2021届高考数学解答题核心素养题型12 概率与统计综合问题(专项训练)(解析版)
专题12 概率与统计综合问题
（专项训练）
1．已知某班n 名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a ，b ，c 成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人． (1)求n 的值；
(2)若成绩在[40,50)内的人数是成绩在[50,60)内的人数的1
3，规定60分以下为不及格，从不及格的人中任
意选取3人，求成绩在50分以下的人数X 的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】(1)依题意得???
?
?
100.035＋0.025＋c ＋2b ＋a ＝1，2b ＝a ＋c
?b ＝0.01，
因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n ＝
6
0.01×10
＝60.
(2)由???
??
a ＋c ＝0.02，c ＝3a
????
?
?
a ＝0.005，c ＝0.015，
于是成绩在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9，即不及格的
人数为12，从中任选3人，则成绩在50分以下的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3. 且P (X ＝0)＝C 39C 0
3C 312＝2155，P (X ＝1)＝C 29C 1
3C 312＝27
55，
P (X ＝2)＝C 19C 2
3C 312＝27220，P (X ＝3)＝C 09C 3
3C 312＝1
220，
所以X 的分布列如下
X 0 1 2 3 P
21
55
2755
27220
1220
故X 的数学期望为E (X )＝0×55＋1×55＋2×220＋3×220＝4
.
2．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望． 【答案】见解析
【解析】设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，12)． 依题意知，P (A i )＝1
12
，且A i ∩A j ＝?(i ≠j )．
(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12， 所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝5
12.
即此人到达当日空气重度污染的概率为5
12.
(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14
， P (ξ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212
＝16
， P (ξ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212
＝16，
P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－14－16－16
＝512
，
所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望E (ξ)＝0×4＋1×12＋2×6＋3×6＝4
.
3．(2019·焦作模拟)某单位共10名员工，他们某年的收入如下表.
(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程y ^＝b ^
x ＋a ^
中系数计算公式
b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x －)(y i －y －
)
∑i ＝1
n
(x i －x －
)2
，a ^
＝y －－b ^x －
，其中x －，y －
表示样本均值．
【答案】见解析
【解析】 (1)平均值为10万元，中位数为6万元．
(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，ξ取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 2
4C 210＝215，P (ξ＝1)＝C 14C 1
6C 210＝815，P (ξ＝2)＝C 2
6C 210＝1
3，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
2
15
815
13
数学期望为E (ξ)＝0×15＋1×15＋2×3＝5
.
(3)设x i ，y i (i ＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪， 则x －
＝2.5，y －
＝5，∑i ＝1
4
(x i －x －
)2
＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，
∑
i ＝14
（x i －x －）(y i －y －)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，b ^
＝
∑i ＝1
4
(x i －x －
)(y i －y －
)
∑i ＝1
4
(x i －x －
)2
＝7
5
＝1.4， a ^＝y －－b ^x －
＝5－1.4×2.5＝1.5，因此线性回归方程为y ＝1.4x ＋1.5，可预测该员工第5年的年薪收入为
8.5万元．
4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检
验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求E (X )． ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】见解析
【解析】(1)由题意知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 2
20p 2
(1－p )18
.
因此，f ′(p )＝C 2
20[2p (1－p )18
－18p 2
(1－p )17
]＝2C 2
20p (1－p )17
·(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1. 当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )>0；当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )＜0，所以f (p )的最大值点p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.
①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品的件数． 依题意知，Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y . 所以E (X )＝E (40＋25Y )＝40＋25E (Y )＝40＋25×180×0.1＝490.
②如果对余下的所有产品作检验，那么这一箱产品所需要的检验费用为400元． 由于E (X )>400，因此应该对这箱余下的所有产品作检验．
5．(2019·甘肃兰州诊断)“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃．即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”等三种形式过马路进行调查，获得下表数据：
取了66人． (1)求n 的值；
(2)在所抽取的“带头闯红灯”的人中，任选2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有1人是女生的概率． 【答案】见解析
【解析】 (1)由题意得，66980＋340＝n
980＋340＋410＋150＋60＋60
，解得n ＝100.
(2)因为所有参与调查的人数为980＋340＋410＋150＋60＋60＝2 000，所以从“带头闯红灯”的人中用分层抽样的方法抽取的人数为(60＋60)×1002 000＝6，其中男生有60×1002 000＝3人，女生有60×100
2 000
＝3人，
将这3名男生用A 1，A 2，A 3表示，3名女生用B 1，B 2，B 3表示，则从这6人中任选2人的所有基本事件为A 1A 2，
A 1A 3，A 2A 3，A 1
B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共15个．这2人均是男生
的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个，记“这2人中至少有1人是女生”为事件M ，则M 包含的基本事件共有12个，所以P (M )＝1215＝45
.
故从这6人中任选2人，至少有1个是女生的概率为4
5
.
6．(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表中：
附：K 2
＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：
(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少为82 min ；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多78 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
(2)由茎叶图知m ＝79＋81
2＝80.
列联表如下：
(3)由于K 2
＝20×20×20×20＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．