全等三角形典型例题培优版(含详解)绝对经典

全等三角形典型例题培优版

【例题精选】： 例1：已知：如图，过?ABC 的顶点A ，作AF ⊥AB 且AF=AB ，作AH ⊥AC ，使AH=AC ，连结BH 、CF ，且BH 与CF 交于D 点。

求证：（1）BH=CF （2）BH ⊥CF

分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出?ABH ≌?AFC ，问题就能解

决。从已知看，已经知道AF=AB ，AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠

BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明：

（1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90?

∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠F AC=∠BAH

在?ABH 和?AFC 中

()

()()

AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=????

???已知已证已知 ∴?ABH ≌?AFC （边角边）

∴BH=FC （全等三角形对应边相等） （2）设AC 与BH 交于点P

在?APH 中 ∵∠HAP=90?

∴∠2+∠3=90?（直角三角形中两个锐角互余） ∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3=90? 在?PDC 中 ∵∠1+∠4=90? ∴∠HDC=90?

∴BH ⊥CF

例2：已知，如图：BD 、CE 是?ABC 的高，分别在高上取点P 与Q ，使BP=AC ，CQ=AB 。

求证：AQ=AP

分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在?ABP 和?QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，也就是这两个三角形中

已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD 、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90?，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。 证明： ∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90?

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90? ∴∠1=∠2

在?ABP 和?PCA 中

()()()

AB CQ BP AC =∠=∠=????

???已知已证已知12 ∴?ABP ≌?QCA （边角边）

∴AQ=AP （全等三角形对应边相等）

例3：已知：如图，OA=OB 、OC=OD 求证：AE=BE

分析：从要证明的结论AE=EB 看，我们不难看出，应当在?ADE 和?BCE 中去寻找答案，而要证明?ADE ≌?BCE ，比较明显的有一

组对顶角相等，即∠AED=∠BEC ，另外可以通过等式性质得到，OA －OD=OB －OC ，即AD=BC ，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE 上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B （或∠ADE=∠BCE ），∠A=∠B 除了是?ADE 和?BCE 的对应角外，它们还是?AOC 和?BOD 的对应角，只要?AOC ≌?BOD ，那么就可以推出∠A=∠B ，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下?AOC 和?BOD 全等条件够吗？ 证明：

在?AOC 和?BOD 中

()()()

OA OB O O OC OD =∠=∠=????

???已知公共角已知 ∴?AOC ≌?BOD （边角边）

∴∠A=∠B （全等三角形的对应角相等） ∵OA=OB （已知） OC=OD （已知） ∴AD=BC （等式性质）

在?ADE 和?BCE 中

()()()

∠=∠∠=∠=????

???A B AED BEC AD BC 已证对顶角相等已证 ∴?ADE ≌?BCE （角角边）

∴AE=BE （全等三角形对应边相等）

同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE 来证明?ADE ≌?BCE 呢？ 例4：已知：如图，AD ∥BC ，AE 、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA ，DC 过点E 。求证：AB=AD +BC

分析：从要证明的结论AB=AD+BC 上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB 边上截一段等于AD （或BC ），利用角平分线的条件证全等。

证明（一）： 在AB 上截AF=AD ，连结EF

在?A DE 和?AFE 中

()()()

AD AF DAE FAE AE AE =∠=∠=????

???已作已知公共边 ∴?ADE ≌?AFE

∴∠D=∠AFE （全等三角形对应角相等） ∵AD ∥BC （已知）

∴∠D+∠C=180?（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠D=∠AFE （已证） ∴∠BFE=∠C （等角的补角相等）

在?BFE 和?BCE 中

()()()

∠=∠∠=∠=????

???BFE C FBE CBE BE BE 已证已知公共边 ∴?BFE ≌?BCE （角角边） ∴BF=BC ∴AB=AD+BC

证明（二）：

延长AE 、BC 交于点F 。

∵AE 、BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线。

又∵AD ∥BC

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180?（两直线平等，同旁内角互补） ∴∠2+∠3=90? ∴∠AEB=90? ∴∠BEF=90?

在?ABE 和?FBE 中

()()

()

∠=∠=∠=∠=?????

???3490已知公共边已证BE BE AEB BEF ∴?ABE ≌?FBE （角边角） ∴AB=BF AE=EF

在?AED 和?FEC 中

()()

()

∠=∠=∠=∠????

