二胎政策的影响评估

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛规则》（一下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章程和竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：重庆师范大学

参赛队员(打印并签名) ：1. 毛申申

2. 马甜甜

3. 安兴雪

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张新功

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格）。

日期： 2014年 7 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

C题单独二胎政策的影响评估

摘要中国是一个人口大国，人口问题一直是制约我国发展的关键因素之一.对单独二胎政策的实行的影响进行评估具有重要意义.本文利用MATLAB2012a软件对评估因素总人口数、人口总和生育率、人口老龄化和老人抚养比等进行了预测.

对于问题1，根据我国建国之后的人口数量，利用灰色模型的求解方法，预测出实行单独二胎政策和不实行单独二胎人口总量的变化.结果表明，实行单独二胎政策后，我国的总人口不会有较大的增幅.

对于问题2，现在中国的总和生育率（平均一对夫妇生育子女数）为1.5-1.6,不利于人口的均衡发展，依据我国人口总和生育率的定义，建立了总和生育率模型，预测出实行单独二胎政策后的总和生育率变化，根据求解的结果可以看出，实施单独二胎政策将使我国总和生育率有一个相对显著地回升，但在累积效应释放后，会渐趋于平衡.

对于问题3，建立一个动态差分模型和灰色预测模型，预测未来我国65岁以上人口变化趋势，进而根据是否实行单独二胎政策来进行老龄化程度的比较，结果表明，实行单独二胎政策有利于减弱老龄化程度和降低老人抚养比.

关键词单独二胎政策；总人口；总和生育率；动态差分模型；灰色预测模型；老龄化程度

1 问题重述

近三十年来，我国的人口政策，特别是计划生育政策在控制人口数量方面取得了突出的成绩，但是随之也带来了一系列问题.如总和生育率降低、男女性别比例增大、社会抚养比增加，给我国社会发展带来了巨大的负担.

十八大提出了开放了单独二胎的政策，以此来缓解一系列人口问题.本文结合实际情况的分析，建立单独二胎政策实施之后的预测模型，对全国总人口数量、人口总和生育率、人口老龄化等一系列评价指标进行了预测，基于以上评估因素对单独二胎政策的影响进行评估.

本文主要建立数学模型，研究分析实行单独二胎政策后，我国总人口数、总和生育率、人口老龄化的变化的问题.

(1)实行单独二胎政策后，对全国总人口的变化的影响.根据建国初期到现在我国的人口数量变化，利用灰色模型的求解方法，预测出实行单独二胎政策和不实行单独二胎人口总量的变化.

(2)实行单独二胎政策后对我国的总和生育率的影响，总和生育率如果长期低于1.8，或长期在1.5—1.6水平上徘徊，不利于人口的均衡发展.而目前我国的总和生育率为1.5左右，因此，开放单独两孩政策后，预测出未来几年的总和生育率发展状况.

(3)实行单独二胎政策后对我国老龄化问题的影响.老龄化问题对社会的发展具有重要影响，老龄化程度的增加和老人抚养比的升高，将会影响我国经济的发展，但按照目前的人口发展速度，我国的老龄化程度和社会抚养比将持续走高，因此，将对实行单独二胎政策后的老龄化和老人抚养比的变化进行预测.

最后根据以上评估因素的求解结果，来对单独二胎政策的影响进行总的评估.

2模型假设

(1)收集到的数据真实有效.

(2)在模型预测时间内，人口不会因自然灾害、突发事故或战争等而受到大的波动.

(3)少量的人口迁入和迁出可忽略.

(4)人口增长只与人口基数、生育、死亡和老龄化有关.

(5)某段时间内，死亡率不会发生大的波动，不同年龄段的人口分布也不随时间发生变化.

(6)假设申请成功的夫妇就可以成功生育二胎.

(7)时间t以年为单位，年龄按周岁计算.

