流体力学答案终极打印版

一、问答题

1. 什么是流体？什么是流体微团

答：流体：在任何微小剪切力持续作用下连续变形的物质叫做流体（易流动性是命名的由来），液体和气

体统称为流体。 流体微团(流体质点)：在研究流体的机械运动中所取的最小流体单元，它的体积无穷小却又包含无数多个流体分子。

2. 什么是连续介质模型，该模型的引入对流体的研究有何意义？

答：连续介质模型：微观上，流体分子之间存在间隙，流体不连续；观上，可将流体视为在时间和空间连

续分布的函数。只有当考虑的现象具有比流体分子结构尺度大得多的尺度时才成立。

物理意义：将流体看成是连续介质，描述流体运动的各物理要素可用连续函数来表征，从而利用微积分

的方法研究流体的受力和运动规律。

3. 作用在流体上的力分为哪些、表达式，各有何特点？

答：根据力的作用方式不同，作用在流体上的力分为质量力(体积力)和表面力（面积力）。

质量力：是作用在流体每一个质点（或微团）上、与受作用流体的质量成正比的力，常采用单位质量

力的坐标分量来表示，

面力：是作用在所考察的流体（或称分离体）表面上与受作用流体的表面积成正比的力，常用单位面

积上面力，分为切向力τ（内摩擦力）和法向力p （压强）来表示。

4. 什么是流体的粘性,粘性有何特征？

答：流体的粘性：流体内部相邻质点间或流层间存在相对运动时，在其接触面上会产生内摩擦力（内力）

以反抗（阻碍）其相对运动的性质。

粘性的特征：粘性是流体的固有属性，粘性阻碍或延缓液体相对运动的过程,并且不能消除；流体静止

时，其粘性无法表现。

5. 牛顿内摩擦定律及其各项含义是什么？描述流体粘性的物理参数及其关系是什么？

答：牛顿内摩擦定律：τ ：单位面积上的内摩擦力；dy du ：速度梯度，表示速度大小沿垂直于速度方向y 的变化率，单位为s -1；μ ：动力粘度（动力粘滞系数）。单位N /（m 2·s ）或Pa ·s ，表征单位速度梯度时的切应力；ν ：运动粘度（运动粘滞系数），单位，ν=μ/ρ。

6. 流体力学中所定义的流体力学模型有哪些，各模型的概念、物理意义是什么？

7. 答：流体力学模型：（1）连续介质模型：将流体认为是充满其所占据空间无任何间隙的质点所组成的

连续体。连续介质模型是对物质结构的简化，使我们不再考虑复杂的微观分子运动，只考虑在外力作用下的宏观机械运动，并且在流体的研究中可以运用连续函数的数学分析工具。（2）无粘性流体（理想流体）模型：不考虑流体的粘性。无粘性流体（理想流体）模型是对流体物理性质的简化。（3）不可压缩流体模型：不考虑流体的压缩性和热胀性，认为其密度为常数的流体。不可压缩流体模型是对流体物理性质的简化。（4）一元流动模型：流场中流体的运动参数仅是空间坐标一个坐标分量的函数。

8. 静水压强的定义及其特性，静水压强函数的的表达式及其含义是什么？

答：静水压强定义：当流体处于静止或相对静止状态时，内法向表面力称为静水压强。作用在流体上的力只有法向应力，没有切向应力。特性：（1）静水压强的方向为垂直并指向受作用面（与受作用面的内法线方向一致）；

（2）静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面方向无关（作用于某点上的静水压强沿各方向大小都相等），是点的坐标的连续可微函数。

静水压强的基本方程：gh P P ρ+=0； P ——液体内某点的压强 ；0P __自由液面气体压强；ρ——液体的密度，；h ——某点在液面下的深度，m ，含义：静止液体中任意一点的压强是由自由面上的压力和该点在液面下的深度与液体容重之积，这两部分之和所组成。 另一种形式：C g p Z

