新课标 高中数学 数列

数列（sequence of number）

概念

按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，…

简记为｛an｝，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；

各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；

各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；

各项相等的数列叫做常数列。

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f(n)。

如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).

表示方法

如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1

如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)

等差数列

【定义】

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。

【缩写】

等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。

【等差中项】

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。

【通项公式】

an=a1+(n-1)d

an=Sn-S(n-1) (n>=2)

【前n项和】

Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2

【性质】

且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k-1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）×项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3

【应用】

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。

等比数列

【定义】

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

【缩写】

等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。

【等比中项】

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b 三数成等比数列的必要不充分条件。

【通项公式】

an=a1q^(n-1)

an=Sn-S(n-1) (n>=2)

【前n项和】

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)

【性质】

任意两项am，an的关系为an=am•q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中项：aq•ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1•a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am•an=ap•aq；

②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

【应用】

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)

Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)

(前提：q不等于1)

任意两项am，an的关系为an=am•q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中项：aq•ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1•a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

一般数列的通项求法

一般有：

an=Sn-Sn-1

累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。

逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。

化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。

特别的：

在等差数列中，总有Sn S2n-n S3n-2n

2S2n-n=(S3n-S2n)Sn

即三者是等比数列,同样在等比数列中。三者成等差数列

不动点法（常用于分式的通项递推关系）

特殊数列的通项的写法

1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n

1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n

2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n

1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n

1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)

1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1

1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9

1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2

1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)

数列前N项和公式的求法

(一)1.等差数列:

通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数

an=ak+(n-k)d ak为第k项数

若a,A,b构成等差数列则A=(a+b)/2

2.等差数列前n项和:

设等差数列的前n项和为Sn

即Sn=a1+a2+...+an;

那么Sn=na1+n(n-1)d/2

=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n

还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法2 累加法3 倒序相加法

(二)1.等比数列:

通项公式an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项

an=a1*q^(n-1,am=a1*q^(m-1))

则an/am=q^(n-m)

(1)an=am*q^(n-m)

(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)

(3)若m+n=p+q 则am×an=ap×aq

2.等比数列前n项和

设a1,a2,a3...an构成等比数列

前n项和Sn=a1+a2+a3...an

Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推倒的,这时可能要直接从基本公式推倒过去,所以希望这个公式也要理解)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);

注: q不等于1;

Sn=na1 注:q=1

求和一般有以下5个方法: 1,不完全归纳法（即数学归纳法）2 累乘法 3 错位相减法4 倒序求和法5 裂项相消法

著名的数列

等差数列典型例题：

1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn

解析：

Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]

=1-1/(n+1)

大衍数列０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、４０、５０－－－－－－通项式：

an=(ｎ×ｎ－１)÷２(ｎ为奇数)

an=ｎ×ｎ÷２(ｎ为偶数)

前n项和公式：

Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (ｎ为奇数）

Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (ｎ为偶数）

大衍数列来源于《乾坤谱》，用于解释太极衍生原理。

斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、……

通项式

F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

还可以发现S0+S1+S2+……+Sn-2 =Sn -1