3 符号说明与名词解释

名词 名词解释

总和生育率

指该国家或地区的妇女在育龄期间，每个妇女平均的生育子女数

人口老龄化 指总人口中因年轻人口数量减少、

年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态过程

老年抚养比

指人口中非劳动年龄人口数中老年部分对劳动年龄人口数之比

人口红利 一个国家的劳动年龄人口占总人

口的比重较大，抚养率较低，为经济发展创造了有利条件

4 模型建立

4.1 总人口预测模型

对全国总人口问题的研究是一个非常复杂的问题，需要考虑到诸多因素，如出生率、死亡率，流动人口等，这里将采用灰色模型的预测方法来对是否实行单独二胎政策对全国人口总量的影响.

在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM.它是根据关联度，生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程.通常GM 表示为GM （n,h ）.当n=h=1时，即构成了单变量一阶灰色预测模型.

模型设原始序列为:

{}

0000(1),(2),,(n).X x x x =

这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将进行生成处理，提供更多的有用信息.

其形式为：(1)

(1)dx ax dt

μ+=.

设原始时间序列为：

()

0000(1),(2),,(n)X x x x = .

预测第n+1期，第n+2期，第…期的值：

00(n 1),(n 2),x x ++

设相应的预测模型模拟序列为：

()

0000?(1),(2),,(n)???X x x x = .

设的一次累加序列为:

(1)

(0)

1

(i)(m),1,2,3,,i

m

x x i n ==

=∑ .

(1)(0)(1)(0)(1)

(1)(1)

即：,1,2,,n (i)(i)(i 1)x x i x x x ?==?=+-? . 利用计算GM （1,1）模型参数为a 和μ，令?,T

a a μ??=?? .

则有:(1)?(B B)B Y T T n a -=

式中B=(1)(1)

(1)(1)(1)(1)1(x (1)x (2))121(x (2)x (3))

12

1

(x (n 1)x (n))12

??-+???

???-+???

??

?????--+??

. 000

(2),(3),,(n)T

n Y x x x ??=?? .

由此可得GM （1,1）模型：(1)0(i 1)(x (1))?ai x e a a

μμ

-+=-+ .

4.2总和生育率预测模型

已知总和生育率=

总的出生人数

相应人口中的育龄妇女人数

.

设t 年新生人数为m ，相应育龄妇女人数为n ，所以得：

第i 年龄别生育率为

i

λ=i i

m n

. 则总和生育率为λ=49

15

i

i λ

=∑

,i=15,16, (49)

实施二胎政策之后 第t 年新生人数为p

第年相应育龄妇女人数为q t ??? .

第i 年龄别生育率为i

β =

i i

p q

.

则此时的总和生育率为β =49

15

i

β

∑

,i=15,16, (49)

4.3 人口老龄化预测模型

我们将全国人口按照由小到大分为n 段（n 足够大），记为01,x x ???? ，0121,x x ??+?? ,…,1,n n x x -????

.设第t 年第i 个阶段的妇女生育率为

(t)i

b ，

(t)i r 为性别比例函数，则生育率为(t)(t)1(t)

i

i i

b a r =

+ ，第t 年第i 段人口记

为(t)i

p ，第t 年年龄为

i

x

的人口数与(t)i

p 的比值为

(t)i

k ，第t 年底i

段人口自然死亡率为

(t)i

λ ，通过分析我们容易看出，第i 段人口在相邻两年

之间的人口变化来自：

当i=1时有两个途径：

（1）i x 岁的人口转到11,i i x x +??+?? 阶段以及自身的死亡；

（2）其他年龄段中妇女生育的小孩. 当i>1时有两个途径：

（1）i x 岁的人口转到11,i i x x +??+??阶段以及自身的死亡；

（2）上一年人口转化而来. 即有，

1

1

1

1

1

2

(t 1)[(1(t))(t)(t)(t)](t 1)n

i

i p p p k a λ=+=-++∑ .

1

1

(t 1)[(1(t))(t)(t)(t)](t 1),i

i i i

i

i p p p k k

λ-=+=-++ i=1,2,…,n.

写成矩阵形式如下：

12

11

1

2222

(t)(t 1)

(t)(t 1)...(t)(t 1)

(t)(t)(t 1)(t)(t 1) 0

(t 1) (00)

(t)(t 1)(t 1)111n

i i n n n k a a p k k p k p λλλλλλ??+++??

? ? ?++ ? ?

+ ?= ?

? ?+ ? ? ?+ ???

???

