《自动控制原理》---丁红主编---第三章习题答案

习题

3-1.选择题：

（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：)

1(2)

s )(2

+++=s s s s G （，系统对单位斜坡的稳态误差是： 3-2 已知系统脉冲响应

t e t k 25.10125.0)(-=

试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125

3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

…

图 题3-3图

解 由结构图写出闭环系统传递函数

111)(212211211

+=

+=+

=ΦK K s

K K K s K s

K K s K s 令闭环增益21

2

==

ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03

32

1≤=

=K K T t s ，得：151≥K 。

3-4 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 所示。如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。

图 题3-4图 解：由图知，

`

开环传递函数为

3-5 设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少

图3-40 题3-5图

*

解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。 写出系统闭环传递函数

K

s s K

s 101010)(2

++=

Φ

闭环特征多项式

2

002

2

021211010)(???

?

??++=????

??+=++=T s T s T s K s s s D

比较系数有 ????

???=???

? ??=K T T 10110

2

2

00 联立求解得 ???==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s

；

3-6 图所示为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1. 【

3-7 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。 （1）01011422)(2

345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2

345=+++++=s s s s s s D

、

（3）022)(4

5

=--+=s s s s D

（4）0502548242)(2

3

4

5

=--+++=s s s s s s D

解（1）1011422)(2

3

4

5

+++++=s s s s s s D =0

Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2

εε124- 10

S 6 S 0 10

第一列元素变号两次，有2个正根。

?

（2）483224123)(2

345+++++=s s s s s s D =0

Routh ： S 5 1 12 32

S 4 3 24 48

S 3

31224

3

4?-=

32348316?-= 0 S 2

424316

4

12?-?= 48 S 121644812

0?-?= 0 辅助方程 124802s +=,

S 24 辅助方程求导：024=s

S 0 48

系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

…

（3）022)(4

5

=--+=s s s s D

Routh ： S 5 1 0 -1

S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导

083=s

S 2 ε -2 S ε16

S 0 -2

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224

=-s 可解出： ))()(1)(1(2224

j s j s s s s -+-+=-

))()(1)(1)(2(22)(4

5j s j s s s s s s s s D -+-++=--+=

]

（4）0502548242)(2

3

4

5

=--+++=s s s s s s D

Routh ： S 5 1 24 -25

S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s

S 3 8 96 辅助方程求导 09683

=+s s

S 2 24 -50 S 338/3

S 0 -50

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822

4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822

4

j s j s s s s s -+-+=-+

)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=

【

3-8 对于图所示系统，用劳斯（Routh ）稳定判据确定系统稳定时的 k 取值范围。

图 题3-8图

解：闭环系统的特征方程为： k(s+1)+s(s3+4s2+2s+3)=0 s4+4s3+2s2+(k+3)s+k=0

S 4 1 2 ？

k

S 3 4 K+1 S 2 5-k

4k S 1

【

(-k 2-14k+15)/(5-k)

S 0

4k

∴ 0

3-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

要求确定引起闭环系统持续振荡时的k 值和相应的振荡频率ω。 解：闭环特征方程为：

s 4+12s 3+69s 2+198s+(200+k)=0

根据劳斯判据列劳斯表如下：

S4169200+k

S3）

12

198

S2200+k

S1{

200+k

由可求得使系统闭环时产生持续振荡的k值

k=

将上述k 值代入辅助方程

+200+k=0

\

令s=jω,代入上述方程得到相应的持续振荡频率ω= rad/s

3-10 已知一系统如图所示,试求

（a）使系统稳定的k值的取值范围。

（b）若要求闭环系统的特征根都位于Res=-1 直线之左，确定k 的取值范围。

图题3-10图

解：(a) 闭环特征方程：

s+1)+1)+k=0

++s+k=0

根据Routh 判据使系统稳定应满足：

'

k>0

>

∴0< k<14

(b) 令s=z-1 并代入特征方程并整理得：

++++k=0

∴×> +k)

0

此时z〈0 既s<-1

。

3-11.某控制系统的方框图如图所示，欲保证阻尼比ξ=和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss

e=,试确定系统参数K、τ。

图 题3-11图

《

3-12 系统结构图如图所示。已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间

1=p t s 。

（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；

（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(?=时系统的稳态误差。

>

图 题3-12图

解 （1） )110(10)

1(101)

1(10

)(++=

++

+=ττs s K s s s s s K s G （2） 2

222210)110(10)(1)()(n

n n s s K s s K

s G s G s ωξωωτ++=+++=+=Φ )

2(+s s K -

-

s τ

R(s)

C(s)

！

（3）由 ??

???=-==

=--1

13.16212ξ

ωπσ?ξπn p o

o

o

o t e 联立解出

?????===263

.063.35

.0τωξn

由（2） 18.1363.31022

===n K ω，得出

318.1=K 。

（4）

63.31

263.01018

.1311010)(lim 0

=+?=+=

=→τK s sG K s v

413.063

.35.1===

v ss K A e 3-13 已知系统框图如图 和图 所示

试求 (1) 图所示系统的阻尼系数并简评其动态指标，

(2) 若加入速度反馈成图，对系统的动态性能有何影响 (3) 欲使系统(b) 的阻尼系数 ξ= 时 ，应使 k 为何值 "