=+

ρ（常数）Z ——单位重量流体所具有的位能；g

p ρ——单位重量流体所具有的压能；——单位重量流体具有的总势能,也称为测压管水头；含义：同种、连续、静止的均质流体中各点的测

压管水头都相等；即单位重量流体具有的总势能相等。

9. 研究流体运动有哪两种方法？分别论述他们的概念与区别？

答：描述流体运动的方法一般有拉格朗日法和欧拉法两种。拉格朗日法：把流体质点作为研究对象，跟踪每一个质点，描述其运动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，来获得整个流场流体运动的规律。欧拉法：以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。

10. 什么是恒定流，非恒定流？

答：恒定流：流场中各空间点上流体质点的所有运动要素均不随时间变化的流动；

非恒定流：流场中各空间点上流体质点的运动要素随时间变化的流动；

11. 什么是流线和迹线，各自有何特点，相互关系如何？

答：流线：某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线。特征：连续光滑曲线，流线不能断，既可能闭合也可能不闭合；不能交叉：流线的疏密程度表示该处流速大小；迹线：流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线，即流体质点运动的轨迹线。相互关系：流线是与是与欧拉法相联系的，是同一时刻不同质点所组成 的曲线；迹线是与拉格朗日法相联系的；在不定常运动中，流线和迹线一般不重合；在定常运动中，二者必然重合。

12. 什么是随体导数、时变加速度和位变加速度？

欧拉法中，速度分为---时变加速度：同一空间点，不同时刻上因流速不同，而产生的加速度。

位变加速度：同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。

13. 分别描述层流与湍流的性质与特点？

层流：雷诺数<2000,流体运动规则，流场稳定；湍流（紊流）：雷诺数>2000，流体质点杂乱无章，不稳定。

14. 什么是理想流体、正压流体、外力有势流体？

理想流体：即没有粘性的流体，这是一种理想模型，实际不存在的。正压流体：流体的密度只和压力有关，与温度无关。外力有势流体：由于无旋和有势的等价性，则作用在流体上的外力旋度为零的流体即为外力有势流体。

15. 什么是定常场，均匀场，并用数学形式表达？

定常场：若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、密度、温度等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常流动，该流场为定常场。数学表达式：均匀场：运动要素不随空间变化的流动,没有位变加速度,同一时刻在流体所占据的所有一空间点上的运动要素都是一样的.

16. 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？流体静止时无切应力，是否无粘性？为什 无；无；无切应力但有粘性，因为粘性是流体固有属性，只有在理想模型中的理想流体中可以假设无粘性，静止时，流体内部流层间无作用力，即流体静止时无切应力。 17. 作用在流体微团上的力分为哪两种？应力τ

ij

的两个下标分别表示什么含义？τ

ij

的正负如何规定/

答：分为质量力和面力。第一个下标表示受力面法线方向,第二个下标表示应力的投影方向。正负：先选定一微面，如果是封闭曲面的一部分，则取外法线方向为的正方向，如果所在曲线不封闭，则约定取一方向为法线的正方向，法线指向的那一边流体作用在面上的应力为正，而位于方向的流体质点作用于面上的应力为负。

18. 简述流体运动的Helmholtz 速度分解定理，并给出其表达式和物理意义。 答：流体微团的运动可以分解为平动、转动和变形三部分之和。表达式 (加粗的地方估计要加上箭头表示矢量)。 其中，平动速度，吴望一上册109页。

19. 什么是流体的速度梯度张量？其对称张量和反对称张量的表达式和物理意义？ 答;指流体在两界面之间流动时，由于材料之间摩擦力的存在，使流体内部与流体和界面接触处的流动速度

发生差别，产生一个渐变的速度场，称为速度梯度张量，即。 速度梯度张量可分解为对称张量与反对称张量之和：即

其中， 和为的对称部分和反对称部分，分别称为变形速率张量和转动速率张量。 20. 平面上应力和应力张量有什么关系？p nm =p mn 的物理含义是什么？

答：平面应力和应力张量关系式：(前两个量是矢量需要加箭头)。pnm=pmn 说明应力张量是一个二阶对称张量，应力在受力面法线方向为n 且投影方向为m 的应力张量与应力在受力面法线方向为m 且投影方向为n 的应力张量相等。