---.12(t)(t)...(t)n p p p ?? ? ? ? ? ? ???

. 即1

t t P

Ap += .

递推得：m t m

t P

A p += . 由此，只要知道t=1时的人口数据，就能依次得到之后美奶奶各个年龄段的人口数据，进而可预测未来老年人口的数量.育龄妇女妇女的年龄一般是从15-49岁，老龄人口的年龄一般是65-90岁，将模型简化.

令n=4，将全国人口分为0-14,15-49,50-64,65-90四个年龄段，即有，

1234(t),(t),(t),(t)T

t m P P P P P +??=?? .

A=

12

1

112

22

2

3

3

3

3

4

4

4

(t)(t 1)

(t)(t 1)00(t)(t 1)(t)(t 1)

000(t)(t 1)(t))(t 1)

000(t)(t 1)(t))(t 1)11(1(1k a k k k k k k λλλλλλλλ??++

? ?++

?

++

? ?

?++??

----.

5模型求解

5.1总人口预测模型求解

单独二胎政策实施后，国家人口总数较不实施单独二胎会有增长，据有关数据数据显示，单独二胎政策实施后，每年将多增加100万人，但这也仅是在短期内，随着时间的推移，生育会逐渐走向正常，因此，可以用灰色模型来研究短期内单独二胎对中国总人口的影响.根据表1中的数据，可以看出从1990年到2013年中国人口的数量

表1： 1990-2013年全国总人口

利用灰色模型可以对2014-2030年的人口数量的预测，可在Matlab上实现，具体程序见附录一，所得到的结果如图1：

图1：2014-2030年的人口数量的预测

经过Matlab对灰色模型的求解，如果不实行单独二胎政策，到2030年我国人口总数将达到15.4亿，假设根据有关报道的数据，实行单独二胎政策后，每年的人口将多增加100万，则实施单独二胎政策后的人口数量和不实施单独二胎政策的人口数量的比较如图2：

图2：实行单独二胎与否的人口数量变化

实施单独二胎政策后，到2030年，我国的人口数量将达到15.7亿，有图3和相关数据可知，实施单独二胎政策后人口不会出现较大的增幅.

5.2 总和生育率预测模型求解

根据有关资料（附录五），可以查出2003-2012年总和生育率的具体数值，如表2.

表 2： 2003-2012年总和生育率

根据表1中的数据可以看出，我国的总和生育率在近10年来，一直处于1.5以下，而根据有关数据显示，总和生育率如果长期低于1.8，则不利于人口的均衡发展.在育龄妇女人数一定的前提下，实施单独二胎政策，即符合条件的育龄妇女可以增加生产的孩子个数，因此，可以增加总和生育率.实施单独二胎政策后，总和生育率的变化曲线如图3.

图3：总和生育率变化曲线

由图1可以看出，实施单独二胎政策后，我国总和生育率有相对显著的回升，今后几年回升较快，最高点在1.8左右，但累积效应释放后，总和生育率会下降，最后会在某一范围内波动.

5.3 人口老龄化预测模型求解

由于建国之初，我国在政策引导下，人口数量剧增，知道1980年才开始实行计划生育政策，但是已造成了我国人口众多的事实，而从1949年出生的人们，

到目前2014年刚好为65岁，也就是说，我国的进入老龄化人口的数目将如同建国后的人数增长的速度和数目，意味着我国将进入老龄化社会，根据1949年开始全国总人口的相关数据（附录三）和MATLAB软件程序（附录二），画出表示我国从1949-2013年人口数量的变化如图4.

图4：我国从1949-2013年人口数量的变化.

根据有关资料（附录四）统计出的从1994年到2013年的老龄化程度，即65岁以上的老年人数与人口总数的比值，可以根据灰色模型预测出到2050年的老龄化程度，如图5所示.

图5：1994-2050年的老龄化程度

从图5可以看出，到2030年，我国65岁以上人口占总人口的13.487%，到2050年，我国65岁以上人口占总人口的23.31%.

而实行单独二胎政策后，我国总人口会有相应的增加，人口老龄化程度会相应的减弱.实行单独二胎政策后，人口老龄化程度与不实行单独二胎政策相比较如图6所示.