???1F AE EF AED FEC 两直线平等，内错角相等已证对顶角相等 ∴?AED ≌?FEC ∴AD=FC

∴AB=AD+BC （等量代换）

例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D =180?。

求证：AE=AD+BE

分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ，连结FC ，可证出?ADC ≌?AFC ，问题就可以得到解决。

证明（一）： 在AE 上截取AF=AD ，连结FC 。

在?AFC 和?ADC 中

()()

()

AF AD AC AC =∠=∠=????

???已作已知公共边12

∴?AFC ≌?ADC （边角边）

∴∠AFC=∠D （全等三角形对应角相等） ∵∠B+∠D=180?（已知） ∴∠B=∠EFC （等角的补角相等）

在?CEB 和?CEF 中

()()()

∠=∠∠=∠=?=????

???B EFC CEB CEF CE CE 已证已知公共边90 ∴?CEB ≌?CEF （角角边） ∴BE=EF ∵AE=AF+EF

∴AE=AD+BE （等量代换）

证明（二）：

在线段EA 上截EF=BE ，连结FC （如右图）。

同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 如例：

已知：?ABC 中，AD 是BC 边上的中线

求证：

()AD AB AC <

+1

2

分析：求证()AD AB AC <+1

2

，即可变形为2AD AB AC <+，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如

果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB 、AC 相等，而另一边正好为AD 的2倍，问题就迎刃而

解了。 证明： 延长AD 至E ，使DE=AD ，连结BE 。

在?ADC 和?EDB 中

()()()

AD DE ADC EDB CD BD =∠=∠=????

???所作对顶角相等中线定义 ∴?ADC ≌?EDB （边角边） ∴AC=BE （全等三角形对应边相等） 在?ABE 中

AE AB BE <+（三角形中，两边之和大于第三边）

∴()AD AB AC <+1

2

又如前面的例4、例5，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平

行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180?，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。 下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑思维习惯。

例：已知：如图，在?ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 边上，∠EDF=90?。

求证：BF CE EF +>

分析：从要证的结论BF CE EF +>来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，D 是中

点，可考虑延长，又考虑到∠EDF 是直角，所以可以达到把EF 用EG 代换，而BF 可以用CG 代换，问题可以得到解决。

证明： 延长FD 到G ，使DG=FD ，连结EG 、CG 。

在?EFD 和?EGD 中

FD DG EDF EDG ED ED =∠=∠=?=???

?

?90 ∴?EFD ≌?EGD （边角边） ∴EF=EG （全等三角形对应边相等）

在?BDF 和?CDG 中

()()()

BD CD BDF CDG FD GD =∠=∠=????

???已知对顶角相等已作 ∴?BDF ≌?CDG （边角边） ∴CG=BF 在?CEG 中 ∵CE

CG EG +>

∴BF CE EF +>

【专项训练】：

1、已知：如图，AD//BC ，AD=BC 。求证：AB=DC

2、已知：如图，AD//BC ，AD=BC ，AE=CF 。求证：∠B=∠D

3、已知：如图，AC=BD ，AE=DF ，AE ⊥AD 于A ，DF ⊥AD 于F 求证：EB ∥CF

4、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。求证：CE=BD

5、已知：如图，∠A=∠D ，∠B=∠C ，BE=CF 。求证：AB=DC

6、已知：如图，AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE

7、已知：如图，AE=AD ，∠1=∠2。 求证：∠B=∠C

8、已知：如图，AC=BD ，∠BAC=∠ABD 。 求证：AD=BC ；∠CAD=∠DBC

9、已知：如图，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE 。 求证：（1）BE=DC （2）BE ⊥DC

10、已知：如图，AD 是?ABC 的中线，BE ⊥AD 交延长线于E ，CF ⊥AD 于F 。求证：BE=CF

11、已知：如图，∠=?ACE 90，AC=CE ，AE 交CF 于B ，ED ⊥CB 于D ，AF ⊥CF

于F 。

求证：（1）∠ACF=∠CED （2）DF=CF －AF

12、已知：如图，AB 、CD 、EF 互相平分于点O 。求证：∠AEC=∠BFD

13、已知：如图，?ABC 中，∠=?B 60，AD 、CE 是?ABC 的角平分线，相交于

点O 。求证：AE+CD=AC

14、已知：如图，CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是?ABC 的中线。求证：AC=2AE