21. 粘性流动和理想流动的壁面边界条件分别如何设置？

答：粘性流动： 流 固， 介质 介质 ，（

）

介质

（

）

介质

，特别地，当固壁是静止时有

， 介质 介质 ，（

）

介质

（

）

介质

。

理想流动：（ ）流 固 和（ ）流

22. 流动相似的条件是什么？简述π定理的内容。

答：条件：①流动属于同一类流动，其运动微分方程相同；②单值条件相似；③单值条件中涉及的物理量组成的相似准则数相等。

定理：设影响某一个物理过程或某一物理现象 N 的 k 个因素 (物理量、变量) 为 n1，n2，……，ni ，……，nk ，则此物理现象可用函数式表示为：n1n2nink,若从这（k+1）个物理量中确定出三个物理量 n1，n2，n3 作为基本物理量，则这个物理现象可以用由（k+1）个物理量构成的（k+1-3）个无量纲参数 πi 表达的函数关系式来描述。

=?n P n P

23.怎样判断流动是否有旋？涡度和速度环量有何关系？流动是否有旋与流体质点的运动轨

迹有关系吗？举例说明。

答：若流体速度的旋度，流场涡量，则称流动有旋，否则，无旋。流场中某一曲面S上的涡量面积分，称为过该曲面S的涡通量；沿流场中某一时刻的封闭曲线L 作速度的线积分Γ，Γ称为v沿该封闭曲线的速度环量：两者可通过斯托克斯定理相联系；速度环量刻画了流体在运动过程中的涡旋特性，描述涡旋特性时，有时使用速度环量更方便。不能根据流体质点的运动轨迹判断流体运动是否有旋。比如，“自由涡”无旋，但是“强迫涡”是有旋的。

试说明粘性流动的三个基本特征。他们与理想流体运动相比有何不同、

答：三个基本特征是：①运动的有旋性；②能量的耗损性；③涡旋的扩散性。与理想流体流动相比，粘性流动中存在由于流体粘性引起的能量耗损。

24.普朗特边界层的基本思想是什么？平板边界层厚度主要受哪些因素影响？

答：基本思想：当流体在大雷诺数条件下运动时，可把流体的粘性和导热看成集中作用在流体表面的薄层即边界层内。根据边界层的这一特点，简化纳维－斯托克斯方程，并加以求解，即可得到阻力和传热规律。边界层厚度,则边界层厚度与坐标x以及该处的雷诺数有关。

25.边界层分离的概念和原因是什么？分离点处的流动特征是什么？

答：概念和原因：边界层是一个薄层，它紧靠物面，沿壁面法线方向存在着很大的速度梯度和旋度的流动区域。粘性应力对边界层的流体来说是阻力，所以随着流体沿物面向后流动，边界层内的流体会逐渐减速，增压。若流动在逆压梯度作用下，则会进一步减速，最后整个边界层内的流体的动能不足以长久的维持流动一直向下游进行，以致在物体表面某处其速度会与势流的速度方向相反，即产生逆流。该逆流会把边界层向势流中排挤，造成边界层突然变厚或分离。

分离点处的流动特征：分离点上的速度剖面必有拐点，即有;

二、选择题

1.随着计算机性能不断完善，容量不断扩大，你

认为数值计算方法最终可以替代（C）

（A）理论分析方法。

（B）实验方法。

（C）都不能。

2.连续介质假设不适用于稀薄气体是因为（B）

（A）稀薄气体的分子数太少，无法取统计平均值；

（B）要达到确定的统计平均值的临界体积与物体相比太大

（C）其他3.流体内摩擦是两层流体之间的摩擦力，流体与

固壁之间的摩擦力属于（B）

（A）外摩擦力；

（B）内摩擦力；

（C）两者都不是。

4.液体（如甘油）加热后粘度减小主要是因为

（a）分子运动加剧；（b）分子平均距离增大；

气体（如空气）加热后粘度增大主要是因为（a）分子运动加剧；（b）分子平均距离增大。

请选择：（C）

（A） a, a

（B） a, b

（C） b, a

（D） b, b

5.用不可压缩流体的模型分析流动的范围是很广

泛的，但下列情况中哪些不符合不可压缩流体模型：（C）（A）原油在输油管道中的流动；

（B）压缩空气的低速流动；

（C）锅炉里的水蒸气流动。(锅炉中温度变化大，水蒸气的密度变化大，要考虑其可

压缩性)