图6：人口老龄化程度与不实行单独二胎政策相比较

由图6可以看出，实施单独二胎政策后，人口老龄化程度会减弱，到2030年，我国的人口老龄化程度将降为13.256%，可以看出，实行单独二胎政策可以在一定程度上缓解人口老龄化程度.

老人抚养比，即我国65岁以上老人的数量与劳动年龄（15-64）人口数量的比值ODR ，

ODR=

m

n . n 为65岁以上老年人口数量，m 为15-64岁人口数量

由于人口老龄化和计划生育政策，m 在减小，n 在增大，导致ODR 在增大，如图7所示的1994-2013年的ODR 和老龄化程度.

图7：1994-2013年的ODR和老龄化程度

由图7可以看出在此时间范围内老人抚养比在增加，并将会随着老龄化程度的进一步加快而继续增加，这就给我国社会经济等各方面发展带来了巨大的负担，人口红利也将消失.

实行单独二胎政策后，大约在2030年左右，现在实施单独二胎政策所生育的孩子将逐渐进入劳动年龄人口的数量中，在一定程度上可以缓解老人抚养比, 有利于经济的发展.

6 模型评价

本文主要采用灰色模型的方法来预测未来的人口数量、老龄化程度，做出对“单独二胎政策的影响”的评估，得到了较好的结果.对于最优总和生育率模型及其求解，得出了单独二胎政策的实施会使总和生育率有显著性的回升，有利于人口的均衡发展.对于人口老龄化模型及其求解，得出了单独二胎政策不会使我

国人口的总量产生较大的影响.对于模型三及其求解，得出了单独二胎政策的实施会使人口老龄化程度减弱和使老人抚养比降低，以利于经济的发展.从各个因素来对单独二胎政策的影响做出了评估，可以看出，单独二胎政策是正确的、有必要的、迫切的.模型建立合理，结构较好.但是本文也存在一些不足之处，总主要的一方面就是，本文所运用的灰色模型只能做短期的预测，而长期的预测结果不准确，误差较大.

7 模型改进

基于本文的研究，可进一步对模型进行改进，对单独二胎影响的评估因素有很多，除上述的因素外，还有男女性别比，根据2010第六次全国人口普查数据显示，我国的男女比例为105.20：100，可构建模型，来预测实行单独二胎政策后对男女比例的影响.

参考文献

[1] 中国统计年鉴[M].北京：中国统计出版社.2013.

[2] 卓金武.MATLAB在数学建模中的运用[M].北京：北京航空航天大学出版

社.2011.2.

[3] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4] 赵静，严尚安.数学建模月数学实验[M].北京：高等教育出版社，2000.

[5] 刘思峰，党耀国，方志耕等.灰色系统理论及其应用.第5版.北京：科学出

版社，2010.

[6] 姜启源，谢金星.数学建模案例选集[M].北京：高等教育出版社，2006.

[7] 赖红松，祝国瑞，董品杰.基于灰色预测和神经网络的人口预测[J],经济地

理,02,2004.

[8] 高爽，陈卫.论内在总和生育率[J]，人口与经济,01,2013.

[9] 张青.总和生育率的预测及分析[J],中国人口科学.04,2006.

[10] https://www.360docs.net/doc/cd13472418.html,/index.

[11]https://www.360docs.net/doc/cd13472418.html,/aboutchina/zhuanti/zgrk/node_7042806.htm.

[12] https://www.360docs.net/doc/cd13472418.html,/.

附录一：总人口预测程序

clear

syms a b;

c=[a b]';

A=[114333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125 786,126627,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,13 3450,134091,134735,135404,136072];

B=cumsum(A); % 原始数据累加

n=length(A);

for i=1:(n-1)

C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; % 生成累加矩阵

end

% 计算待定参数的值

D=A;D(1)=[];

D=D';

E=[-C;ones(1,n-1)];

c=inv(E*E')*E*D;

c=c';

a=c(1);b=c(2);

% 预测后续数据

F=[];F(1)=A(1);

for i=2:(n+17)

F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a ;

end

G=[];G(1)=A(1);

for i=2:(n+17)

G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据

end

t1=1990:2013;