2）设0a b <<，证明：0()()2()()ln 22 a b g a g b g b a +<+-<-

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法一、分离讨论思想：例题1：讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围．解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或（2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。三、分离法参数：分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即：（1）对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

(完整版)含参不等式(有解、无解问题)(人教版)含答案

含参不等式（有解、无解问题）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.若不等式组的解集为，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 2.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 3.若不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 4.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D.

答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 5.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）

6.关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 7.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 8.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）

9.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 10.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定(专题)

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间实行合理的交汇，所以此类问题属学习的重点；不过，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，所以此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地实行代数变形、综合地使用多科知识，方可取得较好的效益，所以此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结. 1 分离参数法例 1：设()()( )?? ? ? ? ?+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。该题题型新颖，很多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：例如上面的这道高考题，我们根据其特征能够用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子 ()() a n n x x x +-+++12 1 就必须也是正数。并容易看出，能够将a 分离出来。分析：当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有 ()??? ???????? ??-++??? ??+??? ??->?>+-+++x x x x x x n n n a a n n 11210121 令()??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?，只要对()x ?在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。故我们能够利用函数的最值分离出参数a 。解：由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得： ()0121>+-+++a n n x x x ??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??->?x x x n n n a 1121 ，由指

含参数不等式的解法

含参数不等式总结一、通过讨论解带参数不等式例1：2(1)0x x a a ---> 例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。二、已知解集的参数不等式例3：已知集合 {}2540A x x x =-+|≤，{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ?，求实数a 的取值范围．三、使用变量分离方法解带参数不等式例4：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1 (0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例5：设()()()?? ????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。例6：已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。如何求解？分离参数法适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。四、主参换位法解带参数不等式某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。例7：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442 -+-+=的值恒大于0，求x 的取值范围。分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。例8：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。

含参不等式恒成立问题中_求参数取值范围一般方法

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。例1、已知函数()lg 2a f x x x ?? =+- ??? ，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定 a 的取值范围。解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ? ?=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则 ()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221 t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21 t f t t += 在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()2 2 211111124 t f t t t t t +????==+=+- ? ????? 11,2t ?? ∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 13 22 a ∴-<<

(推荐)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数——最值化 1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 , 则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤ 转化为函数求最值. 例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+?2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>?+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=- +3x . 则f(x)=?+ ,当x=2时,=2 ,所以a>2 2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值. 例2 已知x ∈(?∞ ,1]时,不等式1+ +(a ?) >0恒成立,求a 的取值范围. 解令 =t ,∵x ∈(?∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为< ,要使上式在t ∈ (0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=? 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)= ∴< , ∴?>且 c a m c b 1b a 1-≥ -+-恒成立，求实数m 的取值范围。解析：由于c a >，所以0c a >-，于是?? ? ??-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥??? ??--+--++=??? ??-+--+-=??? ??-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a ( .4c b b a b a c b 2=--?-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。二、数形结合——直观化

破解含参不等式恒成立的5种常用方法

破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。一分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。分析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞， 1］上恒成立，即??? ???????? ??+??? ??-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈ x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。于是工的取值范围为4 3-≥a 。【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。解这类问题时一定要注意区间的端点值。二数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。例2 当)2,1(∈x 时，不等式042>++mx x 恒成立，求的取值范围。分析：设4)(2++=mx x x f ，问题就等价于函数)(x f 的图象在区间（1，2）上的部分位于轴上方，结合二次函数的图象，根据二次函数的性质就可以列出所满足的不等式关系。解析：设4)(2++=mx x x f ，因为当)2,1(∈x 时，不等式042>++mx x 恒成立，

2017含参不等式恒成立存在性问题

（20170301063）含参不等式恒成立存在性问题班级___________姓名________________ 一、知识点 (1)恒成立问题 1. ?x ∈D,均有f(x)>A 恒成立，则f(x)min>A ； 2. ?x ∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0 3. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max (2)存在性问题 1. ?x0∈D,使得f(x0)>A 成立，则f(x) max >A ； 2. ?x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0 3. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min (3)相等问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)} {g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min 2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) 0），若0)(0）在]2,1[∈x 内至少存在一个实数使0)(

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