6.如下线变形速度，角变形速度和旋转角速度的表达式哪项正确：（D）

7.理想流体沿流线的伯努力方程的使用条件：（C）

（A）定常，不可压；

（B）定常，不可压，仅质量力；

（C）定常，不可压，仅质量力，元流；

（D）定常，仅质量力，元流；

8.定常不可压圆管层流和无限大平板流动最大速

度与平均速度的比值分别是：（B）

（A）2，2；

（B）2，1.5；

（C） 1.5，1.5；

9.下列哪些仪器设备是伯努力方程的直接应用：

（D）

（A）毕托管。

（B）文丘里流量计。

（C）拉法尔喷管。

（D）A和B都是。

10.下列哪项对湍流运动的描述是不正确的：（D）

（A）质点的运动轨迹极不规则，各层质点相互掺混，呈现一种杂乱无章的状态。

（B）质点运动速度可以表示为平均速度和脉动速度之和。

（C）质点运动的脉动速度在时间足够长的范围内积分，积分值为0。

（D）质点运动的平均速度在时间足够长的范围内积分，积分值为

（E）0。

三、证明题

1.推导rot rot a=grad div a –Δa(吴望一先生著书上册26页)。

2.推导 div rot φ=Δφ

3.根据质量守恒推导连续性方程（吴望一先生著书上册145页）。

4.从不可压流动的N-S方程出发，推导平板定常不可压二维层流的普朗特边界层方程（吴望一先生著书

下册272-277页）

5. 进行圆管中的流体摩擦实验时，发现圆管中沿轴线的压降Δp 是流速u ，密度ρ，粘性系数μ，管长l ，

管径d 及管壁粗糙度 k 的函数。试用量纲分析法证明,其中， 为无量纲系数。（自己做）

6. Re 数是流速v ，物体特征长度L ，流体密度ρ及流体动力粘度μ这四个物理量的综合表达式，使用

π定理推出Re 数的表达式。已知Re 数与流速v 成正比例关系。（动力粘度单位N·s/㎡(牛顿秒每米方）即Pa·s（帕秒），其量纲位M/（L·T）。)， 看第五讲的PPT 第25页例题。

四、计算题

1. 已知2

3

xy yz ?=+，求点M （2，-1，1）处沿向量22l i j k =+-的方向导数

方向导数：2cos 3x s α?=

=?；2cos 3z s γ?==?；1cos 3

z s γ?==-? 2322211(2)(3)3333y xy z yz ++-=-cos cos cos s x y z

????αβγ????=++????=2332211(2)(3)3333y xy z yz ++-=- 2. 设流场的速度分布为2222

224;x y

y y

u t u x y x y =-

=++，求t=0时刻，点M （1，1）处流体质点的加速度。[解]：（1）局部加速度：a =4y x

u u u i t

t t

???=+=???

（2）质点的加速度：222222

42(2)4()()

3x y x y du u u x u y u u u a u u dt t x t y t t x y

xy x y i u u x y x y i j

????????=

=++=++????????-=++++=- 3. 已知：流场速度分布为：22

;3;2x y z u x y u y u z ==-=，求空间点M （1，2，3）处流体质点的加速度。

4. 在直角坐标系下，,,0u x t v y t w =+=+=，求流线和迹线。

[解]：解:由速度场知其是二维流场，那么二维流线方程为：dx dy u v = 即：dx dy

x t y t

=

++ 这里将t 视为常数，于是有：ln()ln()x t y t c +=++ 即：()ln

()x t c y t +=+亦即：1x t

c y t

+=+ 于是流线族方程为：1

2x t

c y t z c +?=?+??

=???

由二维的迹线方程得：0dx

u x t dt dy

v y t

dt

dz w dt

?===???==+???==??解得迹线族方程为：231

()1

()1()t t x c e t t y t c e t z t c ?=--??=--??=??