图

图

解： 图 (a) 的闭环传递函数：

(2)图(b)的闭环传递函数：

所以阻尼比ξ随k’的增加而增加。

∴加入速度反馈可使阻尼比ξ增加，使系统的超调量减少，过度过程时间减少。 ,

(3)当ξ=时，则

单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，

)

1(2)s )(2+++=

s s s K s G （

（1）试确定使系统稳定的K 的取值范围

（2）求输入函数分别是单位阶跃和单位斜波时系统的稳态误差。 解：(1)系统的闭环特征方程：

2)1(0)2()1(2

32=++++=++++K s K s s s K s s s

S 3

1 《

K+1

S 2 1 2K S 1

1-K }

2K

S 0

使系统稳定的K 的取值范围 K<1 (2)

)

1(1)

2K(s/2)1(2)s )(22+++=+++=

s s s s s s K s G （

系统含有一个积分环节，为Ⅰ型，对单位阶跃输入的稳态误差为0，对斜坡输入的稳态误差为1/2K(K<1)

3-15 对如图 所示的系统，当r(t)=4+6t, f(t)=-1(t)时 ，试求 】

(1) 系统的静态误差，(2) 要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中哪一部分的比例系数，为什么

图 解： (a) r(t)=4+6t

系统的开环传递函数：

对给定r(t)的静态误差

设扰动之前的传递函数为k1，扰动之后的传递函数为

对扰动 f(t)=-1(t)的静态误差ess2 '

这里k1=4 所以e ss2=

∴系统的静态误差

e ss=e ss1+e ss2=+=

(b) 从(a)可看出对扰动的静态误差e ss2=1/k1

所以要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中第一部分的比例系数k1

3-16 对如图所示的系统，，试求

(1)当r(t)=0, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，

(2)当r(t)=1, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，

(3)说明要减少e ss，应如何调整k1和k2，

*

(4)在扰动f作用点之前加入积分单元，对静差e ss有什么影响，若在 f 作用点之后加入积分单元，结果又如何

图

解：(1)

(2) r(s)=1/s 引起的静态误差为e ss2

系统的静态误差

(3)由(b)知

∴增大k1 可使静态误差减少

,

分析k2对e ss2的影响，e ss对k2求偏导得：

当k1 <1时，

∴ess 随k2的增大而增大

当k1>1 时

∴ess 随k2 的增大而减小

(4) 在扰动作用点之前加入积分单元，扰动F(s)=1/s 引起的静态误差

在扰动作用点之后加入积分单元，扰动 F(s)=1/s 引起的静态误差。

3-17 已知单位反馈系统的闭环传递函数为

?

试求单位斜坡函数输入和单位加速度函数输入时系统的稳态误差。 解：系统开环传递函数：

单位斜坡函数输入时 R(s)=1/s2

单位加速度函数输入时 R(s)=1/s3

3-18 设一随动系统如图所示，要求系统的超调量为，峰值时间s 1=p t ， （1）求增益K 和速度反馈系数τ。

（2）根据所求的K 和τ值，计算该系统的上升时间和调节时间。 （3）用MATLAB 进行验证(或用配套软件验证)。

￥

)

(

s

R

)

(s C s

τ+1)

1(+s s K —

图题3-18

解 由图示得闭环特征方程为

0)1(112=+++K s K s τ

即

21n K ω

=，

n

n

t ωτωξ212

+=

由已知条件

1

12.0%2

1/2

=-=

==--t n p t e

t t ξωπσξπξ

解得

1

2

2

2

2t 52.389

.014

.345.0114

.3145

.0)1

(ln 1

ln

-==

-=

-=

=+=

s n ξπωσπσ

ξ

）

于是

4.121=K 17

5.0.4

127

.12121n ==-=

K t ωξτ

37.052

.304

.027.0152

.32.06.012

=++=++=

n

t t d t ωξξ

s t t

n t t

n r 5.6045

.0152.31.114.31arccos 12

22

=--=--=

--=

ξ

ωξπξ

ωβπ

s t n

t s .222

.535.40.5

35

.3=?=

=

ωξ

解毕。

3-19（北京理工大学2004 本题20分）

某系统由典型环节组成，是单位负反馈的二阶系统。它对单位阶跃输入的响应曲线如图所示，试求该系统的开环传递函数及其参数。

图3-29题3-17

解：考虑到()1≠∞h ，结合已知条件，可设闭环传递函数为：

()()(

)2

2

2

2n

n n s s K s R s C s ωζωω++?==Φ 由 ()95.095.0=?=∞K h

由图可知， ??

?

??

=≈-==%6.31316.095.095

.025.1%1σp t 对照指标公式得 ??

?==????????

==---344.3344.0316.0112

12n n e

ωζζ

ωπζζπ 于是闭环传递函数为

()182

.11301.2182

.1195.02++?

=Φs s s

依题意，系统应由典型环节构成，且为单位反馈，相应的结构图可有两种形式，如图（a ）, （b ）所示：

图（a ） 图（b ）

对应图（a ）,有()()()()()()

s s s G s G s G s Φ-Φ=?+=Φ11111

开环传递函数为

()()()()()

1494.01623.3007

.19205.2276.0623.10559.0301.2623.1021++≈++=++=

s s s s s s s G

即开环传递函数由1个比例环节和2个惯性环节构成。

对应图（b ）,有()()()

s G s G K s 221+?

=Φ ?()()

1435.0860

.4301.2182.1195.02

2

+=+=

=s s s s s G K ， 即开环传递函数由1个比例环节、1个积分环节和1个惯性环节构成。