5. 有一个二维流动，假定流体是不可压缩的，其速度分量为2

222;x y x y

u u x y x y

=-=-++ 试问：（1）流动是否满足连续性方程（2）流动是否无旋？ [解]： 1）由题意得：22

222

()x

u y x x x y ?-=-?+，

22

222

()y

u x y y x y ?-=-?+

将上述结果带入二维不可压流动的连续性方程0y x

u u x

y

??+=??，得到：

y x u u x y ??+=??-22

222

()y x x y -+-22

222()

x y x y -+= 0 故该流动满足连续性方程。

2）由题意得：该流体流动的旋度为：

0rotu =(

)()()y y x x x z x y z u u u u u u

rotu e e e y z z x x y

??????=-+-+-?????? 由题意知：该流体流动为二维流动，故Z 方向上分量为0，将22

222

()x u y x x

x y ?-=-

?+，

22222

()y u x y y

x y ?-=-

?+带入上式，得：0rotu =， 故该流体流动为无旋。 6. 已知流体通过漏斗时的速度分布用柱坐标为

2

10:0,,02

1,0,,0

2r z r z

r a v v r v a r a v v v r

θθωω?

≤≤===????>===??求涡量rotV Ω=，并说明什么区域是有旋的，什么区域无旋

.

7.带有自由面的不可压缩流体在倾斜平板上由于重力作用而发生运动。设：平板无限大，与水平面的夹

角为θ，流体的深度为h，作定常层流运动。求：速度分布、平均流速及作用在平板上的摩擦力。

A y dy du x +=μπ

8. 如图， 水平放置的两块平行无穷平板间有厚度为a ，b ，粘性系数为μa ，μb 的不相混的不可压缩流

体，作平行于平板的定常层流运动。试求：速度沿厚度方向的分布；两层流体在界面上的切应力。（设

沿流动方向上的压力梯度为常数）

[解]：定常、层流、水平流动控制方程：010x x u x p v u x ρ??=??????=-+????01x x u x p u x μ??=???????=???0x

x u x

u πμ??=????

??=??

22

x d u dy πμ=

a 层流动2112a a u y A y B πμ=++

b 层流动2222b b u y A y B πμ=++ 边界条件：0

1

1

002

2000

0b

y a y a b b a y b y b b a

b a y b y b u A

u B u u A du du B dy dy μμ==+=-=+=-=+=?

??=?????=???????=??

9. 如图所示，均匀来流以速度u 0流过无限薄平板，在平板上形成了层流边界层，假设边界层内任意断面

上的速度分布u x 与y 的函数关系为三次多项式，试计算边界层厚度δ（x ）的近似解表达式。（提示：该平板层流边界积分形式的动量方程为00()w x x d u u u dy dx

δ

τρ

=-?，其中w τ为平板壁面切应力）

解：设u x =a+by+cy 2+dy 3边界条件：y=0, u x =0; y=δ, u x = u 00

==δ

y x

dy

du

02

2==δ

y x dy u d

由此，得 a=0, b=δ03u , c=203δu -, d=30δ

u 故，33

02200x 33y u y u y u u δδδ+-=-----------(*) ?-=δρτ00)(dy u u u dx d x x w 将（*）代入上式，得：dx ds u w 20283ρτ= 故20

)(328u x w x ρτδ= 10. 拉格朗日变数（x0,y0,z0）给出的流体运动规律：2222

000,(1),(1)t t x x e y y t z z e t -==+=+，

求：（1）以欧拉变数描述的速度场（2）流动是否为定常流（3）流体的加速度

11 设有一定常流动，速度分布为2,2,u y z v x z w x y =+=+=+， 求：速度梯度张量、变形速率张量，应力张量（提示：用本构关系求解）

11. 已知：粘度为μ的流体在半径为R 的圆管中做定常层流，流量为Q 。设在圆管截面上轴向速度是抛

物线分布：222

2()Q

u R r R

π=

-。（如下图所示）

求：管壁的粘性切应力

w

τ和管轴上的粘性切应力

τ

解：由牛顿黏性定律得，圆管内粘性切应力分布为